Re: [obm-l] CRUEL
At 19:03 15/08/02 -0300, you wrote: From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] desculpe, acho que não fui claro. No meu último email, eu quis dizer que concordo com vc, e que sua observação está certa. OU seja: polígono convexo + nenhum par de diagonais paralelo não implica não existem dois quadriláteros distintos com vértices contidos no conjunto de vértices do polígono cujos pontos de interseção das diagonais coincidem, e até dei o exemplo do octógono regular (que está errado, só vi agora...pois tem diagonais paralelas...dã) mas a sua figura está ok. Por isso é preciso colocar mais uma hipótese: os pontos de encontros das diagonais de quadriláteros diferentes não coincidem. Sem esta hipótese, a resposta nao depende só de n, mas tb do formato do poligono. Será que eu entendi o que vc pensou direito? Bruno Agora eu entendi o que você quis dizer, e vice-versa. E o caso onde o polígono é regular, não era essa a intenção da pergunta inicial? Como contar as repetições? A pergunta inicial era só convexo! Bom, sobre essa nova pergunta sua, eu nao sei, vou pensar amanhã (agora são 3h...) Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite Eduardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
Deve ser a elevado a fi de m é congruo a 1, modulo m, se a e m sao relativamente primos fi de m é a funçao tociente de Euler que da o numero de elementos de 1, 2, ..., m que sao relativamente primos com n. Jose Augusto wrote: Qual teorema seria esse? obrigaod. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado errata..
Leia-se m onde esta n. Augusto César Morgado wrote: Deve ser a elevado a fi de m é congruo a 1, modulo m, se a e m sao relativamente primos fi de m é a funçao tociente de Euler que da o numero de elementos de 1, 2, ..., m que sao relativamente primos com n. Jose Augusto wrote: Qual teorema seria esse? obrigaod. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ime....(consertando um errinho)
From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ime Date: Fri, 16 Aug 2002 01:38:20 + From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ime Date: Thu, 15 Aug 2002 19:55:03 EDT Mais do ime... 1)determine o termo máximo do desenvolvimentoda expressão (1+(1/3))^65. 2)Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos P do plano, de tal modo que a razão entre as distâncias de P a A e de P a B seja dada por uma constante k. Justifique sua resposta analíticamente, discutindo todas as possibilidades para k. Quem tiver resoluções , eu agradeço de antemão. Korshinói Para determinar o termo maximo da sua expressao vc tera que analizar obviamente ate onde a sua expressao cresce e depois começa a decrescer ou seja,vc simplesmente fará T(p+1)-T(p) ser menor ou igual a 0.Para isso utilize a formula de expansao multinomal e entao vc obtera o termo maximo de sua expressao. Para resolver o problema de lugar geometrico suponha coordenadas para A e B ,que sao fixos, assim como para P,que varia,utilize as formulas de distancia entre dois pontos e desenvolva a sua equaçao,vc notara que no final sera obtido uma equaçao que varia de acordo com as coordenadas de P e entao lhe cabera apenas fazer um estudo de uma equaçao do 2 grau a duas variaveis que podera representar uma curva eliptica,parabolica ou hiperbolica. ...eu disse T(p+1)-T(p) menor ou igual a 0 quando na verdade é T(p+1)-T(p) maior ou igual a 0,valeu?! Um abraço,Leonardo _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo)
Digamos que eu tenha um triangulo ABC cujos vertices B,C estao variando nos eixos X,Y respectivamente,sendo A fixo.É dito que conforme sao variados B e C a area do triangulo ABC se mantem constante.Eu poderia dizer que o triangulos formado pelos pontos medios dos lados do triangulo ABC mantem sua area constante tambem?E em caso afirmativo,por quê? ???Leonardo??? _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] mais que CRUEL
Ola Alexandre e demais
colegas desta lista ... OBM-L
Talvez nao seja exagero dizer que o problema a que se refere a mensagem do
Alexandre, abaixo, é mais que que CRUEL ...
