[obm-l] Livro de GA
Olá a todos, Acabo de entrar na faculdade e gostaria de saber entre os livros de GA que foram indicados qual é o melhor (teoria e exercícios): Paulo Boulos, ou P. Winterele Grato Daniel, S. José dos campos, SP
Re: [obm-l] Probleminhas legais
1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes a soma desses primos. Quais são esses primos( não necessariamente distintos)? sejam p1, p2 ... p[n] tais primos: (p1 + p2 + ... + p[n]).2.5 = p1.p2.p3...p[n] assuma sem perda de generalidade então que p1 = 2 e p2 = 5 já que esses dois primos devem aparecer em ambos os lados. 7 + p3 + p4 + ... + p[n] = p3.p4...p[n] 2 + 3 = 5 2 * 3 = 6 tome r, s = 0 inteiros (2 + r) + (3 + s) = 5 + r + s (2 + r).(3 + s) = 6 + r*s + 3r + 2s é evidente que (2 + r) + (3 + s) (2 + r).(3 + s) isso nos demonstra a idéia intuitiva de que o produto de dois primos que não sejam 2 e 2 é maior que a soma desses mesmos primos! essa idéia segue para um número maior de fatores também: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = k*2 2*2*2...*2 = 2^k k*2 2^k para todo k 2 sejam r1, r2, ... rk = 0 inteiros e pelo menos um k[i] = 1 (2 + r1)(2 + r2)...(2 + rk) 2^k + r1 + r2 + ... + rk 2*k + r1 + r2 + ... + rk = (2 + r1) + (2 + r2) + ... + (2 + rk) sendo assim, como 7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 2^4 = 16 não deve haver mais do que 4 primos além de p1 e p2 7 + 2 + 2 + 2 + 3 = 16 2^3*3 = 24, logo não há mais do que 3 primos além de p1 e p2 7 + 2 + 2 + 3 = 14 != 2*2*3 = 12 7 + 2 + 3 + 3 = 15 2*3*3 = 18, logo não há mais do que 2 primos além de p1 e p2, mas obviamente com 1 primo só eu nunca vou ter 7 + p3 = p3, logo se existe solução ela possui exatamente 4 primos 7 + 2 + 3 = 12 != 2*3 = 6 7 + 3 + 3 = 13 != 3*3 = 9 7 + 2 + 5 = 14 != 2*5 = 10 7 + 3 + 5 = 15 == 3*5 essa é a única solução, pois, como vimos, para r1, r2 = 0, (3 + r1).(5 + r2) = 3 + 5 + r1 + r2 = r1 = r2 = 0 logo 2.3.5.5 = 150 = 10(2 + 3 + 5 + 5) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probleminhas legais
2. Considere f:Q - Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y pertencentes a Q. Prove que f é constante. seja f : Q - Q f(x + f(y)) = f(x).f(y) i) suponha que existe x0 tq. f(x0) = 0 f(a + f(x0)) = f(a + 0) = f(a) f(a + f(x0)) = f(a).f(x0) = f(a).0 = 0 logo f(a) = 0 para todo a, sendo assim, f(x) = 0, logo f é constante ii) suponha que existe y0 tq. f(y0) = 1 f(x + f(y0)) = f(x).f(y0) ou seja f(x + 1) = f(x) para todo x f(y0 + f(x)) = f(y0).f(x) = f(x) f(n.y0 + f(x)) = f(x) para todo n = 1 inteiro seja f(x0) = a != 1 f(n.y0 + a) = f(x0) = a suponha y0 = u/v com u, v inteiros f(v.y0 + a) = f(u + a) = a mas f(u + a) = f(u - 1 + a) = ... = f(a) f(a) = a f(a + f(a)) = f(a).f(a) = f(a)² = a^2 f(n.a) = a^n para n = 1 inteiro se a = w/z com w, z inteiros f(z.a) = f(w) = a^z f(2z.a) = f(2w) = a^(2z), mas f(2w) = f(2w - 1) = ... = f(w) logo a^z = a^(2z) = a^z = 1 = a = 1 (pois z != 0), mas a != 1 logo f(x) = 1. seja f(0) = c != 0 (estamos excluindo o caso i) seja n = 1 inteiro: f(x + n.f(y)) = f(x + (n-1).f(y) + f(y)) = f(x + (n-1).f(y)).f(y) ou seja: f(x + n.f(y)) = f(x).f(y)^n seja y0 tq. f(y) = a/b != 0 f(-a + b.f(y)) = f(-a).f(y)^b f(-a + b.