Re: Problemas Selecionados de Matemática
Oi Igor , Seja N o número de cocos , logo teremos pelo enunciado : N = 5q1 + 1 ; 4q1 = 5q2 +1 ; 4q2 = 5q3 +1 ; 4q3 = 5q4 +1 ; 4q4 = 5q5 +1 ; 4q5 = 5q6 +1 ; somando a cada uma dessas 6 igualdades "4 " e depois multiplicando as seis igualdades , encontraremos : (N + 4).4^5 = (q6 +1 ).5^6 ; e como 4 e 5 são primos entre si , chegamos a : N +4 = 5^6.k ; ou seja o o menor N = 5^6 - 4 ; ok ? ( confira as contas ) []'s Carlos Victor
Re: Questões de Trigonometria
Vamos la resolver as questoes
Comecemos pela da Unicamp. Analisando a funcao x^2-2x, percebemos que sua
concavidade e para cima, e que ela tem vertice no ponto (x=1, y=-1). Assim,
queremos um `a` tal que -11/sen(a) para todo a. Passando o -1 para o outro
lado temos 01/sen(a)+1, ou seja, 0(1+sen(a))/sen(a). Como o seno de um
ângulo varia entre -1 e 1, 1+sen(a)=0, sendo que a igualdade ocorre quando
sen(a)=-1. Entao sen(a)-1 (xy significa x diferente de y). Assim, basta
que o denominador seja negativo e diferente de -1. A resposta fica:
{a e R/Pia3Pi/2 ou 3Pi/2a2Pi} (a nao pode ser igual a Pi nem igual a
zero porque senao teremos divisao por zero)
Agora a questao da Mackenzie. Como na questao anterior, notemos que o
vertice de x^2+x esta no ponto (x=-1/2,y=-1/4). Entao, -1/4+tg(a)3/4 o que
implica tg(a)1. Olhando o ciclo, vemos que tg(a)=1 para a=45 e que tg(a)
assume valores negativos para Pi/2aPi. Assim, a resposta eh Pi/4aPi/2,
pois se a estiver entre 0 e 45 sua tangente eh menor que 1. Letra B.
Agora a questao do ITA (o ITA tem umas que sao dureza). Eu ja vi as
resolucoes propostas, mas desenvolvi uma que achei melhor. Se
tg(x-y)=sqrt(3), entao x-y=60 ou x-y=60+180 (estou considerando como se x-y
fosse um angulo alfa, por exemplo). Se tg(x)tg(y)=1, entao x+y=90 (o produto
das tangentes de angulos complementares eh 90 - tome como exemplo 30 e 60,
45 e 45, etc.) Assim, somos reduzidos a dois sistemas de equacoes:
x+y=90
x-y=60
ou
x+y=90
x-y=240
As solucoes sao (x=75,y=15) ou (x=165,y=-75). Esta ultima solucao pode ser
transformada em (x=-15,y=-75). Como sabemos que tg(75)=-tg(-75) (isso eh
funcao par, impar ou nao tem nada a ver?) e que tg(15)=-tg(-15), o modulo
pedido eh constante. Vamos calcular para x=75 e y=15.
tg(15)+tg(75)=sen(15)/cos(15)+sen(75)/cos(75)=(sen(15)cos(75)+sen(75)cos(15)
)/(cos(15)cos(75))
Notemos que o numerador sen(15)cos(75)+cos(15)sen(75) eh igual a
sen(75+15)=sen(90)=1. O denominador, por sua vez, pode ser transformado em
sen(15)cos(15), visto que cos(75)=sen(15) (angulos complementares). Entao, a
questao se resume a calcular
1/sen(15)cos(15)=2/(2sen(15)cos(15)) mas como
2sen(15)cos(15)=sen(2*15)=sen(30), temos que
1/sen(15)cos(15)=2/(1/2)=4
A ultima e mais importante ja foi resolvida aqui na lista. Eu so gostaria de
fazer uma observacao: se voce conhece calculo diferencial, basta derivar e
resolver a derivada para zero. Assim:
f(x)=sen(x)+cos(x)
f'(x)=cos(x)-sen(x)
Quando a derivada eh zero temos cos(x)-sen(x)=0, cos(x)=sen(x), o que so
acontece para x=45 ou x=45+180. No entanto, ainda nao sabemos se cada um
desses pontos eh de maximo ou minimo.
