[obm-l] Hooke-Jeeves
Caros amigos da lista, Em linhas gerais, como funciona o método de Hooke-Jeeves, na busca de soluções ótimas? E Hooke-Jeeves revisado (rHJ)? Um abraço, Vinícius Damaso.
Re: [obm-l] RE!:Re: [obm-l] Geo Plana..
Luiz Tente provar utilizando vetores. Considere dois vetores u e v na origem e divida o segmento determinado por suas extremidades em tres partes iguais. Se você criar os vetores que vão da origem a esses pontos verificará que eles não trisseccionam o angulo original. Laurito From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RE!:Re: [obm-l] Geo Plana.. Date: Sat, 6 Jul 2002 00:16:23 -0300 Na verdade, o que você esta errando , não é bem o modo como o segmento esta cortando o outro lado. Está errado em dizer que o angulo também e dividido em três partes iguais , isto é ERRADO... Vou tentar provar isso algebricamente aqui em casa , e mando para a lista assim que tiver tempo. Abraço para o triseccionado Alexandre! Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: Racionalização
Parece que houve problemas, com o arquivo em anexo que enviei. Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o numerador e o denominador por:3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que resultarar em: (3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12. Felicidades. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34 Assunto: [obm-l] Re: Racionalização Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você. Veja comofiz: Felicidades! Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29 Assunto: [obm-l] Racionalização Estava resolvendo algumas questões do selecionados, e me deparei com algumasdúvidas de teoria.*Como faço para racionalizar denominadores com mais de 3 raízes ?Exemplo simples : 1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)]*Como faço para racionalizar denominadores com mais de uma raiz , do tipo:1/[raiz4(2) + 1 ]Será que a relação 1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p - 1) é válida ?*A relação do radical duplo , serve para raízes que não sejam quadradas?Ex:raiz 5 [2 + raiz 3(3)]Obrigado. |-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |
[obm-l] Re: [obm-l] !!! questão ..
Achei muito interessante este problema, e não esperava que pudesse resolvê-lo em um minuto. Primeiro prove que u/v + 1/(u/v)=1/(uv). Segundo mostre que f(u/v + 1/(u/v))= 2. Terceiro demonstre que x + 1/x = 2 para todo x real diferente de zero e é igual a 2 se, e somente se x = 1, logo vale para f(x) + 1/f(x) também. Tome x=u/v, e resulta que f(u/v) = 1. Aguardo novos problemas e em uma ocasião oportuna apresentarei algum. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] !!! questão .. Date: Sat, 6 Jul 2002 11:59:18 -0300 será que alguém poderia me dar uma idéia nesse exercício ?? Sejam três funções f, u, v: IR - IR tais que: f(x + 1/x) = f(x) + 1/f(x) para todo x não nulo e (u(x))^2 + (v(x))^2 = 1 para todo x real. Sabendo que x0 é um número real tal que u(x0)*v(x0) é diferente de zero e f|1/u(x0)*1/v(x0)|=2, o valor de f|u(x0)/v(x0)| é: obrigado !! www.gabas.cjb.net Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] somatorio
Sauda,c~oes,
Hiii, a solução que conheço é realmente
longa e um pouco difícil. Se não tem outra
mais simples, acho pouco provável algum
candidato ter resolvido a questão na hora.
Logo, questão fora de propósito.
Não poderei apresentar a solução aqui. Ela
usa diversos resultados conhecidos intermediários
que podem ser vistos/deduzidos lendo-se o
livro do Knuth Fundamental Algorithms, Vol. 1.
O resultado final que nos interessa é:
\sum_{0 = k = r} C(r-k,m) C(s+k,n) = C(r+s+1,m+n+1),
onde inteiro n = inteiro s = 0,
inteiro m = 0, inteiro r = 0.
Colocando r=n, s=0 e n=m, vem:
\sum_{0 = k = n} C(n-k,m) C(k,m) = C(n+1,2m+1).
