Re: [obm-l] Uma regra de três não tão simples
> "Em um pasto, o mato cresce de modo igual. Se > setenta vacas comem todo esse > mato em 24 dias e trinta vacas em 60 dias, quantas > vacas comem todo o mato > em 96 dias?". > > Eduardo. > > __ dei uma tentadavejam se naum me enganei: considere que o pasto tem uma quantidade de grama inicial M, que a quantidade de garama que cada vaca come por dia é c , e que i é a quantidade de grama que cresce por dia. setenta vacas comem todo esse mato em 24 dias(I),trinta vacas em 60 dias(II), n vacas comem este pasto em 96 dias(III) : (I) 70*24*c= M + 24*i (II) 30*60*c=M + 60*i (III) n*96*c=M + 96*i de (III)n=(M + 96*i)/(96*c) de(I) c= (M + 24*i)/(70*24) divide-se (I) por (II) e tem-se que M= 480*i tem-se que c= 504*i/1680 n= (480*i + 96*i)/(96*504*i/1680) n= 20 vacas ___ > Oi! Você quer um iG-mail gratuito? > Então clique aqui: http://registro.ig.com.br/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Outra coisa:numa nota minha com o Nicolau na Eureka 8 apresentamos uma
versao bem elementar da Hipotese de Riemann:seja f:R+->R tal que f(x)=0 para
0 < x <1 e para todo x >= 1 vale Soma (k=1 ate' [x])f(x/k)=1.A Hipotese de
Riemann diz que,para todo c>1/2,f(x)/x^c tende a 0 quando x tende a
infinito(isto equivale a dizer que os zeros nao-triviais da funcao zeta tem
parte real igual a 1/2).
Abracos,
Gugu
>
>At 18:30 30/01/02 +, you wrote:
>
>>Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão
>>ela não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
>>soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós
>>vamos estudar isso em funções analíticas?
>
>Não sei bem o que vamos ver no curso de funções analíticas, mas acho que
>não se fala da função zeta.
>
>> Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do
>> que de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
>
>Porque sim.
>
>Bruno
>
>
>
>
>Ok, vou falar sério. Euler foi o primeiro a ver uma ligação entre a função
>zeta e a teoria dos números, quando ele achou a fatoração "mágica" abaixo:
>(para re(s)>1, obviamente)
>
>zeta(s)=soma(1/n^s,n=1,2,3...)=produto_{sobre todos os primos p}
>(1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+...)
>
>Você consegue provar a fórmula acima? (ou ao menos ver que ela tem "cara de
>ser verdadeira"?)
>
>Aliás a soma 1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+... é soma de PG, logo,
>
>zeta(s)=produto_{sobre todos os primos p} 1/(1-p^{-s})
>
>Considere zeta(s) como função de uma variável real definida em
>(1,infinito). Ela é contínua e lim zeta(s) para s->1 é infinito...(série
>harmonica diverge...)
>
>A partir daí Euler deduziu que existem infinitos primos...não é difícil !
>
>Abraço,
>
>Bruno Leite
>
>PS mas é claro que existem mais ligações entre zeta e teoria dos números!!!
>
>(...)
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Teorema de Fermat
So' uma observacao trivial:o argumento que o Bruno mostrou nao so' mostra
que existem infinitos numeros primos mas tambem que a serie de seus inversos
diverge.
Abracos,
Gugu
>
>At 18:30 30/01/02 +, you wrote:
>
>>Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão
>>ela não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
>>soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós
>>vamos estudar isso em funções analíticas?
>
>Não sei bem o que vamos ver no curso de funções analíticas, mas acho que
>não se fala da função zeta.
>
>> Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do
>> que de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
>
>Porque sim.
>
>Bruno
>
>
>
>
>Ok, vou falar sério. Euler foi o primeiro a ver uma ligação entre a função
>zeta e a teoria dos números, quando ele achou a fatoração "mágica" abaixo:
>(para re(s)>1, obviamente)
>
>zeta(s)=soma(1/n^s,n=1,2,3...)=produto_{sobre todos os primos p}
>(1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+...)
>
>Você consegue provar a fórmula acima? (ou ao menos ver que ela tem "cara de
>ser verdadeira"?)
>
>Aliás a soma 1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+... é soma de PG, logo,
>
>zeta(s)=produto_{sobre todos os primos p} 1/(1-p^{-s})
>
>Considere zeta(s) como função de uma variável real definida em
>(1,infinito). Ela é contínua e lim zeta(s) para s->1 é infinito...(série
>harmonica diverge...)
>
>A partir daí Euler deduziu que existem infinitos primos...não é difícil !
>
>Abraço,
>
>Bruno Leite
>
>PS mas é claro que existem mais ligações entre zeta e teoria dos números!!!
>
>(...)
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Teorema de Fermat
At 18:30 30/01/02 +, you wrote:
>Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão
>ela não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
>soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós
>vamos estudar isso em funções analíticas?
Não sei bem o que vamos ver no curso de funções analíticas, mas acho que
não se fala da função zeta.
> Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do
> que de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
Porque sim.