Analisando a segunda derivada:
f''(x)=-sen(x)-cos(x)
f''(45)=-sqrt(2) (menor que zero; 45 eh um ponto maximo)
f''(45+180)=sqrt(2) (maior que zero; 45+180 eh um ponto minimo)
Assim sendo, o maior valor que a funcao assume eh sen(45)+cos(45)=sqrt(2), e
o menor valor que assume eh
sen(45+180)+cos(45+180)=-sen(45)-cos(45)=-sqrt(2)
Abracos
Espero ter ajudado. Aguardo comentarios e correcoes. Valeu!
Douglas
-Mensagem original-
De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 17 de Novembro de 2000 22:03
Assunto: Questões de Trigonometria
Será que vcs poderiam resolver essas questões
(Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade
x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R.
(Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x +
tg a 3/4, então :
a) 0 a pi/4
b) pi/4 a pi/2
c) pi/2 a 3pi/4
d) a=3pi/4
e) nao existe a nessas condições
(ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy
= 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy.
Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ?
Re: Integral
Toda funcao continua eh (Riemann) integravel em qualquer intervalo fechado limitado (em particular, f(x)=x^x=exp(x lnx) ). E mais: tem uma primitiva. Outra questao diferente eh saber se esta primitiva tem uma expressao simpatica em termos de um catalogo de funcoes "usuais", tais como polinomios, quocientes de polinomios, funcoes trigonometricas, etc. Mais uma vez, nao pensar que "integrar" uma funcao eh achar uma Primitiva "camarada". Muitas vezes, isto nem eh necessario. Eh o que se passa, analogamente, com equacoes polinomiais que podem ser resolvidas por meio de radicais e outras que so sao resolvidas por metodos numericos. JP -Mensagem original- De: Leonardo Motta [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 16 de Novembro de 2000 23:33 Assunto: Re: Integral Escrevo para reforcar meu interesse nessa questao, a solucao da integral : x^x. Esta nao e' uma forma padrao, e nao parece possibilitar muita transformacao!! Se alguem tiver a certeza de que essa integral nao tem solucao, por favor dê um toque! :) []'s - Leonardo
Inequality
Fala ae galera! Alguém poderia, por favor, me dar alguma dica pra resolver a inequação abaixo. Verifique se a inequação abaixo vale para todo real positivo x, y e z. x^4 + y^4 + z^4 +xyz(x + y + z) = 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2). agradeço antecipadamente às respostas. obrigado abraços marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Relação na natureza.
Desculpem-me a falta de concisão nisto q escreverei, mas é realmente o melhor q posso fazer. Um amigo meu disse q havia lido num livro (ele não lembra o nome) sobre um matemático (também não lembra) deste século (tampouco sabe exatamente) que queria (ele não se lembra se conseguiu ou não) demonstrar que a relação entre o comprimento real do rio -- considerando-se as suas curvas e reentranças -- e a distância direta da sua nascente até sua desenbocadura, é pi. Eu sou demasiadamente leigo para dizer se isto é possível ou não. Apenas acho pouco provável, já q imaginar isso é dizer q o rio, aproximadamente, iria de sua nascente até sua foz, voltava até a nascente e retornava por último à foz para completar esta relação, q é o número q todos conhecemos (3,14...). Alguém sabe algo a respeito? Esse tipo intrigante de problema e outras peculiaridades da matemática me interessam deveras, porém sou tão viciado q às vezes não durmo direito a ficar pensando no problema. Colabore quem puder (e quiser!), por favor. Vik --- Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] wrote: At 21:47 17/11/2000 -0200, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Será que vcs poderiam resolver essas questões (Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R. (Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x + tg a 3/4, então : a) 0 a pi/4 b) pi/4 a pi/2 c) pi/2 a 3pi/4 d) a=3pi/4 e) nao existe a nessas condições (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy. Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Oi Hugo, Seja f(x) = asenx + bcosx ; faça tgt = b/a ( a# 0) e conclua que o máximo de f(x) =sqrt(a^2 +b^2) e que o mínimo é -sqrt(a^2 +b^2) ; ok ? . No exercício será sqrt(2).Sqrt representa a raiz de índice 2. []'s Carlos Victor = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/
Re: Relação na natureza.
