Re: [obm-l] IME-95
On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma das soluções publicadas considerou esta questão. Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única. Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes, E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio, conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. Acho que você tem razão... Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). Os oito cubos são ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R ...mas aqui há um erro besta, são 10 e não 8... Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito que não. ... e nesta outra parte eu me enganei na suspeita. Existem outros cubos sim. Uma forma de construir um tal cubo é tomar planos da forma x+y+z = const. para serem um par de faces paralelas... preciso pensar um pouco mais para decidir quantos e quais cubos serve. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Troca de e-mail
Tudo certo, pessoal? Só estou avisando que troquei de e-mail (sabe como é, para quem quiser madar alguma mensagem particular). Aproveito para ressaltar queminha dúvida sobre a posição dos cubos (e do Nicolau também) já foi respondida, de forma então acho que ficaremos com aquelas três soluções mesmo. Abraços, Helder.Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso. Fischer - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais atento. A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao semelhante. E necessario corrigir apenas : 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2, pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio. 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q. 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode haver mais de um ! A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas homogeneas. A generalizacao do Conway e a seguinte : Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em precisamente um dos Ai. Entao M = N. Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0145,271202 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200 Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega a uma contradição: Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P , QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R pertencentes a C). Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a uma mesma reta. Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada. Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes pontos estarão de um mesmo lado de P1. Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1 (Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q em relação a P1. Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais colegas desta lista ... OBM-L, Curiosidade: Existe também o resultado dual: Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam por um mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão exatamente duas retas. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM Subject: [obm-l] Teorema de Silvester Santa Rita, Não nos mate de curiosidade. Qual a demonstração de Conway? E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser necessariamente breve - também a de Kelly. JF PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N (N2) pontos... JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est ória do destacado certamente seria considerada off topic pelo N) - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso ! Ola Pessoal, Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a (...) Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER : Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam em uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles. OU SEJA : Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que que toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro. A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar n'O LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha beleza ! Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer algo melhor. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1651,251202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !
Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
...
A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
Se a pertence a X, seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que a pertence a Ai. Claramente 2 = Ra m ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202
From: Eduardo Fischer [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
mais
atento.
A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :
1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q.
3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !
A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.
A generalizacao do Conway e a seguinte :
Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M = N.
Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem
mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
chega
a uma contradição:
Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os
pares
(
P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
pertencentes a C).
Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de C pertencem a
uma
mesma reta.
Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a
menor
possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
terceiro ponto do conjunto C na reta QR então pelo menos dois destes
pontos estarão de um mesmo lado de P1.
Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo
de P1
(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado
que Q
em relação a P1.
Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será
menor
do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a
escolha
inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Curiosidade: Existe também o resultado dual:
Se dispusermos de N (N2) retas em um plano tais que nem todas passam
por
um
mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
exatamente duas retas.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
Santa Rita,
Não nos mate de curiosidade.
Qual a demonstração de Conway?
E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.
JF
PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde
está
Se dispormos N ( N 2 ) pontos... deveria estar Se dispusermos N
(N2)
pontos...
JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
ória do
destacado certamente seria considerada off topic pelo N)
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
Ola Pessoal,
Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei
a
(...)
Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
Se dispormos N ( N 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao
estejam
em
uma mesma reta, entao havera uma reta que
Re: [obm-l] Re:
Caro Domingos Jr.:
Tentei trabalhar com a sua idéia dos subconjuntos de {1,2,...,n} contendo n,
mas não consegui estabelecer uma relação de recorrência usável entre T(n) e
T(n+1).
Dado um subconjunto X de {1,2,..,n} com k elementos e com soma S (portanto,
média = S/k), minha idéia foi passar de X para X U {n+1}, com soma S + n + 1
( e média (S+n+1)/(k+1) ) e ver quais destes novos subconjuntos têm média
inteira. O problema é que X U {n+1} pode ter média inteira sem que X o
tenha. Resultado: eu caí numa série de equações de congruência mod k e mod
k+1 e a álgebra ficou medonha
No entanto, um ataque direto (sobre o valor de P(n)) funcionou e, de quebra,
ainda produziu uma fórmula fechada para P(n), a partir da qual ficou fácil
provar que P(n) - n é sempre par.
P(n) = no. de subconjuntos de {1,2,..,n} com média inteira.
Seja X um subconjunto de {1,2,...,n} com k elementos.
Se X tem média inteira, então a soma S dos elementos de X é divisível por k.