Bruno
Ok, vou falar sério. Euler foi o primeiro a ver uma ligação entre a função
zeta e a teoria dos números, quando ele achou a fatoração "mágica" abaixo:
(para re(s)>1, obviamente)
zeta(s)=soma(1/n^s,n=1,2,3...)=produto_{sobre todos os primos p}
(1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+...)
Você consegue provar a fórmula acima? (ou ao menos ver que ela tem "cara de
ser verdadeira"?)
Aliás a soma 1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+... é soma de PG, logo,
zeta(s)=produto_{sobre todos os primos p} 1/(1-p^{-s})
Considere zeta(s) como função de uma variável real definida em
(1,infinito). Ela é contínua e lim zeta(s) para s->1 é infinito...(série
harmonica diverge...)
A partir daí Euler deduziu que existem infinitos primos...não é difícil !
Abraço,
Bruno Leite
PS mas é claro que existem mais ligações entre zeta e teoria dos números!!!
(...)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] OPM-2002
Caros(as) amigos(as) da lista: Datas da XXVI Olimpiada Paulista de Matematica-2002 (Ensino Fundamental e Ensino Medio) Primeira Fase: Sabado 17/08/02 8:00horas Fase Final: Sabado 09/11/02 8:00 horas Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão ela
não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós vamos
estudar isso em funções analíticas?
Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do que
de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
>From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>Date: Mon, 28 Jan 2002 23:38:39 -0200
>
>At 21:27 28/01/02 +, you wrote:
>>Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??
>
>Sim, é isso mesmo, não é surpreendente?
>
>
>
>
>
>É brincadeira! Isto está errado!!!
>
>A série zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) SÓ CONVERGE
>PARA Re(s)>1, LOGO SÓ DEFINE UMA FUNÇÃO PARA Re(s)>1!!!
>
>Já vou explicar isto melhor.
>
>>Isso nem com a lógica paraconsistente consigo entender!!!
>>Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extensão para todo o plano
>>complexo" (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise
>>complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica).
>>Se a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por
>>complexo é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função
>>e^x, não consigo imaginar nenhuma raíz "trivial". O q me parece imediato é
>>que não possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei
>>que a função a^x (a>0) não tem raiz real.
>
>Imagine uma função f:(disco unitário aberto de R^2) -> R, derivável,
>digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta função de vários modos
>(e deixando a extensão ainda derivável) para um domínio maior, digamos R^2.
>Por exemplo, podemos definir g:R^2->R por g(x,y)=x+10, mas há vários outros
>jeitos, do tipo
>
>g(x,y)=x+10 se x<=1
>g(x,y)=x^2/2+10,5 se x>1
>
>Quando trocamos funções R^2->R por funções de C em C, isto nao acontece.
>Por exemplo, se temos uma função do disco unitário aberto do plano complexo
>em C que é HOLOMORFA (holomorfa=derivável) SÓ HÁ UM MODO DE ESTENDÊ-LA PARA
>UMA FUNÇÃO HOLOMORFA DE DOMÍNIO MAIOR. (um outro exemplo: se f é holomorfa
>e conhecemos f na fronteira de um círculo, f já está determinada dentro do
>círculo. - o que é fantástico, aliás...)
>
>Veja, temos uma função (zeta) definida para Re(s)>1, ok? Ela é holomorfa no
>semiplano {z complexo | Re(z)>1}, e pode ser estendida DE UMA ÚNICA FORMA
>para uma função holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso é a
>continuação analítica!!! [na verdade ela não vai ser analítica no plano
>todo, ela vai ter um ponto em que ela "explode" - UM POLO - em s=1]
>
>Se re(s)>1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo?
>E se re(s)<1?? Embora a série de zeta não faça sentido, a função
>rogerio(s) está definida!!!
>Oras, então DEFINIMOS, para re(s)<1, zeta(s)=rogerio(s).
>
>Só para ser o mais repetitivo possível: zeta(s) só coincide com a série
>soma (1/n^s) se Re(s)>1
>Logo zeta(-2) NAO É e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2...
>
>Ah, e a exponenciação com complexos de fato é a da série de Taylor, mas é
>mais fácil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, é óbvio
>que zeta não tem raízes nos reais >1, mas não é TAO fácil ver que ela não
>se anula em todo o semiplano re(s)>1.
>
>Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero não ter dito
>nenhuma asneira!
>
>Bruno Leite
>www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>>Outro abração,
>> Rogério
>>
>>>From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]>
>>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>>To: [EMAIL PROTECTED]
>>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
>>>
>>>At 00:46 28/01/02 +, you wrote:
>>>
Quais são as "raízes triviais" da função zeta?
>>>
>>>Olá Rogério Godel Júnior,
>>>
>>>A função zeta é definida inicialmente pela equação
>>>
>>>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
>>>
>>>Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z
>>>complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
>>>
>>>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
>>>
>>>(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo
>>>junto
>>>com este email...lá embaixo)
>>>
>>>Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
>>>nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor
>>>sentido.
>>>Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
>>>zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
>>>converge )
>>>
>>>Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta
>>>para
>>>todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
>>>analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
>>>zeta(1/2+bi)...
