Permutações
Desculpem, eu cometi um erro
crasso no último e-mail. Como devem ter visto, eu calculei permutações de 2 "b"s
e um "c" e esqueci de considerar os elementos repetidos. As possibilidades só
são 3.
{b,b,c,a,a,a} {b,c,b,a,a,a} {c,b,b,a,a,a}. E o que
o Grande Nicolau observou está certo. Isso equivale a achar anagramas em que a
posição de uma letra qualquer deve mudar.Por exemplo, Matematica -
tamitacema não seria uma resposta.
Quanto à divisão da lista, eu
não acho que isso deveria acontecer. Não há motivo para se oprimir com as
integrais e os limites. Veja o meu caso. Estou na oitava e estão tão dispostos a
resolver minhas dúvidas (inclusive Nicolau, o Grande) de uma forma que eu possa
entender que às vezes eu acho que devia mandar menos e-mails, para tomar-lhes
menos tempo.
Re: Dia da semana
Com certeza o conceito de congruencia mod 7 será usado na resolução desse problema. No entando há outras coisas que deve-se levar em consideraço. POr exemplo o ano 2000 é um ano bissexto! Se quero saber que dia da semana cairá o dia 19/08/2001, é simples, pois a diferença em dias (de hj até a data) é de 365 == 1 (mod7) logo essa data será em um domingo (visto que hj é sabado) Se tivesse feito a mesma pergunta no dia 12/02/2000 (que tambám caiu em um sabado) para o dia 12/02/2001 a diferença não seria 365 mas sim 366 ==2 (mod7) logo essa data deve ser em uma segunda feira! Um algoritmo para prever qualquer data deveria levar em consideração essas variações... Espero ter ajudado []'s MP - Original Message - From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 19, 2000 12:38 AM Subject: Re: Dia da semana Para isso usa-se congruência. a==b(mod n) Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b por n dará um resto único r. Logo: a==x(mod 7) Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Wellington Ribeiro de Assis [EMAIL PROTECTED] Para: discusspio de problemas [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 Assunto: Dia da semana Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington
Re: Re: Re: sugestão
Eh verdade. Tambem estiveram no Brasil o Dieudonne (a alma do Bourbaki) e o Grothendieck. JP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 18:11 Assunto: Re: Re: Re: sugestão Obrigado ao JP pela correção, eu acabei criando um terceiro matemático (uma mistura de André Veil com Andrew Wiles, lamentável confusão.) A próposito, Andre Veil não esteve desenvolvendo alguns trabalhos por aqui (acho que antes de 1950) mais ou menos na epóca de grande atividade de Leopoldo Nachbin (um dos fundadores do IMPA). Se não me engano li algo sobre isso num pequeno livreto, uma espécie de homenagem que seu filho (Um pesquisador do IMPA) fez à esse grande lutador pela matemática no brasil que, como de costume, não recebe o valor merecido. Estou enganado JP ? ou quem saiba... []'s Alexandre Vellasquez Mais uma vez concordo com o Alexandre. Esclarecimento historico: Andrew Wiles: matematico que demonstrou o grande teorema de Fermat. Andre Veil: matematico frances que fez parte do grupo Bourbaki. Hermann Weyl: matematico alemao, um dos ultimos da escola de Goettingen, que acabou desbaratada a partir de 1933, com a ascensao do nazismo. JP
Re: Problema
Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = =2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 *k + R, ondek é natural e R é o resto procurado. Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 =a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 *a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora,a é um natural ímpar. Portanto,a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o naturala necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49.Entende-se por a*n : a índice n.
Re: Problema
From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
Desculpem-me pela asneira... Alguém conseguiu resolver tal problema? - Original Message - From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
DE FATO a#93/a#49 NÃO é inteiro, como se vê abaixo. (3^93 + 4^93) $ 3 (mod 7) (3^49 + 4^49) $ 4 (mod 7) $ representa congruência Novamente desculpem-me pela asneira anterior. - Original Message - From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Dia da semana
Wellington Ribeiro de Assis wrote: Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington A RPM publicou um artigo, de A. C. Morgado (ou seja, eu), provando a fórmula que permite tal calculo. Um abraco. Morgado
Re: Dia da semana
Para isso usa-se congruência. a==b(mod n) Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b por n dará um resto único r. Logo: a==x(mod 7) Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. Ats, Marcos Eike Caros amigos: Morgado ja publicou na Revista do Professor de Matematica (nao sei que numero) um algoritmo que resolve a completamente a questao. Nao eh simples como parece pois os anos bissextos tem suas propriedades esquisitas. Vou procurar e em breve envio a resposta para voces. -Mensagem Original- De: Wellington Ribeiro de Assis [EMAIL PROTECTED] Para: discusspio de problemas [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 Assunto: Dia da semana Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington
