Re: Polinômio unitário

[José Paulo Carneiro]

Pode ser que esteja querendo dizer que o coeficiente do termo 
de mais alto grau eh 1.
Em geral se chama isto de monico.
 
Ou entao que tal polinomio eh uma "unidade", termo usado por 
alguns em um dominio de integridade (ou seja, um anel sem divisores de zero) 
para dizer que o polinomio eh invertivel. Por exemplo, se os coeficientes do 
polinomio estao em um corpo (por exemplo, R ou Q), os invertiveis sao os 
polinomios de grau zero.
JP
 
-Mensagem original-De: 
Daniel <[EMAIL PROTECTED]>Para: 
Lista da OBM <[EMAIL PROTECTED]>Data: 
Terça-feira, 16 de Janeiro de 2001 00:15Assunto: Polinômio 
unitário
        
    Por um acaso alguém sabe o que um autor quer dizer quando 
fala que um polinômio é unitário?
 
        
                
                
Daniel

Polinômio unitário

[Daniel]

        
    Por um acaso alguém sabe o que um autor quer dizer quando 
fala que um polinômio é unitário?
 
        
                
                
Daniel

Re: Duas Questoes interessantes !

[Ralph Costa Teixeira]

Oi, Iolanda.

> 2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com
> todos os demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a
> derrota nao confere pontos. Qual a quantidade minima de pontos que
> um clube precisara fazer para ter certeza que ficara entre os 12
> primeiros ?

De fato, a gente já tinha discutido aqui na lista esse problema para
um octagonal onde apenas 4 times se classificam... Eu acho que agora
consegui generalizar a idéia que a gente tinha usado antes para
qualquer n par (n é o número de clubes que se classificam). Mas
primeiro, deixa eu dar a idéia usando o problema da Iolanda -- 36
times, 12 se classificam.

Nota: a idéia principal do problema está nos itens (i) e (ii), o
resto são detalhes técnicos necessários para evitar surpresas.

i) Primeiro eu vou mostrar que 87 pontos não são suficientes. De
fato, imagine a seguinte situação: há dois tipos de times, sendo 13
fortes e 23 fraquinhos, e os fraquinhos sempre perdem dos fortes.
Chame os "fortes" de T1, T2, ..., T13, e imagine que:

T1 ganha de T2,T3,...,T7 mas perde de T8,T9,...,T12,T13
T2 ganha de T3,T4,...,T8 mas perde de T9,T10,...,T13,T1
T3 ganha de T4,T5,...,T9 mas perde de T10,T11,...,T1,T2
...
Ti ganha de T(i+1),...,T(i+6) mas perde de T(i+7),...,T(i+12)
...
T13 ganha de T1,T2,...,T6 mas perde de T7,T8,...,T12

onde os índices são calculados módulo 13. Uma maneira compacta de
escrever isto é

Ti ganha de Tj se (i-j)mod13 = 1,2,3,4,5 ou 6

É importante notar que as hipóteses acima são coerentes, isto é, se a
linha i diz que Ti ganha de Tj, então a linha j diz que Tj perde de Ti
(ainda bem -- a notação compacta ajuda a ver isto).

Assim, esta é uma situação onde esses 13 times ganham 23+6=29
partidas e ainda assim um deles fica de fora das finais (no saldo de
gols ou no tapetão, sei lá)... Isso prova que 29x3=87 pontos não é
suficiente para GARANTIR um lugar nas finais.

ii) Por outro lado, uma quantia de 88 ou mais pontos é suficiente. Se
você olhar para os 13 times melhor classificados, eles estão
envolvidos em 13x23+13x12/2=13x29 jogos (a primeira parcela
corresponde aos jogos contra os outros 23 e a segunda aos jogos que
esses 13 disputam entre si). Assim, esses 13 times disputam
13x29x3=13x87 pontos NO MÁXIMO. É impossível que esses 13 times tenham
88 ou mais pontos (13x88>13x87) assim 88 (ou qualquer quantia
maior) garante a 12a colocação (ou melhor) e a sua presença nas
finais. De certa maneira, a situação em (i) é a situação "limite"...

iii) Vale a pena notar que, só porque 87 não é suficiente, não quer
dizer que 86 não é (apesar de a intuição querer gritar isso)! Para
provar que 86 também não dá, comece da situação em (i) acima e
modifique-a ligeiramente colocando empates nos seguintes jogos:

T1 vs. T2, T2 vs. T3 e T3 vs. T8

O resto mantenha como antes. Assim, há 10 times fortes com os mesmos
87 pontos de antes, e esses 3 citados acima passam a 86 (cada um troca
uma vitória e uma derrota por dois empates). Um deles fica de fora...
então 86 não é suficiente.

iv) Não é difícil ver que 85 ou menos definitivamente também não é
suficiente (basta modificar a situação de (i) onde o seu time perdeu
pontos contra os "fracos" e acabou com n<85 pontos, enquanto os
confrontos envolvendo os fortes são os mesmos... isso dá para fazer
com n entre 18 e 85 mantendo a tabela de confrontos entre os fortes;
se n<18, pô, aí não dá mesmo... precisamente, é fácil modificar também
os jogos contra os fortes e fazer você perder mais pontos ainda sem
piorar a vida dos "fortes").