(a/b)) = f(0) = c = f(-a).(a/b)^b f(-a) = c.(b/a)^b mas f(y) = (m.a)/(m.b) para qualquer inteiro m != 0, logo f(-a) = c(m.b/m.a)^(m.b) = c.(b/a)^(m.b) logo: c.(b/a)^b = c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^(3b) = ... como c != 0 e b/a != 0 c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^b.(b/a)^b = c.(b/a)^b (b/a)^b = 1 logo b/a = 1 e f(y) = 1, caímos no caso (ii), logo f é constante! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] geometria analítica
Olá pessoal, Como resolver estas: ((UF UBERLÂNDIA) O ângulo agudo formado pelas retas y=x e y= raiz (3)*(x-5) é: Obs: Se relacionarmos y-y_0= m*(x-x_0) com y= raiz (3)*(x-5), iremos deduzir que y_0= 0; x_0= 5 e que o coeficiente angular m=raiz (3). Logo a segunda reta está sobre o eixo das abscissas pois y_0=0. A primeira reta é a bissetriz do primeiro quadrante, logo o ângulo formada pelas duas retas é de 45º. Onde errei ? Pois segundo o gabarito a resposta é 15º. (FAAP-SP) Sejam as 0xy um sistema cartesiano ortogonal e o triângulo ABC, para o qual os pontos M_A= (3,1), M_B= (0,5) e M_C= (2,3) são os pontos médios dos lados, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Pede-se : a) achar as coordenadas do vértice A b) achar a equação da reta suporte do lado BC resp: a) A(-1;7) b) x + y -4= 0 (UFRS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: resp: 9/5 obs: Na figura a reta s está sobre os pontos (-2;0) e (0,3). Já a reta r está sobre os pontos (1;0) e (0;1)
[obm-l] (O (sqrt n))
Oi para todos ! Estava vendo a sequência A006218 no http://www.research.att.com/~njas/sequences/ e me deparei com O(sqrt(n)) na fórmula da sequência Se alguém puder me esclarecer o que isso quer dizer eu agradeceria muito. André T.
[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica
A reta y=x, no primeiro quadrante, é a bissetriz desse quadrante, formando 45 graus com o eixo x (e também o y, claro, mas esse não nos interessa). A outra reta tem como coeficiente angular sqrt(3), o que nos dá o ângulo de 60 graus (arc tan (sqrt(3))). Veja que essa reta fica à esquerda da reta da reta y=x, no sentido anti-horário. O ângulo feito entre elas vai ser o ângulo com o eixo x formado pela reta y=raiz(3)*(x-5) menos o ângulo formado pela reta x=y com o mesmo eixo: 60-45 = 15 graus. Faz o desenho das duas que você vai entender direitinho. Abraço, Henrique. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 05, 2003 4:34 PM Subject: [obm-l] geometria analítica ((UF UBERLÂNDIA) O ângulo agudo formado pelas retas y=x e y=raiz (3)*(x-5) é: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] (O (sqrt n))
Quando eu mando o Maple fazer uma série de Taylor para uma função, aparece esse O também. Creio eu que seja algo muito pequeno, um infinitesimal, não sei direito. Henrique. - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 05, 2003 4:34 PM Subject: [obm-l] (O (sqrt n)) Oi para todos ! Estava vendo a sequência A006218 no http://www.research.att.com/~njas/sequences/ e me deparei com O(sqrt(n)) na fórmula da sequência Se alguém puder me esclarecer o que isso quer dizer eu agradeceria muito. André T. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
