[obm-l] Lista de Choro
Caros(as) amigos(as) da lista: Os seguintes alunos que se inscreveram na lista de choro serao contactados pela Secretaria da OBM. Nivel 3: Joao Marcos da Cunha Silva Larissa Rodrigues Ribeiro Anderson Torres Diogo dos Santos Suyama Telmo Luis Correa Junior Francisco Bruno de Lima Holanda Marina Lima Medeiros Nivel U: Marcio Miranda de Carvalho Nivel 2: Pedro Thiago Ezequiel de Andrade Gustavo Fujiwara A partir deste momento encerramos a lista de choro. Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME-95
On Tue, Dec 24, 2002 at 06:58:13PM -0200, felipe mendona wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Outras pessoas já mandaram soluções mas acho que elas eram incompletas de modo que quero comentar mesmo assim. Uma possível posição para as 6 esferas é que seus centros ocupem os vértices de um octaedro regular: (+-c,0,0), (0,+-c,0), (0,0,+-c). Verificamos facilmente que a distância entre dois centros é 2R = c sqrt(2) donde c = sqrt(2) R. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. Em todo caso há pelo menos três respostas coerentes com o enunciado: (2+2 sqrt(2))R, 2 sqrt(2) R, (-2+2 sqrt(2))R. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Teorema de Silvester
Santa Rita, Não nos mate de curiosidade. Qual a demonstração de Conway? E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser necessariamente breve - também a de Kelly. JF PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N (N2) pontos... JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do destacado certamente seria considerada off topic pelo N) - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso ! Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a (...) Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:
Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
Prove que P(n)-n é sempre par.
um esboço, gostaria de receber comentários:
seja T(i) o número de subconjuntos de {1, 2, ... i}, contendo i e com média
inteira.
seja A(i) a seguinte proposição:
A(i) : P(i) - i é par e T(i+1) é ímpar
P(1) = 1
P(1) - 1 = 0, que é par
T(2) = 1, que é ímpar, logo A(1) vale.
suponha que A(i) é válido para todo 1 = i k
não é muito difícil perceber que P(i+1) = P(i) + T(i+1), pois todo
subconjunto de {1, 2, ... i} é subconjunto de {1, 2, ... i, i + 1} e a média
permanece inalterada.
Os subconjuntos do segundo que não são subconjuntos do primeiro devem
necessariamente conter i+1 e por tanto são contados por T(i+1).
P(i+1) - (i+1) = P(i) - i + T(i+1) - 1
P(i) - i é par (hip. da indução)
o que implica P(i+1) - (i+1) par se provarmos que T(i+1) é ímpar.
Existe uma relação entre T(i) e T(i+1), podemos vê-la da seguinte maneira:
um subconjunto de {1, 2, ... i} contendo i pode nos ajudar a formar um
subconjunto de {1, 2, ... , i, i + 1} contendo i + 1.
A idéia é simples, subtraindo 1 de um dos elementos e somando-o a i. O
cuidado que deve-se tomar é que para não subtrair de um elemento de forma a
repetir um elemento, por exemplo { 1, 3, 5 } - { 1, 3 - 1, 5 + 1 }, mas {1,
2, 3} não pode ser levado em outro conjunto de 3 elementos contendo 4!
Acho q a demonstração pode sair mostrando um mapeamento que saia dos
subconjuntos de T(i) e leve-os aos subconjuntos de T(i+1) esse mapa pode ser
parcial, considerando apenas uma espécie simples de trabalhar e deixando
apenas alguns casos patológicos de fora...
Assumindo a conjectura acima (não deve ser difícil provar, mas estou sem
muito tempo...) pelo princípio da indução, vale para todo n = 1, P(n) - n é
par.
[ ]'s
=
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Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega a uma contradição: Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P , QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R pertencentes a C). Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a uma mesma reta. Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada. Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes pontos estarão de um mesmo lado de P1. Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1 (Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q em relação a P1. Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha inicial do par ( P , QR ). Curiosidade: Existe também o resultado dual: Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam por um mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão exatamente duas retas. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM Subject: [obm-l] Teorema de Silvester Santa Rita, Não nos mate de curiosidade. Qual a demonstração de Conway? E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser necessariamente breve - também a de Kelly. JF PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N (N2) pontos... JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do destacado certamente seria considerada off topic pelo N) - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso ! Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a (...) Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] caos geometrico!!!
Essa questao foi proposta por um professor meu,para uma olimpiada regional.O enunciado dela nao foi bem formulado , so que o que ela aborda e de grande originalidade.De alguma maneira eu interpretei o enunciado , e a resolvi.Segue abaixo: N retangulos intersectados entre si,formam S regioes nao divididas,determine a menor probabilidade de que dadas Z regioes nao divididas dentre as S,sejam escolhidas em um evento. MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais atento. A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao semelhante. E necessario corrigir apenas : 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2, pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio. 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q. 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode haver mais de um ! A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas homogeneas. A generalizacao do Conway e a seguinte : Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em precisamente um dos Ai. Entao M = N. Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0145,271202 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200 Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega a uma contradição: Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P , QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R pertencentes a C). Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a uma mesma reta. Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada. Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes pontos estarão de um mesmo lado de P1. Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1 (Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q em relação a P1. Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Curiosidade: Existe também o resultado dual: Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam por um mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão exatamente duas retas. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM Subject: [obm-l] Teorema de Silvester Santa Rita, Não nos mate de curiosidade. Qual a demonstração de Conway? E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser necessariamente breve - também a de Kelly. JF PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N (N2) pontos... JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do destacado certamente seria considerada off topic pelo N) - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso ! Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a (...) Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