C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: adr.scr.m [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sábado, 6 de julho de 2002 14:29
Assunto: [obm-l] somatorio
Alguem pode me ajudar nesse somatorio,
caiu no IME em 1980,
Prove a seguinte identidade
C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
onde n e m sao inteiros positivos e
C(n,m)= n! /[ (n-m)! m! ]
para n = m e C(n,m)=0 para n m.
Obrigado.
Adriano.
__
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Re: [obm-l] ??
Sauda,c~oes, Este é o exerc. 12 do Manual de Indução. []'s Luís -Mensagem Original- De: Eder Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 7 de julho de 2002 19:54 Assunto: Re: [obm-l] ?? Esqueci de citar,no segundo problema,que n=3. - Original Message - From: Marcio To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 07, 2002 6:06 PM Subject: Re: [obm-l] ?? A primeira equacaoda 2z = w(z+1), onde w eh uma das raizes quintas da unidade. Portanto, as cinco solucoes sao dadas por z = w/(2-w), fazendo w igual a cada uma das raizes exp(2kpi*i/5) (eh soh vc ver que essas 5 raizes servem e sao distintas, logo sao todas as raizes possiveis da eq. polinomial). No 2o, vc quer mostrar que f(n)=(1+1/n)^n = n sempre, mas f(1)=21... f(2)=25/4 2... Marcio - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 07, 2002 12:50 PM Subject: [obm-l] ?? Olá, Gostaria de expor dois problemas que não estou conseguindo resolver.Caso alguém queira comentar,agradeço. 1)Resolver a equação 32z^5=(z+1)^5 no campo dos complexos. 2)Provar por indução que ( (n+1)/n)^n = n (menor ou igual). Valeu aí por qualquer coisa. Eder
Re: [obm-l] dois problemas
Sauda,c~oes, Caro Wagner, Onde estaria o furo nessa solução? Este problema 1 ja e famoso.Eu resolvo com trigonometria.Seja x=anguloCQT.SLS no QCT, 2*sen 60=TQ*sen .No PAT,PT=2/cos x.Pela equilateralidade,tg x=sen 60.E como x=anguloPTA(prove!),PT e facil de ser calculado e vale 7^1/2.Com isso voce finaliza a questao. Te mais Ele fez AC=4, M=P, N=Q (pequena diferença de letras na figura). []'s Luís -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 7 de julho de 2002 22:54 Assunto: Re: [obm-l] dois problemas Caro Luis: O seu problema 1 so tem solucao se M coincide com A. Neste caso, se BC = a, o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo ATN eh a/4. -- From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dois problemas Date: Wed, Jul 3, 2002, 12:20 PM Sauda,c~oes, Acabo de receber estes dois problemas por fax. Alguém saberia resolvê-los? 1) No triângulo ABC desenhado abaixo, A=90, B=60. B MN ATC T é ponto médio de AC O triângulo MNT é equilátero. Calcule a área do círculo circunscrito ao triângulo MNT. 2) Calcule S = 1 / (1+n)^n = = 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 + []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] somatorio
Eu tenho n+1 livros numa estante (volume 1,2,3,...,n+1). Eu quero escolher uma coleção de 2m+1 livros da estante (pintando o livro do meio de verde, se você desejar). Quantas maneiras eu tenho de escolher tal coleção? Se eu estiver sozinho, eu escolho 2m+1 livros dos n+1. Então, há C(n+1,2m+1) possíveis coleções. Aí eu posso pintar o do meio de verde, mas isso não faz diferença alguma no número de maneiras... :) Por outro lado, se eu tiver dois ajudantes Abreu e Beatriz, eu começo escolhendo o livro do meio (dos 2m+1), pinto-o de verde e é esse que eu vou carregar. Digamos que eu escolhi o volume k (k poderia ser 0, 1, ..., n). Agora eu peço ao Abreu para escolher m livros à esquerda do livro verde (há C(k,m) maneiras de ele fazer isso) e à Beatriz para escolher m livros à direita do livro verde (há C(n-k,m) maneiras de ela escolher). Em suma, para uma escolha fixa de k, há C(k,m).C(n-k,m) maneiras de escolher os outros 2m livros (este número pode até ser zero se eu escolhi um livro muito na ponta). No total, incluindo o livro verde, há Sum(k=0 a k=n) C(n-k,m).C(k,m) maneiras de escolher 2m+1 livros a partir dos n iniciais. Note que para cada escolha dos 2m+1 livros há apenas uma maneira de fazer este processo do Abreu e Beatriz. Como o resultado dos processos é idêntico (exceto talvez porque eu fiquei menos cansado na segunda situação), e cada maneira de fazer um corresponde a apenas uma maneira de fazer o outro, conclui-se que C(n+1,2m+1) = Sum (k=0 a k=n) C(n-k,m).C(k,m) Que tal? Abraço, Ralph Mensagem original- De: adr.scr.m [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: sábado, 6 de julho de 2002 14:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] somatorio Alguem pode me ajudar nesse somatorio, caiu no IME em 1980, Prove a seguinte identidade C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m) onde n e m sao inteiros positivos e C(n,m)= n! /[ (n-m)! m! ] para n = m e C(n,m)=0 para n m. Obrigado. Adriano. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Risch algorithm
Sauda,c~oes,
Não sabia como obter f(x)=x^{x+1} do email abaixo.
