Muito obrigado, pela ajuda!
-Mensagem original-De:
Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Quarta-feira, 2 de Agosto de 2000 01:04Assunto: Re:
dizima
Caro Carlos,
Sabe-se que quandoo periodo da representacao
decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como o caso de n = 7, 17, 19,
23, 29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1)
possuir um perodo composto pelos mesmos algarismos do periodo de
1/n, na mesma ordem circular, mas variando a posio dos
algarismos (A demonstracao se encontra na Eureka
1)
Trocando em midos, se 1/n =
0,abcdefabcdefabcdef... h um r para o qual r/n =
0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo
de representacao decimal das fracoes.
Assim, sendo 1/97 =
0,abcdefvxyzabcdefvxyzabcdefvxyz... , deve haver um
k (1 k 97) tal que:
k/97 =
0,xyzabcdefvxyzabcdefvxyzabcdefv...
Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z +
0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz...
Ou: 1000k/97 = 100x + 10y + z +1/97
E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z. Seja 100x +
10y + z = H.
Assim, 1000k - 1 = 97H -- 97H = 1000(k-1) +
999, logo os 3ltimos algarismos de 97H sao 9s.
Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos.
Para que um 97H termine em 9, H deve ser um nmero da
forma 10i + 7.
Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i +
6) + 10(7i + 7) + 9
Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve
terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6.
Isto ocorre se e somente se i for um nmero da
forma 10j + 6.
97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j
+ 4) + 99
Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar
em 9, ou seja, 7j termina em 5.
Isto ocorre se e somente sej for um nmero da
forma 10m + 5.
Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67=
100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H
terminar em 999, o que nos d um k inteiro.
Para m 0, no entanto, H 1566 e, portanto, 97H
151902.
Assim, 1000k 151903 -- k 151 , o que
nao possivel, pois0 k 98
Logo, m = 0 -- H = 567 -- 1000k= 55000
-- k = 55
Como H =100x + 10y + z , com x,y,z
inteiros nao-negativos menores que 10:
100x + 10y + z = 567 -- x = 5 y =
6 z = 7
Portanto, o ltimo algarismo do perodo
de 1/97 7
o
penltimo algarismo do perodo de 1/97
6
o
antepenltimo algarismo do perodo de 1/97
5
Abraos,Terezan
Espero ter
ajudado.
- Original Message -
From:
Carlos Roberto de Moraes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tera-feira, 1 de Agosto
de 2000 18:29
Subject: dizima
Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97
na forma decimal, obtemos uma dzima peridica com 96
algarismos no perodo. Como determinar os trs ltimos
algarismos desse perodo?
