Re: [obm-l] Sequencia Sinistra!
On Wed, Jan 01, 1997 at 01:46:36AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olah Nicolau e todos da lista, Nicolau, eu estava fucando os arquivos, e achei um email seu sobre a sequencia numerica 1^1 + 2^2 + 3^3 +... N^N, e sobre achar uma forma fechada para ela. Vc poderia mostrar a forma fechada desta aberracao, e qual foi o raciocinio usado para chegar a ela? Não me lembro muito bem dessa história. Eu acabo de procurar a seqüência em http://www.research.att.com/~njas/sequences/ que é uma enciclopédia on-line de seqüências de inteiros. Lá há uma referência: Problem 4155, Amer. Math. Monthly, 53 (1946), 471. mas duvido que exista uma fórmula fechada. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda ! E ai maluco, tudo blz ? Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com isso. O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : SE A, B e C SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA. Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. PRIMEIRO PASSO DA IDEIA Sem perda de generalidade podemos supor A B C. Evidentemente : RAIZ_N(A) RAIZ_N(B) RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA significa dizer que existem naturais R, S e T tais que : X + YR = RAIZ_N(A) X + YS = RAIZ_N(B) X + YT = RAIZ_N(C) Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) Veja que eu nao estou impondo que R, S e T estejam em PA. Nao estou impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, por exemplo, R S T. O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R S T. Se Y 0 ela sera decrescente e R S T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um ponto interior ao intervalo de extremos R e T. Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R T. Queremos, pois, saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal que X + YZ = RAIZ_N(B). SEGUNDO PASSO DA IDEIA. Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem abscissa R+1 ? sera : RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) Os pesos sao sempre da forma : T-R-i e i, isto e, nos estamos diante de uma media ponderada da forma : (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos acima e tais que : RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) TERCEIRO PASSO DA IDEIA : A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer naturais A e C vale : RAIZ_N((A+C)/2) (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! Um abraco Paulo Santa Rita 4,1247,220502 Oi Paulo! Não sei se compreendi bem esse seu e-mail. :) O problema é o seguinte: desenhe no plano os pontos (R_N(x), x) para todo x inteiro positivo. Você vai ter destacado alguns pontos da função contínua f(x) = R_N(x) para todo x real. Agora escolha uma PA de 3 termos inteiros positivos, digamos Y_1, Y_2, Y_3. Marque os três pontos no eixo ordenado (0,Y_1), (0, Y_2) e (0, Y_3), para cada um deles trace uma reta horizontal, ou seja, paralela ao eixo das abscissas. Suponhamos que essas três retas passem por três dos pontos do gráfico que você tinha destacado. Esses três pontos chame de (X_1, Y_1) também (X_2, Y_2) e finalmente (X_3, Y_3). O que nós temos, agora, é que os Y_1, Y_2 e Y_3 está em forma de PA, mas isso não precisa acontecer com os X_1, X_2 e X_3. OU SEJA, os pontos (X_n, Y_n) NÃO PRECISAM ESTAR SOBRE UMA RETA. E daí esse seu argumento não prova nada sobre o problema inicial. Em outras palavras, o que você demonstrou pela convexidade da f, a saber, que nenhuma reta corta o gráfico da f em três pontos distintos, não garante que se p, q e r foram primos distintos então f(p), f(q) e f(r) não formam uma PA. Se o seu argumento é só um passo para resolver o problema, perdoe o meu comentário acima: mas eu acredito que esse caminho não vai levar a uma solução. E só para terminar o e-mail: o Fabio Dias Moreira é que ressaltou isso que eu disse aí em cima, e pelo visto, o Paulo não chegou a ler a mensagem dele. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. PS. eu não descarto a possibilidade de eu não ter compreendido
[obm-l] Re: [obm-l] (nenhum assunto)
ANSWER:Bem,a parte 1 sai por paridades.E so ver que n e n+1 nao sao ambos impares. A segunda parte e bem mecanica.Teste n(n+1)mod 10 na porrada ate achar um ciclo e prove que o digito final deste n(n+1) nao pode ser 4 ou 8. Ate mais!Peterdirichlet. -- Mensagem original -- mostre que para todo n natural,1) o número n(n+1)/2 está em IN e que 2)seu algarismo das unidades não pode ser 2, nem 4, nem 7, nem 9. Obrigado Korshinói TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Correção