Um dos discipulos de EULER propos ao seu mestre o seguinte problema :
Num poligono convexo de N lados, no qual duas diagonais quaisquer não sao
paralelas, quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccoes
de diagonais se, nesta regiao exterior e tambem no interior do poligono,
nenhum ponto e intersecao de mais de duas diagonais ?
EULER nao resolveu a questao, nao obstante ter lutado durante cerca de tres
meses com ela. O discipulo resolveu, alguns meses apos, mas morreu muito
jovem e nao se tornou o Grande Matematico que todos esperavam.
Eu nao li esta historia. A pessoa que me propos a questao contou. Independe
de tudo isso, a existencia da historia e o fato do problema ser antigo sao
indicativos de sua complexidade.
A ideia que tive e muito parecida com a do Tessarolo, na mensagem abaixo.
Existem D=(N(N-3))/2 diagonais. Duas diagonais quaisquer representam um
ponto, que e a interseccao entre elas. Claramente que em um vertice mais que
uma combinacao esta representando o mesmo ponto ...
As intersecoes podem ser :
1) Um vertice ( total S1)
2) Num ponto no interior do poligono (total S2)
3) Num ponto no exterior do poligono (total S2)
Claramente que :
S1+S2+S3 = total de interseccoes !
Num vertice concorrem N-3 diagonais, isto fornece BINOM(N-3,2). Ha, porem, N
vertices. Segue que :
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2)
O numero BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2) e a soma dos pontos de interseccoes no
interior e no exterior do poligono.
Aqui, agora, entra a ideia do Tessarolo :
Uma diagonal e uma cisao nos vertices. Se { V1, V2, ..., Vn} sao os vertices
do poligono, a diagonal {V1,V5} cinde os vertices em dois subconjuntos :
{V2,V3,V4} e {V6,V7,...,Vn}. Escolhendo um ponto qualquer no primeiro
conjunto e um ponto qualquer no segundo, teremos uma interseccao com a
diagonal {V1,V3}. O total de escolhas possiveis e uma mera aplicacao do
principio multiplicativo da analise combinatoria e entao passa-se ao
somatorio.
Se o poligono tem N lados, basta se computar as diagonais que tem ate [N/2]
lados do poligono, onde [N/2] e o maior inteiro que nao supera [N/2].
Exemplo: Poligono convexo de 9 lados
Vertices : {V1,V2,...,V9}
Diagonais : {V1,V3},{V2,V4},{V3,V5}, ..., {V9,V2}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 2 lados do poligono
Diagonais : {V1,V4},{V2,V5},{V3,V6},...,{V9,V3}
Estas diagonsi tem, ao seu lado, 3 lados do poligono
Diagonais : {V1,V5},{V2,V6},{V3,V7},...,{V9,V4}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 4 lados do poligono
como 4=[9/2]. Paramos aqui !
A diagonal {V1,V6} ja foi computada.
O calculo das somas acima e facil. O somatorio fornecera S2. Dai, usando
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2), calculamos S3. E o tio Euler descansa
em paz !
Todavia, tudo isso e burocracia e malabarismo. A ideia brilhante e genial
cabe ao Tessarolo, com sua visao de cindir os vertices em dois conjuntos. E
sem saber ele resolveu um problema que venceu o Tio Euler...
Claramente que fizemos as restricoes necessarias. Uma abordagem da
existencia de diagonais paralelas talvez fique melhor no ambiente da
Geometri Analitica, mais que no da sintetica.
Seja da um poligono convexo de N lados, com vertices
(X1,Y1),(X2,Y2),...(Xn,Yn). Que condicao(oes) devem satisfazer estes pontos
para que existam ao menos duas diagonais paralelas ? É possivel caracterizar
todos os feixes de paralelas que podem existir ?
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,1028,160802
From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: CRUEL
Date: Fri, 16 Aug 2002 02:56:26 -0300
Estive fazendo umas contas e creio que posso ter chegado a uma resposta
parcial. Por uma questão de praticidade, numerei os vértices de A[0] até
A[n-1], no sentido anti-horário.