==//==

Ufa! Isso fecha o problema. Note que o raciocínio acima pode ser
facilmente generalizado sempre que o número de classificados for par.
Em outras palavras, se m times disputam um campeonato, cada um jogando
com cada um apenas uma vez, e os n=2k primeiros se classificam (com
n

Re: OBM, OPM e ORMU

[edmilson motta]

Aí vão as datas:

OPM (Em primeira mão!!)
Primeira Fase: Em data a ser definida pela própria
escola, porém anterior a 31/05.
Segunda Fase: 19/08
Fase Final: 10/11

ORMU
Primeira Fase: 07/04
Segunda Fase: 12/05
Fase Final: 23/06 e 15/09
Premiação: 06/10

OBM
Ainda não definida. Aguardem!

Abraços, Ed.
--- Bruno Woltzenlogel Paleo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá,
> 
> Já estão definidos os dias em que ocorrerão as
> olimpíadas OBM, OPM(Olimpíada
> Paulista) e ORMU(Olimpiada Regional de Matematica da
> Unicamp)?
> 
> Alguem sabe se a ORMU possui home-page?
> 
> Até mais...
> 
> 
> 


__
Do You Yahoo!?
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http://personal.mail.yahoo.com/

Re: Duas Questoes interessantes !

[josimat]

Olá Iolanda!
Veja o que o Nicolau escreveu a respeito do problema das esferas:



On Mon, 6 Nov 2000, Claudio Licciardi wrote:

> Ola pessoal da lista,
>
> Estou com um problema que pode parecer meio bobo, mas ainda não consegui
> resolver ou ateh provar.
> Gostaria que alguém me ajudasse. O problema consiste em descubrir e
mostrar
> qual o numero maximo de esferas de raio r que podemos colocar de forma a
> encostar na superficie de uma unica esfera de mesmo raio r localizada no
> centro!!
>
> Ateh agora cheguei em 10, 12 ou 14, mas com nenhuma certeza.
>
> Valeu
> Caio Licciardi
>

A resposta certa é 12, mas o problema de bobo não tem nada.
Não é difícil construir 12 esferas tocando a esfera central:
você pode por exemplo tomar os centros dela nos vértices
de um icosaedro regular. Ou você pode observar uma pilha
de laranjas na feira.

O difícil é provar que é impossível acomodar uma 13a esfera.
Newton tentou e não conseguiu, acho que isto dá uma certa
idéia do grau de dificuldade do problema.

[]s, N.

-Mensagem original-
De: Iolanda Brazão <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 19:23
Assunto: Duas Questoes interessantes !


>Ola Colegas;
>
>Duas questoes interessantes e que  nao consigo resolver podem ser
enunciadas
>como segue :
>
>1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e
>possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio.
>
>2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os
>demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere
>pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer
para
>ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ?
>
>Alguem pode me indicar como resolve-los ?
>
>Saudacoes.
>IB - 12 de janeiro de 2001
>
>_
>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
>

probleminha

[Benedito Tadeu V. Freire]

Prezado Marcelo,
Pense no seguinte:
Qual é a paridade do número de ímpares de 1 
a  100?
Você poderia encontrar como resultado final algum número
ímpar?
Benedito
Marcelo Ferreira wrote:

  Para
quem quiser pensar, segue o problema abaixo:  
Escrevemos em um quadro negro os números inteiros de 1 a 100. Depois
escolhemos dois números a e
b escritos no quadro, apagamos a e b e
escrevemos a-b (agora há 99
inteiros escritos no quadro). Repetimos este
processo até que haja um único
inteiro escrito no quadro. Prove que este
inteiro nunca pode ser igual a 1.




begin:vcard 
n:Freire;Benedito Tadeu
tel;fax:55 84 211 92 19
tel;work:55 84 215 38 20
x-mozilla-html:TRUE
org:Chefe do Departamento de Matemática;UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
adr:;;Caixa Postal 1214;Natal;Rio Grande do Norte;59075-970;Brasil
version:2.1
email;internet:[EMAIL PROTECTED]
title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
end:vcard

re: tô helpando...