Então escrevi pro prof. Rousseau novamente.
Como havia um engano na resposta dele, mando
este email somente para fazer o registro.
Para os que gostam da transformada de Laplace,
mais um exemplo do uso desta ferramenta.
Lamento a notação exótica.
===
Dear Luis:
It seems that I made a mistake. The result I get now seems
to be slightly different from the one that I quoted. The way that
I took may be the long way around, but this is how I proceeded.
Start with the Laplace transform of t^n:
\int_0^{\infty} t^n e^{-st} dt = n!/s^{n+1}.
Replace n by n-1 and set s = n+1. Thus
\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-(n+1)t} dt = \frac{(n-1)!}{(n+1)^n}.
Thus (formally) the series in question is given by
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^n}
= 1 + \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t e^{-t})^{n-1}}{(n-1)!}
e^{-2t} dt = 1 + \int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-2t} dt.
Now set u = e^{-t} so the integral becomes
\int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-t} dt = \int_1^0 \frac{1}{u^u} u (-du)
= \int_0^1 \frac{u du}{u^{u}}.
Thus the sum of the series is
1 + \int_0^1 \frac{u du}{u^u}.
This checks numerically using Maple. It follows that there is an exact
formula for the sum of the series if and only if there is one for the
integral. I'll stick by my conviction that this is highly unlikely. I
haven't done it, but I believe that the Risch algorithm will show that the
antiderivative of u/u^u is not an elementary function. This doesn't
complete the story since there are definite integrals that one can
evaluate even though you can't express the indefinite integral as
an elementary function (for example \int_0^{\infty} exp(-x^2) dx).
Cheers,
Cecil
===
[]'s
Luis
===
As for the other question, I would be exceedingly surprised if
the series in question has closed form sum. Of course, one can
re-express the series sum as an integral; a quick calculation gives
\int_0^1 x^{x+1} dx,
and I am confident that one prove (using the Risch algorithm) that
x^{x+1} has no antiderivative in elementary terms. While this
doesn't completely settle the issue, it comes close.
===
Para registrar, o problema 2 era
2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 +
Agora uma pergunta: alguém conhece esse algoritmo
de Risch? Nunca ouvi falar disso. E então aquela outra
soma que apareceu por aqui - S = \sum 1 / n^n -
recentemente deve ter o mesmo tratamento e conclusão:
nada de forma fechada.
[]'s
Luís
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Polinômios
Gostaria de saber se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo, M raízes inteiras e positivas. DJ. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Polinômios
Gostaria de saber se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo, M raízes inteiras e positivas. DJ. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Polinômios
Gostaria de saber se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa. Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) tem, no máximo, M raízes inteiras e positivas. DJ. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Risch algorithm
Ola Pessoal,
Em teoria da computacao se aprende que a integracao e um processo algoritmo,
assim como a diferenciacao.
o ALGORITMO DE RISCH e um desenvolvimento do teorema de um trabalho de
Laplace que permite fazer da integracao analitica um algoritmo assim como
fazemos hoje com a diferenciacao.