tudo bom? Também sou meio suspeito em falar, mas os detalhes que este amigo te deu foram tão imprecisos...naum sei. Naum sabe o nome, o século, sei lah. Também acho bem estranho. Naum sei se é isto mesmo, acho, como você, pouco provavel, meas vejamos o que os matemáticos da lista dizem =) valeu! abraços marcelo From: Biscoito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Relação na natureza. Date: Sun, 19 Nov 2000 12:11:51 -0800 (PST) Desculpem-me a falta de concisão nisto q escreverei, mas é realmente o melhor q posso fazer. Um amigo meu disse q havia lido num livro (ele não lembra o nome) sobre um matemático (também não lembra) deste século (tampouco sabe exatamente) que queria (ele não se lembra se conseguiu ou não) demonstrar que a relação entre o comprimento real do rio -- considerando-se as suas curvas e reentranças -- e a distância direta da sua nascente até sua desenbocadura, é pi. Eu sou demasiadamente leigo para dizer se isto é possível ou não. Apenas acho pouco provável, já q imaginar isso é dizer q o rio, aproximadamente, iria de sua nascente até sua foz, voltava até a nascente e retornava por último à foz para completar esta relação, q é o número q todos conhecemos (3,14...). Alguém sabe algo a respeito? Esse tipo intrigante de problema e outras peculiaridades da matemática me interessam deveras, porém sou tão viciado q às vezes não durmo direito a ficar pensando no problema. Colabore quem puder (e quiser!), por favor. Vik --- Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] wrote: At 21:47 17/11/2000 -0200, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Será que vcs poderiam resolver essas questões (Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R. (Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x + tg a 3/4, então : a) 0 a pi/4 b) pi/4 a pi/2 c) pi/2 a 3pi/4 d) a=3pi/4 e) nao existe a nessas condições (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy. Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Oi Hugo, Seja f(x) = asenx + bcosx ; faça tgt = b/a ( a# 0) e conclua que o máximo de f(x) =sqrt(a^2 +b^2) e que o mínimo é -sqrt(a^2 +b^2) ; ok ? . No exercício será sqrt(2).Sqrt representa a raiz de índice 2. []'s Carlos Victor = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Questões de Trigonometria
Primeira questão: Seja a função f(x)=x²-2x. Seu valor mínimo é -1, ou seja, x²-2x= -1 para qualquer x real. Assim, para que a desigualdade do enunciado seja satisfeita, devemos ter 1/sen(a) -1. Para que isto ocorra, devemos ter -1sen(a)0, o que dá pi/2a3pi/2. -Mensagem Original- De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 17 de Novembro de 2000 21:47 Assunto: Questões de Trigonometria Será que vcs poderiam resolver essas questões (Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R. (Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x + tg a 3/4, então : a) 0 a pi/4 b) pi/4 a pi/2 c) pi/2 a 3pi/4 d) a=3pi/4 e) nao existe a nessas condições (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy. Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ?
Re: Relação na natureza.