[Eduardo Botelho]

Fala Washington...

fala a verdade, vc está querendo que a gente faça seu trabalho de
escola, não é? :-).. Aqui vão os 10 primeiros...

1) An = a_1 + (n-1)r => An = 6n - 5
2)a_15 = 4 +14.6 => a_15 =88
3)98/5 = 19.5 + 3. portanto, 19  (zero não incluso) (análogo ao  6)
4)a_1 = 1 e a_13 = 37.   a_13 = a1 + 12r =>  r = 3. Só montar..
5) Do mesmo jeito, r =4.8
6) 95 - 10 = 85. 85/3 = 28.3 + 1. 28, portanto. Ou por justificativa mais
formal: seja a_1 =12 (primeiro divisível por 3 maior que 10) e r=3. 95 = 12
+ (n-1)3 => n = 28.6 .Resp: [28.6] = 28
7)a_1 = 7 e a_n+2 = 25, com r=3.   25 =7+ (n+1).3  => n=5. Cinco meios
8)a_1=3 e a_18= 88. a_18 = a_1 +17r =>  r = 5
9) escreva em função de a_1 e r... vem um sistema de duas incógnitas e duas
equações..
10) mesma história...

Abraços, Eduardo

-Mensagem original-
De: Lopes, Washington <[EMAIL PROTECTED]>
Para: '[EMAIL PROTECTED]' <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Segunda-feira, 15 de Janeiro de 2001 08:48
Assunto: RE: Geometria, correção


>Bom dia,
>
>Caro Eduardo, tenho algumas dúvidas em alguns exercícios propostos para o
>ensino médio.
>
>Gostaria que o senhor me ajudasse a responde esses execícios que com
certeza
>tirarei
>
>todas as minhas dúvidas.
>
>
>
>Vou prestar o vestibular e ainda tenho dúvidas nesses exercícios que estou
>estudando.
>
>
>
>
>
>
>
>1 - Encontre o termo geral da PA (1,7, ...)
>
>2 - Qual é o décimo quinto termo da PA (4,10, ...)
>
>3 - Quantos são os números naturais menores que 98 e divisível por 5?
>
>4 - Interpole 11 meios aritmédicos entre 1 e 37.
>
>5 - Interpole 9 meios aritméticos entre 1 e 49.
>
>6 - Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?
>
>7 - Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a
>razão seja 3?
>
>8 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km
>3 e o outro
>
>no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre
>dois consecutivos
>
>sempre a mesma distância. Determine em quantos marcos quilométricos deverão
>ficar esses
>
>novos telefones.
>
>9 - Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA.
>
>10- Ache 5 números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 28
>e a soma
>
>dos outros três é 24.
>
>11- Ache três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto
é
>105.
>
>12- Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...)
>
>13- Determine o 6º termo de uma PG (5,10,20, ...)
>
>14- Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 são termos consecutivos de uma PG.,
>calcule X de modo que seja
>
>positivo.
>
>15- Insira 4 meios geométricos entre a e 486, obtém-se um aP.G. de razão
>igual a 3.Qual é o
>
>valor de a? 2 2
>
>16- Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J + J __ i-j,se.i=j
>
>17- Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = /
>
>__ j-i,se.j#j
>
>18- Determine a, b, x e y sabendo que (x+y a+2b) = (3 -1)
>
>(-y+2x b-a ) = (0 7)
>
>19- Data a matriz A=(2 0 0)
>
>(3 -2 5), Obtenha a matriz X tal que X =A+A
>
>(-1 -4 -3)
>
>
>
>20- Data as matrizes A=(2 1), B= (0 -1), C= (3 0)
>
>(-3 4) (2 5) (6 1), Calcule:
>
>a) A+B+C b) A-B-C c) A-B-C d) A+B-C
>
>21- Calcule cada um dos determinantes a seguir:
>
>3 2 5 -1 2 3
>
>A= 4 1 3 B= 0 1 4
>
>2 3 4 -2 -3 5
>
>22- Resolva as equações:
>
>2 4 1 x+1 3 x
>
>a) 2 4 x = 0 b) 3 x 1 =0
>
>3 1 2 x 2 x-1
>
>23- Calcule os valores de x, y e z no sistema:
>
>x+2y+z=1
>
>3x-2y-2z=-1
>
>x+3y-z=-9
>
>24- Resolva a equação Ax3=4Ax2
>
>25- Quantos números distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se
>os algarismos 1,2
>
>3,5 e 8?
>
>26- Quantas são anagramas da palavra EDITORA, que começa por A?
>
>C6.3
>
>27- Calcule: ---
>
>C4,1+C5,4 + C11,1
>
>28- Resolva a equação C - C =0
>
>m.3 m.2
>
>29- Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?
>
>
>
>(7 2 4)
>
>30- Determine E, sendo E= (2 + 1 - 2)
>
>
>
>31- Desenvolva:
>
>3
>
>a) (x + 1)
>
>__ 3
>
>b) (4 - V 2)
>
>Desde já agradeço muito.
>
>-Original Message-
>From: Eduardo Botelho [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
>Sent: Tuesday, January 12, 1999 08:04 PM
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: Geometria, correção
>
>
>Olha eu aqui de novo...
>
>Vi que escrevi uma coisa que não está certa: os paralelogramos não são
>semelhantes na razão 4/3. Os lados do paralelogramo é que respeitam essa
>razão( lado maior sobre lado menor)
>Do mais, é só..
>
>Abraços, Eduardo
>
>-Mensagem original-
>De: josimat < [EMAIL PROTECTED]  >
>Para: [EMAIL PROTECTED]   <
>[EMAIL PROTECTED]  >
>Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 12:26
>Assunto: Re: Esclarecimento continua
>
>
>Filho, quase posso garantir que nada foi dito a respeito nas RPMs. Mas
posso
>lhe enviar, anexado e por trás de lista, algo sobre.
>Para não perder a viagem, veja este que recebi por telefone.
>É mais ou menos assim:
>
>Num paralelogramo, no qual uma das dimensões é 4m  maior que a outra,
>toma-se um ponto, pertencente à s