>>>
>>>Pode-se provar que vale o seguinte:
>>>
>>>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
>>>
>>>(
[obm-l] Re: [obm-l] [Fwd: Sobre a importância de um teorema ou conjectura, e matemáticos Brasileiros]
Olá amigos! Como estou há muitos meses afastado, tenho receio de dizer algo já mencionado. Um outro excelente livro, na mesma linha que o do Simon Singh, é "TIO PETROS E A CONJECTURA DE GOLDBACH" de Apostolos Doxiadis, editora 34. Sendo que este não é um documentário, mas sim um romance, verdadeiramente emocionante. Acredito que livros como esses deveriam ser levados aos alunos do ensino médio. Estou certo de que não se trata de exagero dizer que cerca de 95% dos alunos terminam o Ensino Médio, sem ter a mais vaga idéia de que a Matemática ainda é feita nos dias de hoje, ou seja, não é algo pronto, acabado, esgotado. Vejo isso como um forte indicador de que há muita coisa errada. O pior é o aluno sai da escola com essa mentalidade mesmo depois de estudar (sabe lá Deus como) números complexos, sistemas lineares etc. Creio que o problema seria atenuado se o próprio professor de matemática não tivesse também tão distante da "realidade". Tento disseminar esses livros, essa idéia, mas confesso que não raro encontro relutância entre meus próprios colegas, mas felizmente é comum ter boa receptividade por parte de alguns alunos. O único problema é que não me devolvem os livros. Ou jogam fora ou gostam muito. Alguém acredita que FERMAT tivera blefado? É irrefutável a idéia de que FERMAT de fato não conseguira demonstrar? []s, Josimar - Original Message - From: Augusto César Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 28, 2002 9:18 PM Subject: [obm-l] [Fwd: Sobre a importância de um teorema ou conjectura, e matemáticos Brasileiros] Original Message From: - Mon Jan 28 21:11:16 2002 X-UIDL: gED"!~Rc"!a9'"!-LN!! X-Mozilla-Status: 0001 X-Mozilla-Status2: Return-Path: mailto:<[EMAIL PROTECTED] Received: from nplex.globo.com (email.globo.com [200.208.9.53]) by trex.centroin.com.br (8.12.1/8.12.1) with ESMTP id g0SDRZnQ008826 for <[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 28 Jan 2002 11:27:35 -0200 (EDT) Received: by nplex.globo.com (5.1.061) id 3C54C802812B for [EMAIL PROTECTED]; Mon, 28 Jan 2002 11:22:01 -0200 Message-ID: <[EMAIL PROTECTED]> Date: Mon, 28 Jan 2002 10:22:00 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre a importância de um teorema ou conjectura, e matemáticos Brasileiros To: [EMAIL PROTECTED] MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="ISO-8859-1" Content-Transfer-Encoding: 8bit X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by trex.centroin.com.br id g0SDRZnQ008826 X-UIDL: gED"!~Rc"!a9'"!-LN!!Caro Prof. Morgado, Enviei mensagem ao Nicolau, solicitando que fosse repassada à lista de discussão a mensagem abaixo, porém recebi uma notificação de erro relacionado ao e-mail dele. Seria possível você fazer esse repasse ? Eu não sou mais cadastrado na lista, porém ainda acompanho os arquivos disponíveis no site da lista e gostaria de emitir uma opinião. Grato. Alexandre Vellasquez (Saudações Tricolores) -- Quanto à importância de um teorema ou conjectura, acredito que ela deva ser dada em função dos trabalhos que estejam baseados nesse primeiro resultado. No livro de Simon Singh, verifica-se isso em relação à conjectura de Taniyama-Shimura, que em certa altura se mostra mais importante que o próprio "Último Teorema de Fermat" (que não entendo porque era assim chamad o e não apenas de "Conjectura de Fermat", uma vez que ainda não havia demonstração para ele). Segundo o livro, há um grande número de trabalhos que se iniciam por "Considerando verdadeira a Conjectura de Taniyama-Shimura". OU seja, caso fosse provado que tal conjectura era falsa, varios trabalhos perderiam sua validade. Entretanto, para os especialista essa conjectura parecia ser tão forte, que eles já supunham (mesmo ainda sem demonstração) sua validade. Isso é um trabalho realmente importante Quanto à demonstração de Willes, o que´acredito ser interessante é o envolvimento de grande parte da matemática que foi desenvolvida antes e depois de Fermat. Mais ainda, a busca por conexões entre os ramos da matemática e que possivelmente poderá render frutos em outros trabalhos, novas demonstrações em trabalhos anteriores e talvez até possibilidades de enfoques diferentes para outros problemas até hoje insolúveis. A fomentação da pesquisa e estudo e o desenvolvimento da matemática, mesmo que em ramos específicos e de extrema complexidade, acredito que seja o mais importante nessa estória toda, e não apenas se Fermat tinha uma solução para seu problema, ou ainda para quem são os devidos créditos pela demonstração. Todos aqueles que colamboraram ao longo dos 358 a