tem uns paragrafossobre isso no livro o ultimo teorema de fermat de simon singh, quem estudou sobre isso parece que foram hans-henrik e albert enstein, , este ultimo falou da tendencis do equilibrio entre duas forcas que geram essa relacao, uma forca é que a correnteza numa curva é mais rapida na parte externa, provocando erosao maior, aumentando a sinuosidade da curva. a outra forca tem algo a ver que as sinuosidades(la diz meandros, nao sei se é a mesma coisa) exageradas vao voltar o rios sobre si proprio, anulando a outra forca, deixando o rio mais reto(pra mim nao ficou muito claro...). Parece que isso se verifica na pratica principalmente em planicies,como no brasil... From: "Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Date: Sun, 19 Nov 2000 21:33:33 GMT To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Relação na natureza. tudo bom? Também sou meio suspeito em falar, mas os detalhes que este amigo te deu foram tão imprecisos...naum sei. Naum sabe o nome, o século, sei lah. Também acho bem estranho. Naum sei se é isto mesmo, acho, como você, pouco provavel, meas vejamos o que os matemáticos da lista dizem =) valeu! abraços marcelo From: Biscoito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Relação na natureza. Date: Sun, 19 Nov 2000 12:11:51 -0800 (PST) Desculpem-me a falta de concisão nisto q escreverei, mas é realmente o melhor q posso fazer. Um amigo meu disse q havia lido num livro (ele não lembra o nome) sobre um matemático (também não lembra) deste século (tampouco sabe exatamente) que queria (ele não se lembra se conseguiu ou não) demonstrar que a relação entre o comprimento real do rio -- considerando-se as suas curvas e reentranças -- e a distância direta da sua nascente até sua desenbocadura, é pi. Eu sou demasiadamente leigo para dizer se isto é possível ou não. Apenas acho pouco provável, já q imaginar isso é dizer q o rio, aproximadamente, iria de sua nascente até sua foz, voltava até a nascente e retornava por último à foz para completar esta relação, q é o número q todos conhecemos (3,14...). Alguém sabe algo a respeito? Esse tipo intrigante de problema e outras peculiaridades da matemática me interessam deveras, porém sou tão viciado q às vezes não durmo direito a ficar pensando no problema. Colabore quem puder (e quiser!), por favor. Vik --- Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] wrote: At 21:47 17/11/2000 -0200, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Será que vcs poderiam resolver essas questões (Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R. (Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x + tg a 3/4, então : a) 0 a pi/4 b) pi/4 a pi/2 c) pi/2 a 3pi/4 d) a=3pi/4 e) nao existe a nessas condições (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy. Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Oi Hugo, Seja f(x) = asenx + bcosx ; faça tgt = b/a ( a# 0) e conclua que o máximo de f(x) =sqrt(a^2 +b^2) e que o mínimo é -sqrt(a^2 +b^2) ; ok ? . No exercício será sqrt(2).Sqrt representa a raiz de índice 2. []'s Carlos Victor = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
trigonometria
Demonstre que: 1/2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos nx = sen [( n + 1 / 2 )x] / [2. sen ( x / 2 )] para x diferente de k. 2 pi, k inteiro.
Re: Questões de Trigonometria
Obrigado pelas sua ajuda :))) Qual seria a resposta da questão da Fuvest que vc falou??? -Mensagem Original- De: AASmidi Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Domingo, 19 de Novembro de 2000 01:22 Assunto: Re: Questões de Trigonometria - Original Message - From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 17, 2000 9:47 PM Subject: Questões de Trigonometria Será que vcs poderiam resolver essas questões (Unicamp-SP) Determine a, 0 = a 2pi, de modo que a desigualdade x^2 -2x1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E R. (Mackenzie-SP) Se 0 = a = pi e, para todo x real, tem-se que x^2 + x + tg a 3/4, então : a) 0 a pi/4 b) pi/4 a pi/2 c) pi/2 a 3pi/4 d) a=3pi/4 e) nao existe a nessas condições (ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) = sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy. Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Caro Hugo, Em relaçãoà questão que pergunta sobre o valor máximo de sen x + cos x , parece se tratar de uma questão para vestibular (já alguma parecida com ela só que perguntava o valor máximo de f (x) = 3 cos x + 2 sen x , caiu nafuvest). A questão poderá ser resolvidapor derivadas (especificamente máximos e mínimos). Mas como não conheço seu nível de conhecimento tentarei dar uma explicação que envolve puramente a trigonometria. Vamos lá então. A expressão dada é 1 sen x + 1 cos x que irei chamar de f (x). Com os coeficientes 1 (de sen x) e 1 (de cos x) podemos formar um triângulo retângulo de catetos 1 e 1 e ângulo alfa (que no caso será 45, mas isso não importa). Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a medida da hipotenusa que será de sqrt(2) (raiz quadrada de dois). Assim, sen (alfa) = cos (alfa) = 1/sqrt(2). Portanto,f(x) = 1 sen x + 1 cos x pode ser escrita como f(x) = sqrt(2).((1/sqrt(2)).senx + (1/sqrt(2)).cosx) (observe que se você aplicar a propriedade distributiva tem-se a mesma expressão de antes). Ou ainda podemos escrever f (x) = sqrt(2) (sen(alfa).senx + cos(alfa).cosx) = sqrt(2). cos(alfa - x) (é só aplicar a fórmula do co-seno da diferença de arco só que de modo reverso). Como o valor máximo de cos(alfa - x) é 1, obtemos sqrt(2) . 1 = sqrt(2).