Re: Duas Questoes interessantes !

[Paulo Santa Rita]

Ola Iolanda e Amigos da Lista,
Saudacoes !

Neunhum dos dois problemas e simples e ambos ja apareceram nesta Lista. Para 
que voce possa ter uma ideia da dificuldade que eles encerram, saiba que o 
primeiro - sobre esferas -, em tempos idos, foi abordado por Newton , que 
nao o resolveu ; o segundo - sobre campeonatos - apareceu aqui em uma versao 
com oito clubes e nehuma solucao consistente foi apresentada ...

E verdade que se encontrou o numero 16 como "solucao" do segundo problema, 
mas este numero nao foi justificado com rigor, sendo antes "encontrado" em 
virtude das facilidades de visualizacao e diagramacao que os pequenos 
numeros envolvidos ofereciam.

Eu vou apenas direcionar solucoes. Nao percebi nenhuma solucao trivial, 
"simples e rapida", destas em que se escreve um monte formulas e numeros. 
Voce completa os detalhes.

1 Problema )  Um angulo solido pode ser medido em esfero-radianos. Por 
definicao, um esfero-radiano ( srd ) e o angulo solido central de uma esfera 
de raio R que subtende uma area igual a R^2. Isso implica, claramente, que 
uma esfera qualquer tem exatamente "4*pi  esfero-radianos"

A ideia e mostrar que a colocacao de 13 esferas implica num angulo solido 
central maior que 4*pi esfero radianos.

Para perceber como e possivel fazer isso, imagine uma esfera fixa de raio R 
e, sobre ela, coloque uma outra esfera de mesmo raio. Se do centro da esfera 
fixa tracarmos tangentes a "esfera de cima" surgira um cone. Este cone 
intercepta a esfera fixa segundo uma calota. Qual a area desta calota ? A 
area de uma calota e 2*pi*R*h, onde "R" e o raio da esfera e "h" a altura da 
calota.

Se voce tracar um plano que contenha os centros das esferas vai perceber 
imediatamente um angulo de 30 graus e calcular com facilidade a area da 
calota. Dividindo a area encontrada pelo quadrado do raio, encontrara o 
valor do angulo solido do cone em esfero radianos.

Perceba agora que tres esferas posicionadas sobre a esfera fixa, estando o 
mais proximo possivel duas a duas, implicam em tres calotas ( ja explicadas 
) e uma regiao central "desperdicada". Calcule - facilmente com integral 
dupla em coordenadas esfericas - o valor desta area desperdicada. Calcule o 
angulo solido que lhe corresponde ( dividindo por R^2 ).

Suponha as treze esferas posicionadas e mostre que isto implica num angulo 
solido central maior que 4*pi esfero radianos. Um absurdo !

2 Problema )  Vamos representar uma vitoria por V, um empate por E e uma 
derrota por D.  Num campeonato com N clubes, apos cada rodada, atribuimos a 
cada clube uma letra de acordo com o desempenho que o clube teve.

Isto significa, claramente, que ao fim do campeonato estara associado a cada 
clube uma lista, o "Historico" do clube. E este conceito que faltava para 
dar rigor as tentativas anteriores.