2.Seja P um ponto no interior de um triangulo e sejam ha,hb e hc as distancias de P aos lados a,b e c,respectivamente.Mostre q o valor mínimo de a/ha +b/hb +c/hc ocorre quando P é o incentro de ABC. Olá Fernanda Medeiros. Realmente fiz uma confusão nesse problema. Novamente, façamos x, y e z as distâncias do ponto P (interno ao triângulo) aos lados. Vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz da seguinte forma: a=sqrt(ax).sqrt(a/x) , b=sqrt(by).sqrt(b/y) , c=sqrt(cz).sqrt(c/z), já fica claro o porque desse escolha. Por C-S vem: (a + b + c ) ^2 =(ax +by + cz)(a/x + b/y + c/z), aí está: ax + by + cz = 2A ( o dobro da área do triângulo) . Isso é ótimo, o mínimo ocorre quando a igualdade for alcançada. Novamente, nas condições da desigualdade de C-S a igualdade é alcançada somente quando ocorrer sqrt(ax)=k.sqrt(a/x), etc. Isso tudo dá x=y=z=k. Assim P é o incentro do triângulo, como queríamos. Note ainda que na condição de igualdade de C-S a expressão diz que A=p.r ( a área é igual ao semi-perímetro multiplicado pelo raio da inscrita), como realmente é! Grande abraço . Claudio Casemiro. - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, May 21, 2002 3:04 PM Oi Cláudio! hmmm se o ponto P estah no interior de ABC, podemos ligar P aos vertices; dae sendo x y e z as distancias de P aos lados a,b e c, temos ax/2 +by/2 +cz/2=S = ax+by+cz=2S , dae ax num eh igual a 2S ... dae ficou ruim pra entender... o q eu errei? o q tem de errado? ah,na questão, sendo ha,hb e hc as alturas relativas aos lados a,b e c do triang. ABC, se a+ha=b+hb=c+hc ,como provo q ABC eh equilatero? Obrigada!! []´s Fê! Olá Fernanda! Veja se a seguinte idéia funciona para o 2º. Ponhamos BC=a, AC=b e AB=c, P um ponto interior, P(x,y,z) onde x é a distância de P até BC, etc. Agora ax=by=cz=2A (o dobro da área do triângulo ABC). A expressão a/x + b/y + c/z = 2A [1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 ]. Fixe z. Suponha xy ou xy. Em qualquer caso é possível diminuir o valor da expressão inicial tornando x=y. Então devemos ter x=y. Idem para z. Se x=y=z então P é o incentro. Verifique. Um abraço. Claudio Casemiro. - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 19, 2002 8:36 AM Subject: [obm-l] inversão/desigualdades/cone sul Oi pessoal, alguém poderia me ajudar nessas 2 questões? Bem,aé vão: 1.Sejam a,c,d e d os lados consecutivos de um quadrilátero ABCD e x e y as suas diagonais.Suponha que os círculos circunscritos aos triangulos ABC e ACD são ortogonais.Mostre que (x^2)(y^2)=(a^2)(c^2) + (b^2)(d^2) 2.Seja P um ponto no interior de um triangulo e sejam ha,hb e hc as distancias de P aos lados a,b e c,respectivamente.Mostre q o valor mínimo de a/ha +b/hb +c/hc ocorre quando P é o incentro de ABC. 3.Seja p um real positivo dado.Achar o mínimo valor de x^3 +y^3 sabendo que x e y são reais positivos tais que xy(x+y)=p Obrigada! []´s Fê _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema
resolva a equação : x^(sqrt x) = 1/2 Deixa eu ver... Note que temos de ter x0. Então, vou fazer y=1/sqrt(x), isto é, x=1/y^2 para começar. Note que y0 também. (1/y^2)^(1/y)=1/2 y^2^(-1/y)=1/2 y^2=2^y Ah-ha! Esse problema eu já vi por aqui Se eu me lembro bem, a gente tem três soluções: y=2, y=4 e uma outra solução negativa que usava o Lambertiano (eu já escrevi isso aqui antes). A solução negativa neste caso não presta, então ficamos só com x=1/4 ou x=1/16. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Sequencia Sinistra!
Sauda,c~oes, Quando esse assunto estava fresco eu fui olhar a referência que o N. indicara. Não há fórmula fechada. Há somente um resultado A = S_n = B. Mas nem A nem B são interessantes. []'s Luis -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 22 de maio de 2002 09:57 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Sinistra! On Wed, Jan 01, 1997 at 01:46:36AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olah Nicolau e todos da lista, Nicolau, eu estava fucando os arquivos, e achei um email seu sobre a sequencia numerica 1^1 + 2^2 + 3^3 +... N^N, e sobre achar uma forma fechada para ela. Vc poderia mostrar a forma fechada desta aberracao, e qual foi o raciocinio usado para chegar a ela? Não me lembro muito bem dessa história. Eu acabo de procurar a seqüência em http://www.research.att.com/~njas/sequences/ que é uma enciclopédia on-line de seqüências de inteiros. Lá há uma referência: Problem 4155, Amer. Math. Monthly, 53 (1946), 471. mas duvido que exista uma fórmula fechada. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema
Dica: O que eh exatamente sqtr(x)? A que deducao este fato pode nos levar? Pense mais um pouco.. Esse problema eh semelhante a um que jah foi discutido aqui.., soh que este eh verificavel :c) Ha uma resolucao do problema no final do email, mas tente antes vc mesmo ;c) Abracos, Ezer F. da Silva On 21 May 2002 at 23:22, Eduardo Quintas wrote: resolva a equação : x^(sqrt x) = 1/2 PS.: x elevado a raiz quadrada de x = 1/2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = x^sqrt(x) = 1/2 = x^x^(1/2) = 1/2 Como 1/2 eh igual a x^x^(1/2), podemos substituir na equacao: x^x^x^x^(1/2) = 1/2. E podemos substituir infinitamente. x^x^x^x^x^... = 1/2. Como 1/2 = x^x^x^x^x^..., entao podemos substituir e ficaremos com x^(1/2) = 1/2 (isso soh eh possivel pq infinito - 1 = infinito, ou seja, um conjunto infinito nao aumenta nem diminui quando lhe tiramos ou acrescentamos um numero finito de termos) x^(1/2) = 1/2 x = 1/4 Substituindo para verificar: x^sqtr(x) = 1/2 | (1/4)^sqtr(1/4) = 1/2 | sqtr(1/4) = 1/2 | 1/2 = 1/2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