Tome o vértice A[0] e vá ligando com os outros vértices (A[1]; A[2];
...; A[n-1]). Note que cada diagonal A[0]A[i] divide o plano em dois
semi-planos. Se o polígono é convexo, podemos determinar exatamente quantos
vértices ficam em cada semi-plano.
Para quem está com a figura, é fácil ver que, dada a diagonal A[0]A[i],
todos os pontos A[j] com 0ji estão em um semi-plano e todos os pontos com
ijn estão em outro semi-plano. Qualquer diagonal com vértices em
semi-planos distintos terá uma intersecção com a diagonal A[0]A[i].
Logo, cada diagonal possui SUM[i=1, n-1]{(i-1)(n-1-i)/2}
Leia-se somatório de (i-1)(n-1-i)/2 quando i varia de 1 até n-1
Como são n diagonais, bastaria calcular n*SUM. Contudo, cada
intersecção está sendo contada duas vezes (uma para cada diagonal que a
produz). Assim, o resultado seria n*Sum/2.
Devo confessar que não terminei as contas do somatório pq estou meio
cansado, mas creio que esse seja o número de intersecções pedido. Aguardo
comentários...
PROBLEMA:
Re: [obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo)
O triangulo dos pontos medios eh semelhante ao original na razao 1/2. Logo, sua area eh (1/2)^2= 1/4 da area do original. leonardo mattos wrote: Digamos que eu tenha um triangulo ABC cujos vertices B,C estao variando nos eixos X,Y respectivamente,sendo A fixo.É dito que conforme sao variados B e C a area do triangulo ABC se mantem constante.Eu poderia dizer que o triangulos formado pelos pontos medios dos lados do triangulo ABC mantem sua area constante tambem?E em caso afirmativo,por quê? ???Leonardo??? _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re:Re: [obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo)
Na realidade oq eu quero saber é se eu poderia afirmar que variando as coordenadas de dos vertices B e C mantendo fixo A a area do triangulo formado pelos pontos medios dos lados de ABC manteria-se constante sabendo q a area de ABC de mantem constante. From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo) Date: Fri, 16 Aug 2002 10:32:47 -0300 O triangulo dos pontos medios eh semelhante ao original na razao 1/2. Logo, sua area eh (1/2)^2= 1/4 da area do original. leonardo mattos wrote: Digamos que eu tenha um triangulo ABC cujos vertices B,C estao variando nos eixos X,Y respectivamente,sendo A fixo.É dito que conforme sao variados B e C a area do triangulo ABC se mantem constante.Eu poderia dizer que o triangulos formado pelos pontos medios dos lados do triangulo ABC mantem sua area constante tambem?E em caso afirmativo,por quê? ???Leonardo??? _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
--- Jose Augusto <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Qual teorema seria esse? > obrigaod. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
Re: [obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo)
Se a area de ABC eh constante, 1/4 dessa area eh constante. Portanto, a resposta eh sim. leonardo mattos wrote: Na realidade oq eu quero saber é se eu poderia afirmar que variando as coordenadas de dos vertices B e C mantendo fixo A a area do triangulo formado pelos pontos medios dos lados de ABC manteria-se constante sabendo q a area de ABC de mantem constante. From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida de Geometria(Triangulo) Date: Fri, 16 Aug 2002 10:32:47 -0300 O triangulo dos pontos medios eh semelhante ao original na razao 1/2. Logo, sua area eh (1/2)^2= 1/4 da area do original. leonardo mattos wrote: Digamos que eu tenha um triangulo ABC cujos vertices B,C estao variando nos eixos X,Y respectivamente,sendo A fixo.É dito que conforme sao variados B e C a area do triangulo ABC se mantem constante.Eu poderia dizer que o triangulos formado pelos pontos medios dos lados do triangulo ABC mantem sua area constante tambem?E em caso afirmativo,por quê? ???Leonardo??? _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: mais que CRUEL
Date: Fri, 16 Aug 2002 13:28:59 +
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] mais que CRUEL
Ola Alexandre e demais
colegas desta lista ... OBM-L
Talvez nao seja exagero dizer que o problema a que se refere a mensagem do
Alexandre, abaixo, é mais que que CRUEL ...
