Re: Gavetas
Para o seu problema : Seja 2^x = y ( y > 0). Daí, y^2 - a*y + (3a-8) = 0 (I) Delta = D.. D = a^2 - 12a + 32. Como queremos única solução, devemos ter a = 4 ou a = 8 ( Delta = 0 ). Para isso, teremos y = a/2, o que nos dá y = 2 e y = 4 Daí, no primeiro caso, x = 1. Do segundo, x = 2. Parece que os valores de a são 4 e 8, no entanto estou meio desconfiado de alguma armadilha ! - Por que acho isso ?? Porque testando a = 8/3, temos 2^x ( 2^x - 8/3 ) = 0 e como 2^x nunca é zero, temos que x é igual a log 8/3 na base 2, que é real e é único ! Hum.. acho que tive uma idéia !! Como o gráfico da equação (I) tem a concavidade para cima e queremos uma raiz real apenas, basta obrigar y1 < 0 < y2 ( y1 e y2 são raízes) , pois y1 < 0 gera 2^x < 0... absurdo ! Com isso, defino P(y) = y^2 - a*y + (3a-8). Para termos o 0 entre as raízes, devemos ter P(0) < 0, o que nos dá 3a-8 < 0 ... a < 8/3. Como verificamos que 8/3 serve tb, então a=<8/3. Daí, temos a solução seguinte : a pertence aos reais, tal que a=4 ou a=8 ou a=<8/3 ( o que parece agora estar certo ) Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Eduardo Favarão Botelho <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 23:21 Assunto: Gavetas >Olá a todos! > >O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio das gavetas, e sua >solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor: > >Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja >soma é divisível por n. > >Bom... e aproveitando, vou deixar um problema que achei muito >interessante de uma apostila do curso pré-vestibular do Objetivo: > >Considere, em R, a equação 4^x - a.2^x + (3a - 8) = 0 > >Determine todos os valores de a para que a equação admita uma única >solução real. > >Abraços, Eduardo > >
Re: Gavetas
On Thu, 7 Dec 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote: > Olá a todos! > > O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio das gavetas, e sua > solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor: > > Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja > soma é divisível por n. Deve ser um conjunto não vazio, senão fica fácil. ;-) Sejam a_1, a_2, ..., a_n os inteiros. Considere as n+1 somas 0, a_1, a_1 + a_2, ..., a_1 + a_2 + ... + a_n: há duas que deixam o mesmo resto na divisão por n. Considere a diferença... []s, N.
Gavetas
Olá a todos! O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio das gavetas, e sua solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor: Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja soma é divisível por n. Bom... e aproveitando, vou deixar um problema que achei muito interessante de uma apostila do curso pré-vestibular do Objetivo: Considere, em R, a equação 4^x - a.2^x + (3a - 8) = 0 Determine todos os valores de a para que a equação admita uma única solução real. Abraços, Eduardo
Re: Integral
Em primeiro lugar, eh preciso estar claro a que integral voce se refere. Se a integral em questao eh a de Riemann, em um intervalo da forma [a;b], entao a continuidade eh suficiente (esta continuidade eh tambem suficiente para garantir a existencia de uma primitiva), mas nao necessaria: basta pensar em uma funcao que eh zero para x entre 0 e 1, e 1 nos extremos 0 e 1. Esta funcao eh Riemann-integravel, sua integral eh zero e ela eh discontinua em 2 pontos do intervalo. Uma condicao necessaria e suficiente eh que ela seja limitada e que o conjunto de seus pontos de descontinuidade tenha comprimento (medida de Lebesgue) igual a zero. JP -Mensagem original- De: Leonardo Motta <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 22:36 Assunto: Re: Integral >> Quais são os critérios, para sabermos se uma função é integrável? > >A funcao deve ser continua no intervalo em questao e deve-se conhecer uma >funcao derivada identica a funcao que se deseja integrar... Creio que soh! >:) > > >
Re: Integral
> Quais são os critérios, para sabermos se uma função é integrável? A funcao deve ser continua no intervalo em questao e deve-se conhecer uma funcao derivada identica a funcao que se deseja integrar... Creio que soh! :)
Re: 260
Favor deletar meu e-mail de sua lista
.Grato.
Castejon
-Mensagem original-De:
Alexandre F. Terezan <[EMAIL PROTECTED]>Para:
OBM <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 15:57Assunto: Re:
260
Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Seja An todas as arrumacoes de n possíveis (pela regra), ou
seja,
n {An} = Bn
* A primeira parcela [B(n-1) x (n-1)] se refere às (n-1)
posicoes em q podemos colocar o enésimo termo em cada uma das
arrumaçoes de A(n-1), fazendo valer a regra.
* A segunda parcela é um pouco mais complexa.
