dúvidas banais
Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas: O que define uma hipérbole EQUILÁTERA? O que define um cilindro EQUILÁTERO?
mais uma banal
Mais uma coisinha... Quais sao os eixos da HIPÉRBOLE?
Fórmula de Heron
Olá colegas da lista, Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da área de triângulos... meu prof. disse que nunca havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos dar o pontapé inicial??? Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a fórmula de Heron pode ser usada analogamente para qualquer poligono inscritível em uma circunferência... será q vcs poderiam mostrar como fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...??? Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até mais Hugo
Equipe selecionada para IMO.
Caros amigos da lista: A equipe que representara ao Brasil na 42a. IMO a ser realizada entre os dias 1 a 14 de julho proximo em Washington - DC, EE.UU e' a seguinte: Lider: Prof. Nicolau C. Saldanha (Rio de Janeiro - RJ) Vice - Lider: Prof. Antonio Caminha Muniz Neto (Fortaleza - CE) BRA 1: Alex Correa Abreu (Rio de Janeiro - RJ) BRA 2: Carlos Stein Naves de Brito (Goiania - GO) BRA 3: Daniel Pinheiro Sobreira (Fortaleza - CE) BRA 4: Davi Maximo Alexandrino Nogueira (Fortaleza - CE) BRA 5: Humberto Silva Naves (Sao Paulo - SP) BRA 6: Thiago Barros Rodrigues Costa (Fortaleza - CE) Abracos, Nelly.
Re: Fórmula_de_Heron
Um jeito bem natural (porém trabalhoso) é assim:
Sejam a=b=c as medidas dos lados do triângulo. Seja
h a medida da altura relativa ao maior lado a e seja x
a medida da projeção ortogonal do lado de medida c
sobre o lado de medida a. Por Pitágoras, temos
|x^2 + h^2 = c^2
|(a-x)^2 + h^2 = b^2
Resolvendo este sistema, você encontra x e h em função
de a, b e c. Se não errar conta, encontrará
h = 2*\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}/a. A área é então a*h/2
= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
As contas podem ser um pouco chatas, mas não se deve
ter medo de se fazê-las, pois é fácil ver que o
sistema pode ser resolvido e que se continuarmos as
contas com certeza chegaremos ao resultado esperado.
Segunda maneira: usando a fórmula S = área =
bc*senA/2.
Elevando ao quadrado, temos
4S^2 = b^2c^2*sen^2 = b^2c^2(1-cos^2 A)
= b^2c^2*(1-cosA)(1+cosA)
Usando a lei dos co-senos, temos
cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
Observe que agora é só substituir e completar as
contas que chegaremos ao resultado esperado. Mas
podemos dar uma melhorada na conta:
1 + cosA = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
= ((b+c)^2 - a^2)/(2bc)
= (b+c-a)(b+c+a)/(2bc)
= 2(p-a)p/(bc)
Fatore 1 - cosA, subtitua tudo lá em cima e seja
feliz!
Ah, na hora de fazer estas contas, é sempre importante
ter uma estratégia para fazê-las... Isto é, um plano
para fazer as contas. Em problemas cuja resolução é
longa, isso é muito importante!!
Sobre as fórmulas para polígonos inscritíveis: só
conheço a de Bramagupta: se um quadrilátero é
inscritível, a área dele é sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
sendo a,b,c,d os lados do quadrilátero e p =
(a+b+c+d)/2. Você pode pensar na fórmula de Heron como
um caso particular de Bramagupta onde um dos lados do
quadrilátero é zero.
Espero ter ajudado.
[]'s
Shine
--- Hugo Iver Vasconcelos Goncalves
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá colegas da lista,
Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma
discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da
área de triângulos... meu prof. disse que nunca
havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca
havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar
a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos
dar o pontapé inicial???
Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a
fórmula de Heron pode ser usada analogamente para
qualquer poligono inscritível em uma
circunferência... será q vcs poderiam mostrar como
fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...???
Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas
duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até
mais
Hugo
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Re: dúvidas banais Hipérboles
Title: Re: dúvidas banais Hipérboles Caros amigos: Cilindro equilatero e aquele que tem diametro igual a altura. Este cilindro eh importante pois dado o volume de um cilindro, o equilatero eh o que possui area total minima (eh um bom problema verificar isto). Por isso eh o preferido para as embalagens de diversos produtos. Veja, por exemplo a lata do leite condensado ou creme de leite da Nestle. Eh um cilindro perfeitamente equilatero. A hiperbole equilatera eh a que possui eixos transverso e nao transverso iguais, ou seja, eh a hiperbole que possui assintotas perpendiculares. Na forma canonica, a hiperbole equilatera tem equacao x^2 - y^2 = a^2. Fazendo uma rotacao de 45 graus nos eixos, ela toma a forma xy = k. Abraco, Wagner. -- From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: dúvidas banais Hipérboles Date: Tue, May 29, 2001, 18:20 Sauda,c~oes, Se não estou enganado, cilindro equilátero é aquele no qual a relação entre o diâmetro e a altura é a mesma que os lados e a altura de um triângulo equilátero. Hipérbole equilátera eu esqueci mas acho que a hipérbole y = 1/x é equilátera. E tem também a hipérbole retangular?? A propósito desta hipérbole, ver o email abaixo. Ele veio de uma outra lista. [ ]'s Lu'is From: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Subject: [EMHL] Re: Altitude problem Date: Tue, 29 May 2001 18:45:34 - Dear Antreas, [APH]: Let ABC be a triangle and AD the altitude from A. DC AC If BC is fixed, and -- = (--)^2, which is the locus of A ? DB AB [PY]: The locus of A is the circle with BC as diameter. This is the converse of Euclid's proof of Pythagoras theorem. Dear Paul, That's at first glance. At second glance, the locus is something more: (circle with diam BC) + (perp. bis. of BC) That is what you call an ``impure'' locus. and at third glance, the locus is something more ! [PY]And the rectangular hyperbola with B and C as vertices! Best regards Sincerely Paul APH -Mensagem Original- De: Alexandre F. Terezan mailto:[EMAIL PROTECTED] Para: OBM mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 29 de Maio de 2001 09:35 Assunto: dúvidas banais Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas: O que define uma hipérbole EQUILÁTERA? O que define um cilindro EQUILÁTERO?
Re: Fórmula de Heron
Title: Re: Fórmula de Heron Pontape inicial para a formula de Heron. Considere um triangulo ABC de lados AB = c, BC = a, CA = b e area S. Calcule cosA pela lei dos cossenos. Calcule senA pela relacao fundamental da trigonometria. Calcule S = (1/2)bc.senA. Eh preciso alguma habilidade nas fatoracoes lembrando sempre que 2p = a + b + c. -- From: [EMAIL PROTECTED] (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves) To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Fórmula de Heron Date: Tue, May 29, 2001, 14:12 Olá colegas da lista, Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da área de triângulos... meu prof. disse que nunca havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos dar o pontapé inicial??? Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a fórmula de Heron pode ser usada analogamente para qualquer poligono inscritível em uma circunferência... será q vcs poderiam mostrar como fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...??? Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até mais Hugo
Quadriláteros Inscritíveis
Apareceu esse problema no colégio e estou tendo dificuldade em resolvê-lo: Seja ABCD um quadrilátero inscritível. Os segmentos AB, BC, CD, DA são cordas(não necessariamente diâmetros) de quatro outros círculos. Seja: E != A intercessão dos círculos das cordas DA e AB F != B intercessão dos círculos das cordas AB e BC G != C intercessão dos círculos das cordas BC e CD H != D intercessão dos círculos das cordas CD e DA Prove que EFGH também é iscritível. Grato pela ajuda, Bernardo ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
