[obm-l] Re: [obm-l] O que é o princípio da indução finita?
O princípio da indução finita é um dos axiomas de Peano, os quais definem o conjunto dos números naturais. Ele diz o seguinte: Seja N o conjunto dos números naturais (inteiros positivos) Seja X um subconjunto de N com as seguintes propriedades: a) 1 pertence a X, e b) se n pertence a X então n+1 pertence a X Neste caso, X = N. Existe uma formulação que talvez seja mais apropriada para a resolução de problemas: Seja P(x) uma proposição relativa ao número natural x. a) Se P(1) for verdadeira, e b) Se supondo P(n) verdadeira, pudermos provar que P(n+1) é verdadeira Então, P(n) será verdadeira para cada número natural n. O exemplo mais manjado é o seguinte: Prove que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2, para todo natural n. Caso Base: n =1 == 1= 1*(1+1)/2 == a fórmula vale para n = 1 Hipótese de Indução: A fórmula vale para o natural n, ou seja: 1 + 2+ ... + n = n(n+1)/2 O caso n+1: Somando (n+1) aos dois membros da fórmula para n, teremos: 1 + 2 + ... + n+ (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 Ou seja, dado que a fórmula vale para n, foi possível provar que ela vale para n+1. Pelo princípio da indução finita, a fórmula vale para todo natural n. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 31, 2002 3:56 AM Subject: [obm-l] O que é o princípio da indução finita? Alguém poderia me explicar o que é o princípio da indução finita, pois estava vendo a prova do ITA e em vários anos sempre caia uma questão ou outra que exigia o conhecimento deste tópico. Se alguém tiver algumas questões no computador e pudesse copiar e colar no corpo do e-mail para eu entender bem o conceito eu ficaria agradecido.
[obm-l] OBM
Pessoal, vcs podem me informar se uma pessoa com curso superior pode participar de olimpíadas de matemática como a brasileira e/ou a internacional? Que torneios de matemática uma pessoa com esse perfil pode estar participando? Ps: Mesmo que o curso de formação não seje matemática.
[obm-l] Re: [obm-l] OBM
-- Mensagem original -- Pessoal, vcs podem me informar se uma pessoa com curso superior pode participar de olimpíadas de matemática como a brasileira e/ou a internacional? Que torneios de matemática uma pessoa com esse perfil pode estar participando? Ps: Mesmo que o curso de formação não seje matemática. - Olá amigo , entra no site da OBM , que deve ter esse tipo de informação lá . Se não me engano , existe uma olimpíada universitária , mais não sei como funciona . |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
-- Mensagem original -- Olá, As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca, ainda não provada: === OBS: Anexei uma figura para melhor visualização . Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ; Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes - incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ; BI = IC , pois EC = BD EC - r = BD - r Então o triângulo IBC é isósceles . Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais . Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC = ABI . Dae ficamos com os ângulos ; ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACB Provando que o triângulo ABC é ISÓSCELES. Abraço . Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: Tri_inc.gif
Re: [obm-l] CONSTRUCAO COMPUTACIONAL DE POLIGONO.