Um dos discipulos de EULER propos ao seu mestre o seguinte problema :
Num poligono convexo de N lados, no qual duas diagonais quaisquer não sao
paralelas, quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccoes
de diagonais se, nesta regiao exterior e tambem no interior do poligono,
nenhum ponto e intersecao de mais de duas diagonais ?
EULER nao resolveu a questao, nao obstante ter lutado durante cerca de tres
meses com ela. O discipulo resolveu, alguns meses apos, mas morreu muito
jovem e nao se tornou o Grande Matematico que todos esperavam.
Eu nao li esta historia. A pessoa que me propos a questao contou. Independe
de tudo isso, a existencia da historia e o fato do problema ser antigo sao
indicativos de sua complexidade.
A ideia que tive e muito parecida com a do Tessarolo, na mensagem abaixo.
Existem D=(N(N-3))/2 diagonais. Duas diagonais quaisquer representam um
ponto, que e a interseccao entre elas. Claramente que em um vertice mais que
uma combinacao esta representando o mesmo ponto ...
As intersecoes podem ser :
1) Um vertice ( total S1)
2) Num ponto no interior do poligono (total S2)
3) Num ponto no exterior do poligono (total S2)
Claramente que :
S1+S2+S3 = total de interseccoes !
Num vertice concorrem N-3 diagonais, isto fornece BINOM(N-3,2). Ha, porem, N
vertices. Segue que :
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2)
O numero BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2) e a soma dos pontos de interseccoes no
interior e no exterior do poligono.
Aqui, agora, entra a ideia do Tessarolo :
Uma diagonal e uma cisao nos vertices. Se { V1, V2, ..., Vn} sao os vertices
do poligono, a diagonal {V1,V5} cinde os vertices em dois subconjuntos :
{V2,V3,V4} e {V6,V7,...,Vn}. Escolhendo um ponto qualquer no primeiro
conjunto e um ponto qualquer no segundo, teremos uma interseccao com a
diagonal {V1,V3}. O total de escolhas possiveis e uma mera aplicacao do
principio multiplicativo da analise combinatoria e entao passa-se ao
somatorio.
Se o poligono tem N lados, basta se computar as diagonais que tem ate [N/2]
lados do poligono, onde [N/2] e o maior inteiro que nao supera [N/2].
Exemplo: Poligono convexo de 9 lados
Vertices : {V1,V2,...,V9}
Diagonais : {V1,V3},{V2,V4},{V3,V5}, ..., {V9,V2}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 2 lados do poligono
Diagonais : {V1,V4},{V2,V5},{V3,V6},...,{V9,V3}
Estas diagonsi tem, ao seu lado, 3 lados do poligono
Diagonais : {V1,V5},{V2,V6},{V3,V7},...,{V9,V4}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 4 lados do poligono
como 4=[9/2]. Paramos aqui !
A diagonal {V1,V6} ja foi computada.
O calculo das somas acima e facil. O somatorio fornecera S2. Dai, usando
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2), calculamos S3. E o tio Euler descansa
em paz !
Todavia, tudo isso e burocracia e malabarismo. A ideia brilhante e genial
cabe ao Tessarolo, com sua visao de cindir os vertices em dois conjuntos. E
sem saber ele resolveu um problema que venceu o Tio Euler...
Claramente que fizemos as restricoes necessarias. Uma abordagem da
existencia de diagonais paralelas talvez fique melhor no ambiente da
Geometri Analitica, mais que no da sintetica.
Seja da um poligono convexo de N lados, com vertices
(X1,Y1),(X2,Y2),...(Xn,Yn). Que condicao(oes) devem satisfazer estes pontos
para que existam ao menos duas diagonais paralelas ? É possivel caracterizar
todos os feixes de paralelas que podem existir ?