Nao e um algoritmo simples, mas, em poucas palavras consiste em exprimir a
integral de uma funcao como um COMBINACAO LINEAR de LOGARITMOS. O algoritmo
propriamente dito e justamente o metodo de calcular os coeficientes desse
desenvolvimento ...
integrla Fdx = A + somatorio (Bi.LOG Ci)
Encontrar A, Bi e Ci e o algoritmo propriamente dito.
Segundo a tese de Church, a todo procedimento efetivo corresponde uma
maquina de turing. Segue que as funcoes algoritmicas sao passiveis de serem
programadas para serem executadas por um computador ( com maior ou menor
complexidade ). Sera que as atividades que nos sao proprias sao justamente
aquelas que nao sao algoritmicas ? Isto e, a nossa humanidade se revela so
em atividades nao algoritmicas ?
Parece trivial que se uma atividade pode ser feita por um homem e por uma
maquina, entao : atribua esta tarefa a maquina, pois e um a tarefa
algoritmica, logo, inferior. Mas, se for assim, o que resta ? Quasi sao os
afazeres tipicos relacionados as atividades nao-algoritmicas ? Que
tecnologia sai dai ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1952,080702
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Risch algorithm
Date: Mon, 8 Jul 2002 18:28:24 -0300
Sauda,c~oes,
Não sabia como obter f(x)=x^{x+1} do email abaixo.
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Dear Luis:
It seems that I made a mistake. The result I get now seems
to be slightly different from the one that I quoted. The way that
I took may be the long way around, but this is how I proceeded.
Start with the Laplace transform of t^n:
\int_0^{\infty} t^n e^{-st} dt = n!/s^{n+1}.
Replace n by n-1 and set s = n+1. Thus
\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-(n+1)t} dt = \frac{(n-1)!}{(n+1)^n}.
Thus (formally) the series in question is given by
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^n}
= 1 + \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t e^{-t})^{n-1}}{(n-1)!}
e^{-2t} dt = 1 + \int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-2t} dt.
Now set u = e^{-t} so the integral becomes
\int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-t} dt = \int_1^0 \frac{1}{u^u} u (-du)
= \int_0^1 \frac{u du}{u^{u}}.
Thus the sum of the series is
1 + \int_0^1 \frac{u du}{u^u}.
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formula for the sum of the series if and only if there is one for the
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2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 +
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionalização
Obrigado , amigo Davidson . Abraço. Rick -- Mensagem original -- Parece que houve problemas, com o arquivo em anexo que enviei. Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o numerador e o denominador por: 3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que resultarar em: (3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12. Felicidades. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34 Assunto: [obm-l] Re: Racionalização Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você. Veja como fiz: Felicidades! Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29 Assunto: [obm-l] Racionalização Estava resolvendo algumas questões do selecionados, e me deparei com algumas dúvidas de teoria. *Como faço para racionalizar denominadores com mais de 3 raízes ? Exemplo simples : 1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)] *Como faço para racionalizar denominadores com mais de uma raiz , do tipo : 1/[raiz4(2) + 1 ] Será que a relação 1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p - 1) é válida ? *A relação do radical duplo , serve para raízes que não sejam quadradas ? Ex: raiz 5 [2 + raiz 3(3)] Obrigado. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] RE!:Re: [obm-l] Geo Plana..
Boa idéia Laurito , eu estava tentando provar por área de triângulos. -- Mensagem original -- Luiz Tente provar utilizando vetores. Considere dois vetores u e v na origem e divida o segmento determinado por suas extremidades em tres partes iguais. Se você criar os vetores que vão da origem a esses pontos verificará que eles não trisseccionam o angulo original. Laurito From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RE!:Re: [obm-l] Geo Plana.. Date: Sat, 6 Jul 2002 00:16:23 -0300 Na verdade, o que você esta errando , não é bem o modo como o segmento esta cortando o outro lado. Está errado em dizer que o angulo também e dividido em três partes iguais , isto é ERRADO... Vou tentar provar isso algebricamente aqui em casa , e mando para a lista assim que tiver tempo. Abraço para o triseccionado Alexandre! Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] somatorio
Dá para calcular esse somatório com argumentos
combinatórios.