Para esta investigacao particuloar, eu vou considerar iguais a dois 
historicos que se diferenciam tao somente pela ordem das letras.

Imagine um clube com o Historico : VVE. Ele conseguiu 3*6 + 1 = 19 
pontos. Qual a colocacao que ele garante ? A segunda ! O clube que empatou 
com ele na ultima rodada tambem pode ter ganho todos os jogos anteriores e 
algum criterio de desempate coloca-lo como segundo lugar !

Conclucao : a melhor colocacao garantida por um historico e determinada por 
1 mais a quantidade maxima de outros historicos que podemos construir 
compativeis entre si e com o historico dado e que tenham uma pontuacao igual 
ou maior que o historicos dado.

Traduzindo: Seja dado um historico

1) Determine a quantidade de historicos que tem uma pontuacao igual ou maior 
que a do historico dado
2) Os historicos obtidos em 1) devem ser compativeis entre si e com o 
historico dado

A melhor colocacao garantida  pelo historico dado e uma unidade superior ao 
numero obtido com os passos 1) e 2). Isso e um problema combinatorio que 
voce pode generalizar.

Para um determinado historico H, chamarei de CG(H) ( Colocacao Garantida 
pelo historico H ) o numero que descrevemos.

Para uma determinada pontuacao, quantos historicos distintos existem ? Isso 
e trivial. Seja N-1 o numero de jogos e P a pontucao. Entao :

3*V + E = P
V + E + D = N-1

Com V, E e D sao inteiros nao negativos.

Com este sistema e as demais informacoes voce obtera todos os dados 
significativos sobre o problema.

Exemplo :

Num campeonato com 8 jogos ( 9 clubes ), 0 historico :

(VEEE) corresponde a 10 pontos. mas os historicos abiaxo tambem 
correspondem a 10 pontos :

(VVDD) , (VVVE)

Assim existem 3 historicos relativos a 10 pontos ( a menos da ordem das 
letras, que nao estou considerando e que nao tem importancia para os efeitos 
desta investigacao )
Sejam H1, H2, H3 estes historicos. Entao :

Maximo { CG(H1), CG(H2), CG(H3) }

E A COLOCAO GARANTIDA PARA QUEM FIZER 10 PONTOS.

Um raciocinio semelhante vale para qualquer quantidade de jogos. As 
generalizacoes e formulas derivaveis sao simples e evidentes e deixo pra 
voce concluir.

NOTA1 :  A funcao CG

RE: Help please!

[Lopes, Washington]

Bom dia,

Caro Benedito, tenho algumas dúvidas em alguns exercícios propostos para o
ensino médio.

Gostaria que o você me ajudasse a responde esses execícios que com certeza
tirarei todas as minhas dúvidas.


Vou prestar o vestibular e ainda tenho dúvidas nesses exercícios que estou
estudando.

Ficarei muito agradecido pode ter certeza.


1 -  Encontre o termo geral da PA (1,7, ...)
2 -  Qual é o décimo quinto termo da PA (4,10, ...)
3 -  Quantos são os números naturais menores que 98 e divisível por 5?
4 -  Interpole 11 meios aritmédicos entre 1 e 37.
5 -  Interpole 9 meios aritméticos entre 1 e 49.
6 -  Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?
7 -  Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a
razão seja 3?
8 -  Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km
3 e o outro 
no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre
dois consecutivos
sempre a mesma distância. Determine em quantos marcos quilométricos deverão
ficar esses 
novos telefones.
9  -  Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA.
10-  Ache 5 números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 28
e a soma
dos outros três é 24.
11-  Ache três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto
é 105.
12-  Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...)
13-  Determine o 6º termo de uma PG (5,10,20, ...)
14-  Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 são termos consecutivos de uma PG.,
calcule X de modo que seja
positivo.
15-  Insira 4 meios geométricos entre a e 486, obtém-se um aP.G. de razão
igual a 3.Qual é o
valor de a?   2
2
16-  Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J   +   J
__  i-j,se.i=j
17-  Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = /
 
__ j-i,se.j#j
18-  Determine a, b, x e y sabendo que   (x+ya+2b) = (3 -1)
(-y+2x  b-a ) =
(0 7)

19-  Data a matriz A=(2   0   0)
   (3   -2  5), Obtenha a matriz X tal que X
=A+A
   (-1  -4  -3)


20-  Data as matrizes A=(2  1), B=  (0   -1), C=   (3   0)
(-3 4) (25)
(6   1), Calcule:

a) A+B+C   b) A-B-C  c) A-B-C  d) A+B-C

21-  Calcule cada um dos determinantes a seguir:

3   2   5 -1   2   3
A=4  1   3   B=   0   14
 2  3  4  -2  -35

22-  Resolva as equações:

 2   4   1x+1   3   x
a)  24   x  = 0  b)3   x   1   =0
 31   2x   2   x-1

23-  Calcule os valores de x, y e z no sistema:

x+2y+z=1
   3x-2y-2z=-1
 x+3y-z=-9

24-  Resolva a equação Ax3=4Ax2

25-  Quantos números distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se
os algarismos 1,2
3,5 e 8?