Trigonometria
Olá pessoal, será que vcs poderiam mandar uma seleção de questões difíceis de Trigonometria, (mas acessíveis a um aluno de segundo ano do segundo grau) Obrigado antecipadamente!! :)))
Re: Questões_de_Trigonometria
sen x + cos x nao pode superar o seu proprio valor absoluto. Por sua vez, estudar o maximo do modulo de sen x + cos x eh o mesmo que estudar o maximo de seu quadrado, que eh sen^2 x + cos^x + 2 sen x cos x = 1 + sen 2x, que atinge o valor maximo 2, quando sen 2x = 1, isto eh, quando 2x = pi/2 + 2k pi, ou seja, x= pi/4 + k pi. Para k par, sen x+ cos x assume o valor maximo raiz de 2, e para k impar, sen x + cos x assumeseu valor minimo menos raiz de 2. JP -Mensagem original- De: Biscoito [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 19 de Novembro de 2000 19:06 Assunto: Re: Questões_de_Trigonometria Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Como na relação de lançamento oblíquo, onde a distância máxima possível no lançamento de qualquer objeto é com o ângulo da metade do ângulo onde vc obtém a altura máxima (90 graus), ou seja, 45 graus. Da mesma forma q na física, 45 graus (pi/4) ou 135 graus (3*pi/4) representa o valor máximo desta soma, creio q raiz de 2 (sqr2/2 + sqr2/2). Vik = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/
Re: trigonometria
Sugestao: Sendo z = cos x + i senx, calcule a parte real de z+z^2+...+z^n (P.G.). JP -Mensagem original-De: filho [EMAIL PROTECTED]Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 19 de Novembro de 2000 21:30Assunto: trigonometria Demonstre que: 1/2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos nx = sen [( n + 1 / 2 )x] / [2. sen ( x / 2 )] para x diferente de k. 2 pi, k inteiro.
probabilidade
Um fazendeiro convida para a sua casa um amigo seu, através de um telefonema. As duas únicas informações sobre o caminho são: i. Ao longo do percurso, existem 10 "trifurcações" da estrada (3 subdivisões a partir de 1 pré-existente), sendo que para chegar-se à casa deve-se escolher a subdivisão apropriada a cada trifurcação; ii . Em 2 trifurcações deve-se virar à esquerda, em 3 deve-se virar à direita e em 5 deve-se seguir em frente (subdivisão central). Obviamente, é pouco provável que o amigo do fazendeiro consiga chegar à casa dele com estas informações apenas. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Por outro lado, seria ainda mais difícil se a segunda informação (ii) fosse omitida. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Encontre a razão P/P.