Ela se refere aos casos particulares em que com os primeiros (n-1)
termos temos APENAS UM par de algarismos desobedecendo a regra, ou seja,
temos 2 algarismos consecutivos em ordem.
Assim, podemos colocar o último algarismo entre esses dois,
fazendo a regra voltar a valer.
Um dos pares de números consecutivos de 1 a (n-1) pode ser
considerado como um algarismo apenas, fazendo valer a regra para A(n-2), o q
nos dará arrumacoes onde haverá apenas UM par desobedecendo a
regra (o par q escolhemos). Nesse caso, há B(n-2) maneiras
possíveis.
Ora, podemos fazer valer a regra, desta maneira, com qualquer par de
números consecutivos (em ordem) de 1 a (n-1). Como existem (n-2)
pares neste conjunto, e há B(n-2) maneiras para cada par, prova-se a
segunda parcela.
Assim, Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Onde vc ficou surpreso, Nicolau?
- Original Message -
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 00:35
Subject: 260
Não, não é o número de pontos
de ninguém.É o número de membros da nossa lista:
260.Eu verifico este número periodicamente e esta é a 1a
vezque observo um número >250.Mas mudando de
assunto...Arrumamos em fila n bolinhas numeradas de 1 a n.De
quantas formas podemos fazê-lo sem que:1 fique imediatamente antes
de 2,2 fique imediatamente antes de
3, ...(n-1)
fique imediatamente antes de n?Chamemos a resposta de
BnEstas são as únicas restrições.
Não é proibido que 2 venha logo antes de
1.TemosB2 = 1 (21)B3 = 3 (132, 213, 321)B4 = 11
(1324, 1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 4132, 4213, 4321)O
problema não é tão difícil, mas há algo
que me surpreendeu na resposta.[]s,
N.
Re: Divisibilidade
favor retirar meu e-mail desta lista . Castejon -Mensagem original-De: Jorge Peixoto Morais <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 18:16Assunto: Divisibilidade O argumento do Morgado (O Grande) mostra que a e b tem os mesmos fatores primos. Isole um deles. Se o expoente eh x em a e y em b, temos que x=<2y, 2y=<3x... nx=<(n+1)y, (n+1)y=<(n+2)x. Então (n/(n+1))x = (n/(n+1))x=
Divisibilidade
O argumento do Morgado (O Grande) mostra que a e b tem os mesmos fatores primos. Isole um deles. Se o expoente eh x em a e y em b, temos que x=<2y, 2y=<3x... nx=<(n+1)y, (n+1)y=<(n+2)x. Então (n/(n+1))x = (n/(n+1))x=
Re: 260
Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Seja An todas as arrumacoes de n possíveis (pela regra), ou seja,
n {An} = Bn
* A primeira parcela [B(n-1) x (n-1)] se refere às (n-1) posicoes em q
podemos colocar o enésimo termo em cada uma das arrumaçoes de A(n-1), fazendo
valer a regra.
* A segunda parcela é um pouco mais complexa.
Ela se refere aos casos particulares em que com os primeiros (n-1) termos
temos APENAS UM par de algarismos desobedecendo a regra, ou seja, temos 2
algarismos consecutivos em ordem.
Assim, podemos colocar o último algarismo entre esses dois, fazendo a regra
voltar a valer.
Um dos pares de números consecutivos de 1 a (n-1) pode ser considerado como
um algarismo apenas, fazendo valer a regra para A(n-2), o q nos dará arrumacoes
onde haverá apenas UM par desobedecendo a regra (o par q escolhemos). Nesse
caso, há B(n-2) maneiras possíveis.
Ora, podemos fazer valer a regra, desta maneira, com qualquer par de
números consecutivos (em ordem) de 1 a (n-1). Como existem (n-2) pares neste
conjunto, e há B(n-2) maneiras para cada par, prova-se a segunda parcela.
Assim, Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Onde vc ficou surpreso, Nicolau?
- Original Message -
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To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 00:35
Subject: 260
Não, não é o número de pontos de ninguém.É o número de
membros da nossa lista: 260.Eu verifico este número periodicamente e esta é
a 1a vezque observo um número >250.Mas mudando de
assunto...Arrumamos em fila n bolinhas numeradas de 1 a n.De quantas
formas podemos fazê-lo sem que:1 fique imediatamente antes de 2,2 fique
imediatamente antes de
3, ...(n-1) fique
imediatamente antes de n?Chamemos a resposta de BnEstas são as
únicas restrições. Não é proibido que 2 venha logo antes de
1.TemosB2 = 1 (21)B3 = 3 (132, 213, 321)B4 = 11 (1324,
1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 4132, 4213, 4321)O problema
não é tão difícil, mas há algo que me surpreendeu na resposta.[]s,
N.