O resultado final que nos interessa é:
\sum_{0 = k = r} C(r-k,m) C(s+k,n) =
C(r+s+1,m+n+1),
onde inteiro n = inteiro s = 0,
inteiro m = 0, inteiro r = 0.
Veja só:
C(r+s+1, m+n+1) é o número de subconjuntos de m+n+1
elementos de {0;1;2;3;...;r+s}.
C(r-k,m) é o número de maneiras de escolhermos m
dentre r-k números;
C(s+k,n) é o número de maneiras de escolhermos n
dentre r-k números.
Fixe o m+1-ésimo elemento. Se ele for r-k, temos
C(r-m,m) maneiras de escolhermos m elementos entre 0 e
r-m-1 e C(s+k,n) maneiras de escolhermos os outros n
elementos, que junto com o r-k e os outros m
escolhidos formam um conjunto de m+n+1 elementos. O k
pode variar de r a 0, pois se k0, temos que escolher
n dentre s+k s elementos, o que é impossível. E se
kr, o m+1-ésimo elemento é r-k0, impossível. Não é
difícil ver que a partir de um conjunto de m+n+1
elementos podemos montar dois conjuntos de m e n
elementos e mais o elemento do meio, estabelecendo
assim uma bijeção.
Colocando r=n, s=0 e n=m, vem:
\sum_{0 = k = n} C(n-k,m) C(k,m) = C(n+1,2m+1).
C(n+1,2m+1)=som(de k=o ate n) C(n-k,m) C(k,m)
Nesse caso particular, o negócio fica mais simples:
Considere o conjunto X={0;1;2;3;...;n}. Vamos mostrar
que o somatório acima é o número de subconjuntos de
2m+1 elementos de X. Para isso vamos construir uma
bijeção entre os subconjuntos de 2m+1 elementos e uma
tripla ordenada (A,B,c) formada por conjuntos A e B de
m elementos e um número inteiro c, 0=c=n, onde todo
elemento de A é menor que c e todo elemento de B é
maior que c (note que o somatório acima conta nada
mais, nada menos que esses ternos).
Claramente, A e B são disjuntos, e portanto associamos
a essa tripla um conjunto A u B u {c} com 2m+1
elementos (aqui u significa união). Observe que
(A,B,c) e (A',B',c') estão associadas a um mesmo
subconjunto se e somente se A = A', B = B' e c = c'.
Logo a associação feita é injetiva. E a cada
subconjunto de 2m+1 elementos está associada uma
tripla (A,B,c). Os primeiros m elementos são os que
pertencem a A, o m+1-ésimo elemento é c e os demais m
elementos pertencem a B. Logo a associação também é
sobrejetiva, sendo assim uma bijeção.
Portanto, o somatório dado é o número de triplas que é
igual ao número de subconjuntos de X com 2m+1
elementos, que é C(n+1,2m+1).
[]'s
Shine
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionalização
Na verdade, pode-se racionalizar o denominador de
qualquer fração com denominador algébrico. Um número é
algébrico se e somente se é raiz de um polinômio de
coeficientes inteiros.
A idéia é a seguinte: digamos que queremos
racionalizar 1/a, onde a é algébrico. Encontramos um
polinômio de coeficientes inteiros p(x) que admite a
como raiz e fazemos:
p(a) = 0 = p(a) - p(0) = p(0)
= [p(a) - p(0)]/[ap(0)] = 1/a
Como p(0) é o coeficiente independente de p(x),
p(x)-p(0) é divisível por x, e obtemos um polinômio de
coeficientes inteiros.
Exemplificando: se a = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5),
temos que a^2 = 9 + 2(sqrt(6) + sqrt(10) + sqrt(15)).