26-  Quantas são anagramas da palavra EDITORA, que começa por A?
   C6.3
27-  Calcule:---
  C4,1+C5,4 + C11,1

28-  Resolva a equação C  - C   =0 
 m.3m.2

29-  Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?


  (72 4)
30-  Determine E, sendo E=  (2 + 1  -  2)


31-  Desenvolva:
 3
a)  (x  +  1)
   __  3
b)  (4  -  V 2)

 
Desde já agradeço muito.

RE: probleminha

[Lopes, Washington]

Bom dia,

Caro Marcelo, tenho algumas dúvidas em alguns exercícios propostos para o
ensino médio.

Gostaria que o você me ajudasse a responde esses execícios que com certeza
tirarei

todas as minhas dúvidas.

 

Vou prestar o vestibular e ainda tenho dúvidas nesses exercícios que estou
estudando.

 

Vou ficar muito agradecido pode ter certeza.

 

1 - Encontre o termo geral da PA (1,7, ...)

2 - Qual é o décimo quinto termo da PA (4,10, ...)

3 - Quantos são os números naturais menores que 98 e divisível por 5?

4 - Interpole 11 meios aritmédicos entre 1 e 37.

5 - Interpole 9 meios aritméticos entre 1 e 49.

6 - Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?

7 - Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a
razão seja 3?

8 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km
3 e o outro 

no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre
dois consecutivos

sempre a mesma distância. Determine em quantos marcos quilométricos deverão
ficar esses 

novos telefones.

9 - Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA.

10- Ache 5 números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 28
e a soma

dos outros três é 24.

11- Ache três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é
105.

12- Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...)

13- Determine o 6º termo de uma PG (5,10,20, ...)

14- Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 são termos consecutivos de uma PG.,
calcule X de modo que seja

positivo.

15- Insira 4 meios geométricos entre a e 486, obtém-se um aP.G. de razão
igual a 3.Qual é o

valor de a? 2 2

16- Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J + J __ i-j,se.i=j

17- Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = /

__ j-i,se.j#j

18- Determine a, b, x e y sabendo que (x+y a+2b) = (3 -1)

(-y+2x b-a ) = (0 7)

19- Data a matriz A=(2 0 0)

(3 -2 5), Obtenha a matriz X tal que X =A+A

(-1 -4 -3)

 

20- Data as matrizes A=(2 1), B= (0 -1), C= (3 0)

(-3 4) (2 5) (6 1), Calcule:

a) A+B+C b) A-B-C c) A-B-C d) A+B-C

21- Calcule cada um dos determinantes a seguir:

3 2 5 -1 2 3

A= 4 1 3 B= 0 1 4

2 3 4 -2 -3 5

22- Resolva as equações:

2 4 1 x+1 3 x

a) 2 4 x = 0 b) 3 x 1 =0

3 1 2 x 2 x-1

23- Calcule os valores de x, y e z no sistema:

x+2y+z=1

3x-2y-2z=-1

x+3y-z=-9

24- Resolva a equação Ax3=4Ax2

25- Quantos números distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se
os algarismos 1,2

3,5 e 8?

26- Quantas são anagramas da palavra EDITORA, que começa por A?

C6.3

27- Calcule: ---

C4,1+C5,4 + C11,1

28- Resolva a equação C - C =0 

m.3 m.2

29- Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?

 

(7 2 4)

30- Determine E, sendo E= (2 + 1 - 2)

 

31- Desenvolva:

3

a) (x + 1)

__ 3

b) (4 - V 2)

Desde já agradeço muito.

-Original Message-
From: Marcelo Ferreira [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Sunday, January 14, 2001 09:44 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: probleminha


 
 Para quem quiser pensar, segue o problema abaixo:
   Escrevemos em um quadro negro os números inteiros de 1 a 100. Depois
escolhemos dois números a e b escritos no quadro, apagamos a e b e 
escrevemos a-b (agora há 99 inteiros escritos no quadro). Repetimos este 
processo até que haja um único inteiro escrito no quadro. Prove que este 
inteiro nunca pode ser igual a 1.

RE: Help Please!

[Lopes, Washington]

Bom dia,

Iolanda, tenho algumas dúvidas em alguns exercícios propostos para o ensino
médio.