Re: divisibilidade
Favor excluir meu e-mail de sua lista .Grato. Castejon/Goiânia -Mensagem original- De: José Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 12:15 Assunto: Re: divisibilidade >Ah! >Agora eh que percebi que havia uns pontinhos na sequencia >a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, b^4|a^5.. >De qualquer forma, o meu contra-exemplo serve para mostrar >que se a sequencia de "divide"s para em 5, a proposicao eh falsa. >E acho que fica tambem claro que serah falso se separar em qualquer n. >JP > > > >-Mensagem original- >De: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 23:55 >Assunto: Re: divisibilidade > > >>Nossa! Achei que, provado que os fatores primos eram os mesmos, >>completar a prova era infantil. Nao eh nao. >>Suponha que os expoentes do fator primo p em a e b sao respectivamente s >>e t. >>Como a divide b^2, s<2t (< significa menor ou igual). Bomo b^2 divide >>a^3, 2t<3s .. >> >>No fim encontra-se >>s<2t<3s<4t<5s >>Vamos mostrar que t/s (que chamarei de r) eh igual a 1. >>Dividindo as desigualdades por s encontra-se >>1<2r<3<4r<5<6r.. >>1/2>3/4>5/6>. >>As sequencias (2n-1)/2n e >>(2n+1)/2n tendem para 1 e (sanduiche) r=1. >> >> >> >>José Paulo Carneiro wrote: >>> >>> Salvo melhor juizo, >>> o fato de a e b terem os mesmos fatores primos, nao significa que sejam >>> iguais. >>> Creio que a=2^8 e b=2^9 constituem um contra-exemplo. >>> a=2^8 | b^2=2^18 | a^3=2^24 | b^4=2^36 | a^5=2^50 >>> JP >>> >>> -Mensagem original- >>> De: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >>> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >>> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 10:18 >>> Assunto: Re: divisibilidade >>> >>> >Se a=1, b^2 divide a^3 implica b^2 divide 1 e como b eh positivo, b=1. >>> >Se b=1, a divide b^2 implica a divide 1 e como a eh positivo, a=1. >>> >Logo, basta provar nos casos a e b maiores que ou iguais a 2. >>> >Se p eh um fator primo de a, p eh tambem de b^2 e portanto de b. >>> >Se p eh um fator primo de b, p eh tambem de b^2 e portanto de a^3 e >>> >portanto de a. >>> >Logo, os fatores primos de a e b sao os mesmos. >>> > >>> >Marcelo Souza wrote: >>> >> >>> >> Oi pessoal! >>> >> >>> >> Alguém poderia resolver o problema abaixo para mim >>> >> >>> >> 1. Sendo a e b inteiros positivos tais que a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, >>> >> b^4|a^5.., prove que a=b. >>> >> >>> >> agradeço antes >>> >> abraços >>> >> marcelo >>> >> >>> >> >>> >___ _ >>> _ >>> >> Get more from the Web. FREE MSN Explorer download : >>> http://explorer.msn.com >>> > >> >
Re: Fofoca Matematica.
Favor cancelar meu e-mail de sua lista , Grato. Castejon/Goiânia -Mensagem original- De: Wilson G. G. <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 09:20 Assunto: Re: Fofoca Matematica. >Parabens moçada. > > >-Mensagem original- >De: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> >Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 11:52 >Assunto: Fofoca Matematica. > > >> >> >> >>24 horas de competicao sem parar no Mat-Quiz!! >> >>No passado dia 4 de dezembro `as 10:00 horas da manha >>deu-se inicio a uma curiosa competicao para matematicos >>(profissionais e alunos de doutorado) organizada pelo CRM >>(Centre de Recerca Matematica)- Barcelona em comemoracao >>ao ano Internacional da Matematica. >>O jogo foi disputado por equipes (sem limite no numero >>de integrantes) que competiram durante 24 horas seguidas >>via internet contra outros times do mundo todo. >>Para defender o Brasil inscreveram-se na brincadeira 3 >>Matematicos: >>Krerley Oliveira, Fabio Brochero e Gugu estes "valentes" >>Matematicos enfrentaram o cansaco trancados na Biblioteca >>do IMPA competindo via internet contra mais de 100 times. >>A competicao acabou as 10 horas da manha de ontem e os caras >>ficaram em terceiro e ganharam um computador da SUN. >> >> >>Parabens!! (Haja folego hein,z!). >> >> >>Abracos, >>Nelly. >> >> >> >
Re: divisibilidade