Elevando mais uma vez ao quadrado (tenha fé!), temos
(a^2-9)^2 = 4(31 + 2(sqrt(60)+sqrt(90)+sqrt(150)))
= 124 + 2sqrt(30)(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5))
= 124 + 2sqrt(30)*a
Logo a^4 - 18a^2 + 81 = 124 + 2sqrt(30)a =
a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
A gente poderia elevar ao quadrado mais uma vez, mas
não vai ser necessário. Veja:
a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
= a^3 - 18a - 2sqrt(30) = 43/a
= [a^3 - 18a - 2sqrt(30)]/43 = 1/a.
Pronto, está racionalizado (vc pode substituir a no
numerador, mas estou contente assim). OK, deu mais
trabalho que a outra solução, mas agora vc pode
racionalizar frações mais complicadas, como (18^(1/3)
+ 12^(1/3) - 1)^(-1), por exemplo (ou até mesmo coisas
mais estranhas como 1/cos(pi/9)!!). Tente!
[]'s
Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Obrigado , amigo Davidson .
Abraço.
Rick
-- Mensagem original --
Parece que houve problemas, com o arquivo em
anexo que enviei.
Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o
numerador e o denominador
por:
3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que
resultarar em: (3*(2)^(1/2)
+ 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12.
Felicidades.
Davidson Estanislau
-Mensagem Original-
De: Davidson Estanislau
Para: obm
Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34
Assunto: [obm-l] Re: Racionalização
Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você.
Veja como fiz:
Felicidades!
Davidson Estanislau
-Mensagem Original-
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29
Assunto: [obm-l] Racionalização
Estava resolvendo algumas questões do selecionados,
e me deparei com algumas
dúvidas de teoria.
*Como faço para racionalizar denominadores com mais
de 3 raízes ?
Exemplo simples :
1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)]
*Como faço para racionalizar denominadores com mais
de uma raiz , do tipo
:
1/[raiz4(2) + 1 ]
Será que a relação
1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p -
1) é válida ?
*A relação do radical duplo , serve para raízes que
não sejam quadradas
?
Ex:
raiz 5 [2 + raiz 3(3)]
Obrigado.
|-=Rick-C.R.B.=- |
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionalização
Andei pensando e concluí que racionalizar o denominador de 1/cos(pi/9) não faz muito sentido... aliás, como definir de modo preciso uma fração com denominador racionalizado? Uma fração com denominador racional? Acho que não: veja que 1/[2sqrt(2)] = a/2, com a = 1/sqrt(2), não deixa de ter o denominador racionalizado! Mas, enfim, acho que essa discussão é irrelevante, dado que nos probleminhas de racionalizar denominadores mais complicados só aparecem raízes no máximo cúbicas (e para as quais o método do polinômio sempre funciona). []'s Shine --- Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] wrote: Na verdade, pode-se racionalizar o denominador de qualquer fração com denominador algébrico. Um número é algébrico se e somente se é raiz de um polinômio de coeficientes inteiros. A idéia é a seguinte: digamos que queremos racionalizar 1/a, onde a é algébrico. Encontramos um polinômio de coeficientes inteiros p(x) que admite a como raiz e fazemos: p(a) = 0 = p(a) - p(0) = p(0) = [p(a) - p(0)]/[ap(0)] = 1/a Como p(0) é o coeficiente independente de p(x), p(x)-p(0) é divisível por x, e obtemos um polinômio de coeficientes inteiros. Exemplificando: se a = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5), temos que a^2 = 9 + 2(sqrt(6) + sqrt(10) + sqrt(15)). Elevando mais uma vez ao quadrado (tenha fé!), temos (a^2-9)^2 = 4(31 + 2(sqrt(60)+sqrt(90)+sqrt(150))) = 124 + 2sqrt(30)(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)) = 124 + 2sqrt(30)*a Logo a^4 - 18a^2 + 81 = 124 + 2sqrt(30)a = a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a A gente poderia elevar ao quadrado mais uma vez, mas não vai ser necessário. Veja: a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a = a^3 - 18a - 2sqrt(30) = 43/a = [a^3 - 18a - 2sqrt(30)]/43 = 1/a. Pronto, está racionalizado (vc pode substituir a no numerador, mas estou contente assim). OK, deu mais trabalho que a outra solução, mas agora vc pode racionalizar frações mais complicadas, como (18^(1/3) + 12^(1/3) - 1)^(-1), por exemplo (ou até mesmo coisas mais estranhas como 1/cos(pi/9)!!). Tente! []'s Shine --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Obrigado , amigo Davidson . Abraço. Rick -- Mensagem original -- Parece que houve problemas, com o arquivo em anexo que enviei. Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o numerador e o denominador por: 3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que resultarar em: (3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12. Felicidades. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34 Assunto: [obm-l] Re: Racionalização Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você. Veja como fiz: Felicidades! Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29 Assunto: [obm-l] Racionalização Estava resolvendo algumas questões do selecionados, e me deparei com algumas dúvidas de teoria. *Como faço para racionalizar denominadores com mais de 3 raízes ? Exemplo simples : 1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)] *Como faço para racionalizar denominadores com mais de uma raiz , do tipo : 1/[raiz4(2) + 1 ] Será que a relação 1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p - 1) é válida ? *A relação do radical duplo , serve para raízes que não sejam quadradas ? Ex: raiz 5 [2 + raiz 3(3)] Obrigado. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = __ Do You Yahoo!? Sign up for SBC Yahoo! Dial - First Month Free http://sbc.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = __ Do You Yahoo!?
RES: [obm-l] trigonometria
cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x))) Esta equação não tem raízes reais. De fato, vamos mostrar que f(x)=sin(sin(sin(sinx))) cos(cos(cos(cosx)))=g(x) para qualquer x real, ok? Deu um trabalhão para eu achar esta resposta, por favor confirmem-na. ---///--- LEMA 1: |sina+cosa| = sqrt(2) para qualquer a. PROVA: De fato, sina+cosa = sqrt(2).sin(a+pi/4). LEMA 2: Se a,b estão em [0,Pi/2], então sinb cosa equivale a a+b pi/2 PROVA: De fato, sinb cosa = sin(pi/2-a) sse b pi/2-a, já que seno é crescente no intervalo [0,Pi/2]. ---///--- Vamos começar com x em [0,Pi/2]. Temos: PELO LEMA 1: 0 = sinx+cosx = sqrt(2) pi/2 PELO LEMA 2: (Tome b=sinx, a=cosx) 0 sin(sin(x)) cos(cos(x)) 1 pi/2 MAS SENO É CRESCENTE EM [0,pi/2]: 0 sin(sin(sin(x))) sin(cos(cos(x))) 1 USANDO ISSO E LEMA 1 (com a = cos(cos(x))) sin(sin(sin(x)))+cos(cos(cos(x))) sin(cos(cos(x)))+cos(cos(cos(x))) sqrt(2) pi/2 PELO LEMA 2: Tome b=sin(sin(sinx)) e a=cos(cos(cosx)) sin(sin(sin(sin(x)))cos(cos(cos(cos(x)) Essa era a parte difícil. O resto é mais tranquilo... ---///--- Agora, note que cos(cos(Pi-x))=cos(-cos(x))=cos(x) e sin(Pi-x)=sin(x). Portanto, f(x)=f(Pi-x) e g(x)=g(Pi-x). Assim, se x estiver em [Pi/2,Pi], então Pi-x está em [0,Pi/2], e portanto: f(x) = f(Pi-x) g(Pi-x) = g(x) Para x em [-Pi,0], não é difícil ver que: f(x) = 0 g(x) Enfim, ambas as funções são periódicas de período 2Pi; como f(x)g(x) em [-Pi,Pi], provamos que f(x)g(x) para todo x real. Enfim, a equação acima não tem raiz real. Que tal? Algum erro? Se tudo estiver correto, creio que mostramos que sinsinsinsin...sinx coscoscoscos...cosx quando ambos os lados tenham o mesmo número **par** de aplicações da função trigonométrica. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
