Re: [obm-l] Muito interressante
On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os algarismos -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais probabilidade
On Fri, Feb 22, 2002 at 07:51:00PM -0300, Marcos Reynaldo wrote:
Alguém poderia me ajudar nessa questão.
Dois dados são lançados até que a soma das duas faces
observadas seja um sete. Encontre o mais provável
número de lançamentos e o número esperado de
lançamentos.
A qualquer lançamento a probabilidade de tirarmos 7 é 1/6
e portanto a probabilidade de continuarmos jogando é de 5/6
(para ver isso basta contar as possibilidades).
Assim, a probabilidade de encontrarmos o primeiro 7 no n-ésimo
lançamento (contando a partir de 1) é
(1/6) * (5/6)^(n-1)
É claro pela fórmula que o valor mais provável de n é 1.
O valor esperado é por definição a soma
E = sum_{n = 1} ( n * (1/6) * (5/6)^(n-1) )
= sum_{n = 0} ( (n+1) * (1/6) * (5/6)^n )
= ( sum_{n = 0} ( (1/6) * (5/6)^n ) ) +
+ (5/6) ( sum_{n = 0} ( n * (1/6) * (5/6)^(n-1) ) )
= 1 + (5/6) E
Donde E = 6.
[]s, N.
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Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1
On Sun, Feb 24, 2002 at 02:03:37AM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Olá colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dúvidas: 1) Achei na Internet uma demonstração elementar do teorema fundamental da algébra, q usa cálculo. O problemas é q ela cita tb coisas como anéis, corpos... (o pouco q eu sei sobre isso é q têm a ver com a teoria dos grupos de Galois, ou não), como já vi vários comentários sobre isso e esse parece ser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de referências de livros para um iniciante...Eu estava dando uma olhada no arquivo da lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas do teorema fundamental da algébra mas q todas tinham considerações geoméricas e q ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraçoes, o q sao essas consideraçoes geometricas q ele utilizou? alguém poderia mostrar mais ou menos o ponto de partida das demontraçoes de gauss? Deve ser uma das demonstrações de Gauss, a que inclui o mínimo de não-álgebra. Antes de mais nada é preciso deixar claro que é absurdo esperar uma demonstração do TVA que não use *alguma* propriedade não-algébrica de R (como o axioma do supremo) pois o enunciado é *falso* se trocamos R e C por Q e Q[i]. As demosntrações mais populares usam muita topologia ou análise complexa e pouca álgebra. A demonstração que você deve ter em mente divide-se nas seguintes etapas: Lema 1: Todo real positivo tem raiz quadrada. Lema 2: Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. Acho que todos concordamos que estes lemas não são difíceis... Teorema: Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades: (a) Todo elemento positivo tem raiz quadrada; (b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K admite pelo menos uma raiz em K; Então K[i] é algebricamente fechado, isto é, todo polinômio P(X) de grau n com coeficientes em K[i] pode ser escrito de forma única como P(X) = (X - a1)(X - a2)...(X - an) onde a1, a2, ..., an são elementos de K[i] (as raízes de P). A demonstração deste teorema usa um pouco de álgebra mas não é difícil. Aliás não usa nada de teoria de Galois, isto é outra parte de teoria de corpos. 2) 0,999...=1, essa é uma afirmação q ainda causa certa polêmica entre meus colegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seu professor de Cálculo se essa afirmação é verdadeira e ele a negou e disse q se isso fosse verdade se jogava do prédio onde dá aulas. Foi a maior polemica na aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaçao para q ele levasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pude encontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.) juntamente com o endereço da lista, para ele entregar ao tal professor e esse entaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assunto aqui na lista uma vez q ele já foi muito discutido, o q eu queria era pedir informação sobre q área da matematica devo estudar para poder compreender melhor isso e referencias de livros Espero que o prédio seja baixo. ;-) 3) qual é a equaçao do lugar geometrico dos pontos cujo produto das distancias a dois outros pontos é uma constante?(como na elipse só q ao inves de se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equação enorme pra se escrever aki... alguém sabe algum programa q eu possa usar para escrever equaçoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usar algumas simulçaoes em java na internet mas as q achei só escrevem funçoes...)? É uma curva algébrica de grau 4. Não sei se tem nome na forma geral que você sugere mas se a distância entre os pontos dados (focos?) for 2d e o produto prescrito for d^2 então a curva se chama uma lemniscata e parece um 8. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1
At 02:03 24/02/02 -0300, you wrote: Olá colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dúvidas: 1) Achei na Internet uma demonstração elementar do teorema fundamental da algébra, q usa cálculo. O problemas é q ela cita tb coisas como anéis, corpos... (o pouco q eu sei sobre isso é q têm a ver com a teoria dos grupos de Galois, ou não), como já vi vários comentários sobre isso e esse parece ser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de referências de livros para um iniciante...Eu estava dando uma olhada no arquivo da lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas do teorema fundamental da algébra mas q todas tinham considerações geoméricas e q ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraçoes, o q sao essas consideraçoes geometricas q ele utilizou? alguém poderia mostrar mais ou menos o ponto de partida das demontraçoes de gauss? 2) 0,999...=1, essa é uma afirmação q ainda causa certa polêmica entre meus colegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seu professor de Cálculo se essa afirmação é verdadeira e ele a negou e disse q se isso fosse verdade se jogava do prédio onde dá aulas. Foi a maior polemica na aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaçao para q ele levasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pude encontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.) juntamente com o endereço da lista, para ele entregar ao tal professor e esse entaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assunto aqui na lista uma vez q ele já foi muito discutido, o q eu queria era pedir informação sobre q área da matematica devo estudar para poder compreender melhor isso e referencias de livros Alguém na lista (acho que o prof. Eduardo Wagner) mostrou um argumento que convence qualquer um. Se x e y são reais diferentes, existe ao menos um número real entre eles. Tente achar um número real entre 0,999... e 1... Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite 3) qual é a equaçao do lugar geometrico dos pontos cujo produto das distancias a dois outros pontos é uma constante?(como na elipse só q ao inves de se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equação enorme pra se escrever aki... alguém sabe algum programa q eu possa usar para escrever equaçoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usar algumas simulçaoes em java na internet mas as q achei só escrevem funçoes...)? []´s hugo ps: se alguém aqui cursa ciencia da computaçao na UnB ou pode me dar informaçoes sobre o curso por favor me contatem. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] geometria-ajuda
Mostre que num octógono regular a soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer no interior do octógono aos vértices é constante.
Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1
As curvas sao chamadas de ovais de Cassini. Nicolau C. Saldanha wrote: [EMAIL PROTECTED]"> On Sun, Feb 24, 2002 at 02:03:37AM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Ol colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dvidas:1) Achei na Internet uma "demonstrao elementar" do teorema fundamental daalgbra, q usa clculo. O problemas q ela cita tb coisas como anis,corpos... (o pouco q eu sei sobre isso q tm a ver com a teoria dos gruposde Galois, ou no), como j vi vrios comentrios sobre isso e esse pareceser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de refernciasde livros para um iniciante...Eu estava dando uma olhada no arquivoda lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas doteorema fundamental da algbra mas q todas tinham consideraes geomricas eq ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraoes, o q sao essasconsideraoes geometricas q ele utilizou? algum poderia mostrar mais oumenos o ponto de partida das demontraoes de gauss? Deve ser uma das demonstraes de Gauss, a que inclui o mnimo de no-lgebra.Antes de mais nada preciso deixar claro que absurdo esperaruma demonstrao do TVA que no use *alguma* propriedade no-algbrica de R(como o axioma do supremo) pois o enunciado *falso* se trocamos R e Cpor Q e Q[i]. As demosntraes mais populares usam muita topologia ouanlise complexa e pouca lgebra. A demonstrao que voc deve ter em mentedivide-se nas seguintes etapas: Lema 1: Todo real positivo tem raiz quadrada. Lema 2: Todo polinmio real de grau mpar tem pelo menos uma raiz real.Acho que todos concordamos que estes lemas no so difceis... Teorema: Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades: (a) Todo elemento positivo tem raiz quadrada; (b) Todo polinmio de grau mpar com coeficientes em K admite pelo menos uma raiz em K; Ento K[i] algebricamente fechado, isto , todo polinmio P(X) de grau n com coeficientes em K[i] pode ser escrito de forma nica como P(X) = (X - a1)(X - a2)...(X - an) onde a1, a2, ..., an so elementos de K[i] (as razes de P).A demonstrao deste teorema usa um pouco de lgebra mas no difcil.Alis no usa nada de teoria de Galois, isto outra parte de teoria de corpos. 2) 0,999...=1, essa uma afirmao q ainda causa certa polmica entre meuscolegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seuprofessor de Clculo se essa afirmao verdadeira e ele a negou e disse qse isso fosse verdade se jogava do prdio onde d aulas. Foi a maior polemicana aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaao para q elelevasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pudeencontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.)juntamente com o endereo da lista, para ele entregar ao tal professor e esseentaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assuntoaqui na lista uma vez q ele j foi muito discutido, o q eu queria era pedirinformao sobre q rea da matematica devo estudar para poder compreend ermelhor isso e referencias de livros Espero que o prdio seja baixo. ;-) 3) qual a equaao do lugar geometrico dos pontos cujo produto dasdistancias a dois outros pontos uma constante?(como na elipse s q ao invesde se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equao enormepra se escrever aki... algum sabe algum programa q eu possa usar paraescrever equaoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usaralgumas simulaoes em java na internet mas as q achei s escrevemfunoes...)? uma curva algbrica de grau 4. No sei se tem nome na forma geral que vocsugere mas se a distncia entre os pontos dados (focos?) for 2d e o produtoprescrito for d^2 ento a curva se chama uma lemniscata e parece um 8.[]s, N.=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] Livros
Olá amigos, Vou comecar a cursar Matemática na UFV, mas como as aulas só começam no final de maio, gostaria de saber algum material em que eu possa ir estudando as matérias do 1o semestre. As matérias sao, Introducao à álgebra (MAT131), Geometria Analítica (MAT152) e Matematica Elementar I (MAT201). Quais livros sao bons para estudar estes temas? []s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