Ah! Agora eh que percebi que havia uns pontinhos na sequencia a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, b^4|a^5.. De qualquer forma, o meu contra-exemplo serve para mostrar que se a sequencia de "divide"s para em 5, a proposicao eh falsa. E acho que fica tambem claro que serah falso se separar em qualquer n. JP -Mensagem original- De: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 23:55 Assunto: Re: divisibilidade >Nossa! Achei que, provado que os fatores primos eram os mesmos, >completar a prova era infantil. Nao eh nao. >Suponha que os expoentes do fator primo p em a e b sao respectivamente s >e t. >Como a divide b^2, s<2t (< significa menor ou igual). Bomo b^2 divide >a^3, 2t<3s .. > >No fim encontra-se >s<2t<3s<4t<5s >Vamos mostrar que t/s (que chamarei de r) eh igual a 1. >Dividindo as desigualdades por s encontra-se >1<2r<3<4r<5<6r.. >1/23/45/6. >As sequencias (2n-1)/2n e >(2n+1)/2n tendem para 1 e (sanduiche) r=1. > > > >José Paulo Carneiro wrote: >> >> Salvo melhor juizo, >> o fato de a e b terem os mesmos fatores primos, nao significa que sejam >> iguais. >> Creio que a=2^8 e b=2^9 constituem um contra-exemplo. >> a=2^8 | b^2=2^18 | a^3=2^24 | b^4=2^36 | a^5=2^50 >> JP >> >> -Mensagem original- >> De: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 10:18 >> Assunto: Re: divisibilidade >> >> >Se a=1, b^2 divide a^3 implica b^2 divide 1 e como b eh positivo, b=1. >> >Se b=1, a divide b^2 implica a divide 1 e como a eh positivo, a=1. >> >Logo, basta provar nos casos a e b maiores que ou iguais a 2. >> >Se p eh um fator primo de a, p eh tambem de b^2 e portanto de b. >> >Se p eh um fator primo de b, p eh tambem de b^2 e portanto de a^3 e >> >portanto de a. >> >Logo, os fatores primos de a e b sao os mesmos. >> > >> >Marcelo Souza wrote: >> >> >> >> Oi pessoal! >> >> >> >> Alguém poderia resolver o problema abaixo para mim >> >> >> >> 1. Sendo a e b inteiros positivos tais que a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, >> >> b^4|a^5.., prove que a=b. >> >> >> >> agradeço antes >> >> abraços >> >> marcelo >> >> >> >> >> >> _ >> >> Get more from the Web. FREE MSN Explorer download : >> http://explorer.msn.com >> > >
Re: Fofoca Matematica.
Parabens moçada. -Mensagem original- De: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 11:52 Assunto: Fofoca Matematica. > > > >24 horas de competicao sem parar no Mat-Quiz!! > >No passado dia 4 de dezembro `as 10:00 horas da manha >deu-se inicio a uma curiosa competicao para matematicos >(profissionais e alunos de doutorado) organizada pelo CRM >(Centre de Recerca Matematica)- Barcelona em comemoracao >ao ano Internacional da Matematica. >O jogo foi disputado por equipes (sem limite no numero >de integrantes) que competiram durante 24 horas seguidas >via internet contra outros times do mundo todo. >Para defender o Brasil inscreveram-se na brincadeira 3 >Matematicos: >Krerley Oliveira, Fabio Brochero e Gugu estes "valentes" >Matematicos enfrentaram o cansaco trancados na Biblioteca >do IMPA competindo via internet contra mais de 100 times. >A competicao acabou as 10 horas da manha de ontem e os caras >ficaram em terceiro e ganharam um computador da SUN. > > >Parabens!! (Haja folego hein,z!). > > >Abracos, >Nelly. > > >
Re: Fofoca Matematica.
Só de curiosidade me diga quais equipes foram as 10 primeiras.??? E como eram os testes ?? Ate mais. -Mensagem original- De: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 11:52 Assunto: Fofoca Matematica. > > > >24 horas de competicao sem parar no Mat-Quiz!! > >No passado dia 4 de dezembro `as 10:00 horas da manha >deu-se inicio a uma curiosa competicao para matematicos >(profissionais e alunos de doutorado) organizada pelo CRM >(Centre de Recerca Matematica)- Barcelona em comemoracao >ao ano Internacional da Matematica. >O jogo foi disputado por equipes (sem limite no numero >de integrantes) que competiram durante 24 horas seguidas >via internet contra outros times do mundo todo. >Para defender o Brasil inscreveram-se na brincadeira 3 >Matematicos: >Krerley Oliveira, Fabio Brochero e Gugu estes "valentes" >Matematicos enfrentaram o cansaco trancados na Biblioteca >do IMPA competindo via internet contra mais de 100 times. >A competicao acabou as 10 horas da manha de ontem e os caras >ficaram em terceiro e ganharam um computador da SUN. > > >Parabens!! (Haja folego hein,z!). > > >Abracos, >Nelly. > > >