Gostaria que você me ajudasse a responde esses execícios que com certeza
tirarei todas as minhas dúvidas.


Vou prestar o vestibular e ainda tenho dúvidas nesses exercícios que estou
estudando.

Se você poder me ajudar, ficarei muito agradecido pode ter certeza.


1 -  Encontre o termo geral da PA (1,7, ...)
2 -  Qual é o décimo quinto termo da PA (4,10, ...)
3 -  Quantos são os números naturais menores que 98 e divisível por 5?
4 -  Interpole 11 meios aritmédicos entre 1 e 37.
5 -  Interpole 9 meios aritméticos entre 1 e 49.
6 -  Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?
7 -  Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a
razão seja 3?
8 -  Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km
3 e o outro 
no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre
dois consecutivos
sempre a mesma distância. Determine em quantos marcos quilométricos deverão
ficar esses 
novos telefones.
9  -  Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA.
10-  Ache 5 números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 28
e a soma
dos outros três é 24.
11-  Ache três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto
é 105.
12-  Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...)
13-  Determine o 6º termo de uma PG (5,10,20, ...)
14-  Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 são termos consecutivos de uma PG.,
calcule X de modo que seja
positivo.
15-  Insira 4 meios geométricos entre a e 486, obtém-se um aP.G. de razão
igual a 3.Qual é o
valor de a?   2
2
16-  Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J   +   J
__  i-j,se.i=j
17-  Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = /
 
__ j-i,se.j#j
18-  Determine a, b, x e y sabendo que   (x+ya+2b) = (3 -1)
(-y+2x  b-a ) =
(0 7)

19-  Data a matriz A=(2   0   0)
   (3   -2  5), Obtenha a matriz X tal que X
=A+A
   (-1  -4  -3)


20-  Data as matrizes A=(2  1), B=  (0   -1), C=   (3   0)
(-3 4) (25)
(6   1), Calcule:

a) A+B+C   b) A-B-C  c) A-B-C  d) A+B-C

21-  Calcule cada um dos determinantes a seguir:

3   2   5 -1   2   3
A=4  1   3   B=   0   14
 2  3  4  -2  -35

22-  Resolva as equações:

 2   4   1x+1   3   x
a)  24   x  = 0  b)3   x   1   =0
 31   2x   2   x-1

23-  Calcule os valores de x, y e z no sistema:

x+2y+z=1
   3x-2y-2z=-1
 x+3y-z=-9

24-  Resolva a equação Ax3=4Ax2

25-  Quantos números distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se
os algarismos 1,2
3,5 e 8?

26-  Quantas são anagramas da palavra EDITORA, que começa por A?
   C6.3
27-  Calcule:---
  C4,1+C5,4 + C11,1

28-  Resolva a equação C  - C   =0 
 m.3m.2

29-  Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?


  (72 4)
30-  Determine E, sendo E=  (2 + 1  -  2)


31-  Desenvolva:
 3
a)  (x  +  1)
   __  3
b)  (4  -  V 2)

 
Desde já agradeço muito.

-Original Message-
From: Iolanda Brazco [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Friday, January 12, 2001 05:23 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Duas Questoes interessantes !


Ola Colegas;

Duas questoes interessantes e que  nao consigo resolver podem ser enunciadas

como segue :

1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e 
possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio.

2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os 
demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere 
pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer para

ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ?

Alguem pode me indicar como resolve-los ?

Saudacoes.
IB - 12 de janeiro de 2001

_
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RE: Geometria, correção

[Lopes, Washington]

Bom dia,

Caro Eduardo, tenho algumas dúvidas em alguns exercícios propostos para o
ensino médio.

Gostaria que o senhor me ajudasse a responde esses execícios que com certeza
tirarei

todas as minhas dúvidas.

 

Vou prestar o vestibular e ainda tenho dúvidas nesses exercícios que estou
estudando.

 

 

 

1 - Encontre o termo geral da PA (1,7, ...)

2 - Qual é o décimo quinto termo da PA (4,10, ...)

3 - Quantos são os números naturais menores que 98 e divisível por 5?

4 - Interpole 11 meios aritmédicos entre 1 e 37.

5 - Interpole 9 meios aritméticos entre 1 e 49.

6 - Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?

7 - Quantos meios aritméticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a
razão seja 3?

8 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km
3 e o outro 

no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre
dois consecutivos

sempre a mesma distância. Determine em quantos marcos quilométricos deverão
ficar esses 

novos telefones.

9 - Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA.

10- Ache 5 números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 28
e a soma

dos outros três é 24.

11- Ache três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é
105.

12- Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...)

13- Determine o 6º termo de uma PG (5,10,20, ...)

14- Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 são termos consecutivos de uma PG.,
calcule X de modo que seja

positivo.

15- Insira 4 meios geométricos entre a e 486, obtém-se um aP.G. de razão
igual a 3.Qual é o

valor de a? 2 2

16- Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J + J __ i-j,se.i=j

17- Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = /

__ j-i,se.j#j

18- Determine a, b, x e y sabendo que (x+y a+2b) = (3 -1)

(-y+2x b-a ) = (0 7)

19- Data a matriz A=(2 0 0)

(3 -2 5), Obtenha a matriz X tal que X =A+A

(-1 -4 -3)

 

20- Data as matrizes A=(2 1), B= (0 -1), C= (3 0)

(-3 4) (2 5) (6 1), Calcule:

a) A+B+C b) A-B-C c) A-B-C d) A+B-C

21- Calcule cada um dos determinantes a seguir:

3 2 5 -1 2 3

A= 4 1 3 B= 0 1 4

2 3 4 -2 -3 5

22- Resolva as equações:

2 4 1 x+1 3 x

a) 2 4 x = 0 b) 3 x 1 =0

3 1 2 x 2 x-1

23- Calcule os valores de x, y e z no sistema:

x+2y+z=1

3x-2y-2z=-1

x+3y-z=-9

24- Resolva a equação Ax3=4Ax2

25- Quantos números distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se
os algarismos 1,2

3,5 e 8?

26- Quantas são anagramas da palavra EDITORA, que começa por A?

C6.3

27- Calcule: ---

C4,1+C5,4 + C11,1

28- Resolva a equação C - C =0 

m.3 m.2

29- Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?

 

(7 2 4)

30- Determine E, sendo E= (2 + 1 - 2)

 

31- Desenvolva:

3

a) (x + 1)

__ 3

b) (4 - V 2)

Desde já agradeço muito.

-Original Message-
From: Eduardo Botelho [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Tuesday, January 12, 1999 08:04 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Geometria, correção


Olha eu aqui de novo...
 
Vi que escrevi uma coisa que não está certa: os paralelogramos não são
semelhantes na razão 4/3. Os lados do paralelogramo é que respeitam essa
razão( lado maior sobre lado menor)
Do mais, é só..

Abraços, Eduardo

-Mensagem original-
De: josimat < [EMAIL PROTECTED]  >
Para: [EMAIL PROTECTED]   <
[EMAIL PROTECTED]  >
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 12:26
Assunto: Re: Esclarecimento continua


Filho, quase posso garantir que nada foi dito a respeito nas RPMs. Mas posso
lhe enviar, anexado e por trás de lista, algo sobre.
Para não perder a viagem, veja este que recebi por telefone.
É mais ou menos assim:
 
Num paralelogramo, no qual uma das dimensões é 4m  maior que a outra,
toma-se um ponto, pertencente à sua diagonal maior, de tal sorte que diste
3m e 4m de dois lados consecutivos. dê o perímetro do paralelogramo. 
 
[]'s JOSIMAR

-Mensagem original-
De: filho < [EMAIL PROTECTED]  >
Para: [EMAIL PROTECTED]   <
[EMAIL PROTECTED]  >
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 00:41
Assunto: Esclarecimento continua


Caro Josimat e amigos da lista, vocês sabem dizer se o assunto Heurística
positiva e negativa já foi explorado nas revistas da RPM.

Re: probleminha

[josimat]

#  > número(s)
Inicialmente temos 50 # pares e 50 # 
ímpares.
1 - se a e b forem 
ímpares, a-b será PAR. Logo, a quantidade de # ímpares 
diminuirá de 2.

2 - se a e b forem pares, a-b será PAR. Logo, a 
quantidade de # ímpares não será alterada.
3 - se ou a ou b for par, a-b será ÍMPAR. Logo a 
quantidade de # ímpares não será alterada.
Portanto a quantidade de'# ímpares só 
decrescerá de dois em dois, logo, não teremos uma quantidade 
ímpar de # ímpares.
[]'s JOSIMAR

-Mensagem original-De: 
Marcelo Ferreira <[EMAIL PROTECTED]>Para: 
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: 
Domingo, 14 de Janeiro de 2001 22:59Assunto: 
probleminha
 
 Para quem quiser pensar, segue o problema 
abaixo:
   Escrevemos em um quadro negro os 
números inteiros de 1 a 100. Depoisescolhemos dois números 
a e b escritos no quadro, apagamos a e b e escrevemos a-b (agora 
há 99 inteiros escritos no quadro). Repetimos este processo 
até que haja um único inteiro escrito no quadro. Prove que 
este inteiro nunca pode ser igual a 
1.