Oi para todos! Para resolver os problemas como o sugerido pelo Cláudio (um polígono que vai se fechando), tente forçar o programa a sair pelo corredor formado. Por exemplo, se você considerar que para que um ponto seja válido, além de não cruzar com nenhuma aresta ele deva permitir que a próxima aresta possa ter um tamanho mínimo definido antes do começo da construção (de preferência um valor grande ou infinito). Isso restringe as possibilidades de polígonos a serem construídos, mas não consigui imaginar uma solução melhor. André T. - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 2:28 PM Subject: Re: [obm-l] CONSTRUCAO COMPUTACIONAL DE POLIGONO. Caro Carlos: Acho que isso pode ajudar: Considere a aresta que liga os pontos (a,b) e (c,d) e a aresta que liga os pontos (e,f) e (g,h). Pergunta: qual a condição para que as duas arestas se interceptem? Vamos supor que (a,b) (c,d) e (e,f) (g,h), caso contrário não haveria uma aresta, mas sim um único ponto. O segmento que liga (a,b) a (c,d) tem equação paramétrica: x = a + (c-a)*t y = b + (d-b)*t 0 = t = 1 O segmento que liga (e,f) a (g,h) tem equação paramétrica: x = e + (g-e)*u y = f + (h-f)*u 0 = u = 1 Se existe interseção, então, o sistema de equações seguinte tem uma solução (t,u) com 0 = t,u = 1: a + (c-a)*t = e + (g-e)*u b + (d-b)*t = f + (h-f)*u Rearranjando: (c-a)*t + (e-g)*u = e-a (d-b)*t + (f-h)*u = f-b Agora, faça: D = (c-a)*(f-h) - (d-b)*(e-g) Dt = (e-a)*(f-h) - (f-b)*(e-g) Du = (c-a)*(f-b) - (d-b)*(e-a) CASO 1: D = 0. Neste caso, as duas arestas são paralelas ou encontram-se sobre uma mesma reta suporte. De qualquer forma, haverá interseção se e somente se pelo menos um dos pontos (e,f) ou (g,h) pertencer ao segmento que liga (a,b) a (c,d). Se (e,f) pertencer ao segmento, então, existe t ( 0 = t = 1 ) tal que: e-a = t*(c-a) f-b = t*(d-b) Se a = c, então o segmento é vertical e necessariamente b d. Se a e, então (e,f) não pertence ao segmento. Se a = e, então considere t = (f-b)/(d-b). Se 0 = t = 1, então (e,f) pertence ao segmento. Se b = d, então o segmento é horizontal e necessariamente a c. Se b f, então (e,f) não pertence ao segmento. Se b = f, então considere t = (e-a)/(c-a) Se 0 = t = 1, então (e,f) pertence ao segmento. Uma análise idêntica determina se (g,h) pertence ao segmento que liga (a,b) a (c,d). Supondo que (a,b) e (c,d) sejam pontos distintos, teremos que a c ou d b. CASO 2: D 0. Neste caso, a solução do sistema é: t = Dt / D ; u = Du / D e existirá interseção se e somente se 0 = t = 1 e 0 = u = 1. Imagine agora que existam N pontos (Xi,Yi) i = 1, 2, ... , N. Dado (X1,Y1), considere (X2,Y2). Se (X2,Y2) = (X1,Y1) então não há aresta = o programa terá que escolher um novo segundo ponto. Se (X2,Y2) (X1,Y1) então conside (X3,Y3). Aplique a análise do CASO 1 acima, para ver se (X3,Y3) pertence à aresta que liga (X1,Y1) e (X2,Y2). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo terceiro ponto. Para k = 4, 5, , N-1, adote o seguinte algoritmo (chamando de P(k) o ponto de coordenadas (Xk,Yk) ): Se P(k-1) não pertence à aresta que liga P(k-3) e P(k-2), então considere P(k). Aplique a análise do CASO 1 acima, para ver se P(k) pertence à aresta que liga P(k-2) e P(k-1). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo k-ésimo ponto. Se P(k) não pertence à aresta que liga P(k-2) e P(k-1), então: Para j = 1, ...,k-3, aplique a análise completa acima para ver se P(k) pertence à aresta que liga P(j) e P(j+1). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo k-ésimo ponto. Finalmente, faça P(N) = P(1). Acho que este algoritmo resolve o seu problema. Naturalmente, em caso de interseção a escolha do novo ponto deve obedecer a quaisquer restrições que você tiver em mente. Observe, no entanto, que apesar de ser sempre possível escolher um novo ponto que não pertença a nenhuma das arestas já exitentes, um dado algoritmo de escolha pode não ser capaz de achar um tal ponto e, portanto, o programa como um todo (escolha + teste de interseção) pode entrar num loop infinito. Por exemplo, imagine que o programa escolhe, sucessivamente, os pontos: ( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 0 , 0.001 ) e ( 0.998 , 0.001 ). Neste caso, o programa está praticamente preso dentro do triângulo formado pela origem e pelos pontos (1,0) e (0,1), e a única via de escape é um corredor de largura 0.001 junto ao eixo dos X. Elaborar um algoritmo que não leve a este tipo de situação me parece um problema bem mais difícil do que elaborar o teste de interseção. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:43 PM Subject: [obm-l] CONSTRUCAO COMPUTACIONAL DE POLIGONO. Saudações ao pessoal da lista, quem poder ajudar
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
== Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida. Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo . Ou não ? Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só pode ser o ponto de encontro da terceira . Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheia de conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la. Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengencia todos os lados ? Desconheço isso . Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizes IGUAIS , provar que os lados são iguais . == = |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