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,1028,160802
Muito obrigado pelos elogios. Realmente são de levantar a moral de qualquer um :-))
Mas vamos ao que interessa: Por um certo apreço a pouca sanidade que me resta,
ative-me aos polígonos regulares. Acreditei que suas particularidades deveriam nos
ajudar um pouco.
Como disse o Paulo, existem 3 tipos de intersecções. Vou acrescentar um quarto
tipo, entre diagonais paralelas. (Só p/facilitar as contas. Contudo, se vc
acrscentar completar o plano euclidiano com a linha no infinito... :-)))
1) Um vertice ( total S1)
Dada uma diagonal qualquer do polígono, ela intersecta outras 2(n-4) diagonais em
um dos seus 2 vértices. Tomemos a diagonal V1V5. O total de diagonais que possuem V1
OU V5 com vértice (afora a própria V1V5, claro) é sempre (n-4)+(n-4).
Logo, S1=2(n-4)
2) Num ponto no interior do poligono (total S2)
Bem, se o que falei naquele e-mail anterior estiver certo, então S2=somatório
3) Num ponto no exterior do poligono (total S3)
Hum Vamos calcular S4 primeiro.
4) Diagonais paralelas (total S4)
Tomemos a diagonal V1V4 num octógono regular. Basta uma figura minimamente razoável
para vermos que as
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
--- Jose Augusto escreveu: Qual teorema seria esse? obrigaod. = Seja phi de n o numero de naturais primos com n nao maiores que n.Prove que se a e n sao primos entre si,A ^^PHI DE N DEIXA RESTO 1 MODULO N ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Equipe Brasileira-XVII Ibero.
Caros(as) Amigos(as) da lista: A equipe brasileira que participara' da XVII Olimpiada Iberoamericana de Matematica a ser realizada entre os dias 30 de setembro a 5 de outubro na cidade de San Salvador, El Salvador e' a seguinte: Lider da Delegacao: Prof. Eduardo Wagner (Rio de Janeiro - RJ) Vice-lider da delegacao: Prof. Onofre Farias (Fortaleza - CE) BRA1: Guilherme Fujiwara (Sao Paulo - SP) BRA2: Humberto Silva Naves (S. J. dos Campos - SP) BRA3: Larissa Cavalcante Queiroz de Lima (Fortaleza - CE) BRA4: Yuri Gomes Lima (Fortaleza - CE) Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] construção geom.
Sauda,c~oes, Considere a figura abaixo: rA D -\---|-- \ \M_b \--- \ t \ s B \CE ---|\---|--- Suponha B,D,E,M_b,r,s dados. Como construir a reta t passando por M_b tal que AC=CE ? Resolvemos assim o seguinte problema: construir triângulo ABC dados a+b,h_a,m_b. E os problemas a-b,h_a,m_b; b-a,h_a,m_b. Soluções semelhantes? []'s Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Trigonomagia...(o retorno)
Sera que alguem poderia conferir essa questao pra mim?! tg2x=2/3 calcular y=cos2x + 3sen2x + 8senxcosx Eu encontrei a seguinte resposta(17 raiz de 13 sobre 13),mas o gabarito da outra.Sera que alguem poderia conferir pra mim? Um abraço,Leonardo _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Trigonomagia...(o retorno)
From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Sera que alguem poderia conferir essa questao pra mim?! tg2x=2/3 calcular y=cos2x + 3sen2x + 8senxcosx Eu encontrei a seguinte resposta(17 raiz de 13 sobre 13),mas o gabarito da outra.Sera que alguem poderia conferir pra mim? Um abraço,Leonardo Chame z=2x. Pelas fórmulas trigonométricas 2*sen(x)*cos(x)=sen(2x), daí tg(z) = 2/3, donde sai que sen(z) = (2/13)*raiz(13) cos(z) = (3/13)*raiz(13). A expressão pedida vale y=cos(z) + 3sen(z) + 4sen(z)=cos(z) + 7sen(z)=(17/13)*raiz(13). Eu marcaria a resposta (17/13)*raiz(13)... Eduardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