Re: Questão do ITA - Ajuda
M.Obrigado Alexandre, Após várias tentativas já estava desistindo de fazê-la. Além de não chegar a resposta final, comecei a ficar confuso acerca de tudo o que estava desenvolvendo, pois a Física da questão é simples. Bom, agora ficou claro o que faltava para chegar a resposta certa. Abraços, Thomas. From: "Alexandre Gomes" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Questão do ITA - Ajuda Date: Sat, 18 Nov 2000 02:33:51 GMT Esta questão do ITA é um pouco feia, pois não mede o conhecimento físico do candidato, mas sim suas habilidades no que diz respeito ao manejo de equações. Faça v1(t)=at e v2(t)=na(t-deltat) Chega-se facilmente a s1(t)=t*at e s2(t)=na*(t-deltat)^2 Igualando as duas equações e efetuando algumas operações simples chega-se à equação do segundo grau (1-n)t^2 + 2ndeltat*t - ndeltat^2=0 Resolva esta equação e chegue à solução válida (n+raiz de (n))*deltat/(n-1) Agora é que vem a sacanagem da questão. Repare que o numerador também pode ser escrito na forma raiz de n*(raiz de (n) + 1)*deltat e o denominador na forma (raiz de (n) - 1)*(raiz de (n) + 1) Assim, chega-se à resposta (raiz de (n))*deltat/(raiz de (n) - 1) O candidato desatento não acertaria a questão, mesmo que talvez tenha feito corretamente. Devido à extensão da prova, aqueles menos atentos talvez não tentassem racionalizar todos os denominadores nas alternativas para que chegassem até a resposta correta. Espero ter colaborado. Alexandre S. Gomes. From: "Thomas de Rossi" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Questão do ITA - Ajuda Date: Fri, 17 Nov 2000 16:05:13 GMT Oi Pessoal, Segue abaixo uma questão do ITA (muito antiga), de Física. Acredito que a Física não seja tão comprometedora (já que está não é uma lista de Física), sobrando assim muita matemática... Eu tentei resolver mas não chego a resposta final dada como certa, vejam a questão; ITA-FIS) Um móvel 'A' parte da origem 'O', com velocidade inicial nula, no instante 't0 = 0 s', e percorre o eixo 'Ox' com aceleração constante 'a'. Após um intervalo de tempo 'deltat', contado a partir da saída de 'A', um segundo móvel 'B' parte de 'O' com uma aceleração igual a 'na', sendo 'n1'. 'B' alcançara 'A' no instante: A resposta final deverá ser: t = (raiz(n)/ (raiz(n) - 1))* deltat. Dêem uma olhada nos meus cálculos... Primeiramente referenciaremos o movimento de acordo com as acelerações e o tempo em que os móveis 'A' e 'B' saem do repouso. As funções são: 'aA(t) = a', se t 0 e 'aB(t) = na', se t deltat Assim para função das velocidades, As funções são: vA(t) = a*t, e vB(t) = an*t - an*deltat Sendo as funções posição definidas como: vA(t)*t = a*t^2, e vB(t)*t = an*t^2 - an*deltat*t Ficando assim: A(t) = at^2 B(t) = na*t^2 - na*deltat*t No encontro dos móveis teremos: A(t) = B(t), ou vA(t) = vB(t), assim o tempo 't' do encontro será igual a, vA(t) = a*t, e vB(t) = an*t - an*deltat, vA(t) = vB(t), a*t = an*t - an*delta*t, t = n*t - n*deltat, t - nt = - n*deltat, (1 - n)*t = - n*deltat, t = - n*deltat / (1 - n) Não estou conseguindo fechar nos cálculos e não sei se é por alguma dedução Física/ou Matemática que não estou conseguindo chegar a resposta correta. Agradeço pela ajuda, Abraços, Thomas. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: trigonometria
Vamos tentar uma prova por induo.
- Para n=0, temos 1/2 = Sen(X/2)/2Sen(X/2)
= 1/2, pois X diferente de 2k.pi
- Vamos tomar
como hiptese de induo, o pedido para n=j : 1/2 # cosX #
cos2X #...# cosjX = Sen[(j#1/2)X]/[2Sen(X/2)]
- Seja P(j) = 1/2 # cosX # ... #cosjX, Da,
temos que P(j#1)=P(j) # cos[(j#1)X]
- ... P(j#1) = Sen[(j#1/2)X]/[2Sen(X/2)] # cos[(j#1)X]
- P(j#1) = { Sen[(j#1/2)X] # 2Sen(X/2) * cos[(j#1)X] }/2Sen(X/2)
- P(j#1) = { Sen[(j#1/2)X] # Sen[(j#1#1/2)X] - Sen[(j#1/2)X]
}/2Sen(X/2)
- P(j#1) = Sen[(j#1#1/2)X]/2Sen(X/2)
- Da, como P(j) vlido implica P(j#1) vlido, temos,
pelo principio da induo finita, que valido o que
queramos mostrar.
Villard
!
-Mensagem original-De:
filho [EMAIL PROTECTED]Para:
discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data:
Domingo, 19 de Novembro de 2000 20:41Assunto:
trigonometria
Demonstre que:
1/2 + cos x + cos 2x + cos
3x + ... + cos nx = sen [( n + 1 / 2 )x]
/ [2. sen ( x / 2 )]
para x diferente de k. 2 pi, k
inteiro.