Valor mínimo de S = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2
Valor máximo de S = (n-k+1) + (n-k+2) + ... + n = k(n-k) + k(k+1)/2
Assim, temos que: k(k+1)/2 = S = k(n-k) + k(k+1)/2, ou seja,
(k+1)/2 = S/k = n - k + (k+1)/2
Consideremos dois casos - k par e k ímpar:
CASO 1: k par == k = 2p com p inteiro positivo:
(2p+1)/2 = p + 1/2 = S/k = n - 2p + (2p+1)/2 = n - p + 1/2
S/k é inteiro == S/k pertence a {p+1, p+2, ..., n-p}, ou seja,
S/k pode assumir n - 2p = n - k valores distintos.
CASO 2: k ímpar == k = 2p - 1 com p inteiro positivo:
((2p-1)+1)/2 = p = S/k = n - (2p-1) + ((2p-1)+1)/2 = n - p + 1
S/k é inteiro == S/k pertence a {p, p+1, ..., n-p+1}
S/k pode assumir n - 2p + 2 = n - k + 1 valores distintos.
Assim:
P(n) = SOMATÓRIO ( no. de subconjuntos com k elementos e média inteira )
1 = k = n
P(n) = SOMATÓRIO (n - k) + SOMATÓRIO (n - k + 1)
1 = k = n1 = k = n
k par k ímpar
P(n) = SOMATÓRIO (n - k) + SOMATÓRIO ( 1 )
1 = k = n1 = k = n
k ímpar
P(n) = n^2 - n(n+1)/2 + [ (n+1)/2 ]
**
*P(n) = n(n-1)/2 + [ (n+1)/2 ] *
**
onde [x] = maior inteiro menor ou igual a x.
Agora, voltamos ao problema original. De posse da fórmula para P(n),
obtemos:
P(n) - n = n(n-3)/2 + [ (n+1)/2 ]
n é par == n = 2m com m inteiro positivo ==
P(n) - n = m(2m-3) + m = 2m^2 - 3m + m = 2m(m-1) = Par
n é ímpar == n = 2m-1 com m inteiro positivo ==
P(n) - n = (2m-1)(m-2) + m = 2m^2 - 3m + 2 + m = 2(m^2 - m + 1) =
Par
Um abraço,
Claudio Buffara.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, December 26, 2002 9:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
Prove que P(n)-n é sempre par.
um esboço, gostaria de receber comentários:
seja T(i) o número de subconjuntos de {1, 2, ... i}, contendo i e com média
inteira.
seja A(i) a seguinte proposição:
A(i) : P(i) - i é par e T(i+1) é ímpar
P(1) = 1
P(1) - 1 = 0, que é par
T(2) = 1, que é ímpar, logo A(1) vale.
suponha que A(i) é válido para todo 1 = i k
não é muito difícil perceber que P(i+1) = P(i) + T(i+1), pois todo
subconjunto de {1, 2, ... i} é subconjunto de {1, 2, ... i, i + 1} e a média
permanece inalterada.
Os subconjuntos do segundo que não são subconjuntos do primeiro devem
necessariamente conter i+1 e por tanto são contados por T(i+1).
P(i+1) - (i+1) = P(i) - i + T(i+1) - 1
P(i) - i é par (hip. da indução)
o que implica P(i+1) - (i+1) par se provarmos que T(i+1) é ímpar.
Existe uma relação entre T(i) e T(i+1), podemos vê-la da seguinte maneira:
um subconjunto de {1, 2, ... i} contendo i pode nos ajudar a formar um
subconjunto de {1, 2, ... , i, i + 1} contendo i + 1.
A idéia é simples, subtraindo 1 de um dos elementos e somando-o a i. O
cuidado que deve-se tomar é que para não subtrair de um elemento de forma a
repetir um elemento, por exemplo { 1, 3, 5 } - { 1, 3 - 1, 5 + 1 }, mas {1,
2, 3} não pode ser levado em outro conjunto de 3 elementos contendo 4!
Acho q a demonstração pode sair mostrando um mapeamento que saia dos
subconjuntos de T(i) e leve-os aos subconjuntos de T(i+1) esse mapa pode ser
parcial, considerando apenas uma espécie simples de trabalhar e deixando
apenas alguns casos patológicos de fora...
Assumindo a conjectura acima (não deve ser difícil provar, mas estou sem
muito tempo...) pelo princípio da indução, vale para todo n = 1, P(n) - n é
par.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
