Re: [obm-l] geometria
--- Daniel Pini [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em um quadrado ABCD de área S, os pontos E e F são médios dos lados AB e BC. O segmento DF se corta com AE em M; e o segmento CF se corta com o DE em P e com AE em N. A área do quadrilatero DMNP é ? R;(no gabarito é 4S/15) Olá Daniel! Na minha resposta os pontos têm uns nomes diferentes dos seus, mas estou mandando uma figura e acho que dá pra entender. Coloque o vértice D no ponto zero dos eixos cartesianos, com os vértices A e C sobre os eixos y e x respectivamente. Chamemos de L o lado do quadrado, o que faz com que as coordenadas dos vértices sejam: A(0, L), B(L, L), C(L, 0), D(0, 0) Veja a figura que enviei anexada. Nela você também pode ver os pontos médios E e F com suas coordenadas (L/2, L) e (L, L/2) respectivamente. Como essa figura é simétrica, ao traçarmos BD, esse segmento passará pelo ponto G, e ainda dividirá o quadrilátero cuja área estamos procurando em dois triângulos congruentes. Então se acharmos a área do triângulo DGH, por exemplo, já teremos a área do quadrilátero procurada, que será o dobro da área desse triângulo. A reta BD é a reta y = x (é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (L, L)) e a reta AF é a reta y = -x/2 + L (passa pelos pontos (0, L) e (L, L/2)). E como G é o ponto de intersecção dessas duas retas, temos que igualar o valor de y das duas equações: x = -x/2 + L 3x/2 = L x = 2L/3 Então as coordenadas de G são (2L/3, 2L/3). Agora podemos achar as coordenadas do ponto H com a intersecção das retas AF e DE, cujas equações são respectivamente: y = -x/2 + L y = 2x E podemos achar as coordenadas do ponto H se igualarmos os valores de y das duas equações: -x/2 + L = 2x L = 2x + x/2 5x/2 = L x = 2L/5 Achamos a abcissa de H, agora achamos a ordenada: y = 2x y = 2.2L/5 y = 4L/5 Assim, as coordenadas do ponto H são (2L/5, 4L/5). Agora vemos que se chamarmos a área que queremos de A, podemos escrever que: A/2 = ABD - AGB - AHD Onde ABD, AGB e AHD são as áreas desses 3 triângulos. A área de ABD é metade da área do quadrado ABCD que tem lado L e portanto área igual a L². Para acharmos a área de AGB, chamaremos de base do triângulo o lado AB, que tem medida L. Assim a altura do triângulo será a distância de AB até G. Como a distância de G até o lado CD, que é o eixo x, é de 2L/3 pois este é o valor da sua coordenada y, a distância de G até o lado AB será 1/3 porque a soma dessas duas distâncias tem que dar o tamanho da altura do quadrado, que é L. Agora achamos a área do triângulo de base L e altura L/3: AGB = L.(L/3)/2 AGB = L²/6 Para o triângulo AHD, chamaremos de base o lado AD que tem medida L e nesse caso a altura do triângulo será a distância de H até o lado AD, que é o eixo y, e assim será exatamente o valor da coordenada x do ponto H, que é 2L/5. Agora acharemos a área do triângulo de base L e altura 2L/5: AHD = L.(2L/5)/2 AHD = L²/5 E agora vamos achar o valor de A que é metade da área que temos ao tirar as áreas de AGB e AHD da área ABD: A/2 = ABD - AGB - AHD A/2 = L²/2 - L²/6 - L²/5 A/2 = (15L² - 5L² - 6L²)/30 A/2 = 4L²/30 A/2 = 2L²/15 A = 4L²/15 Mas o problema pediu a área em função da área S do quadrado. Assim, como sabemos que S = L², podemos escrever que: A = 4S/15 Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/inline: areaquadrinotri2.gif
Re: [obm-l] Isomorfismo de Grupos
On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote: Caros colegas: 1) Pode existir um isomorfismo entre o grupo aditivo dos reais e o grupo aditivo dos complexos? Sim. Ambos são espaços vetoriais sobre Q (o corpo dos racionais). Assim R admite uma base X: X é um subconjunto de R tal que todo número real pode ser escrito de forma única como uma combinação linear (finita) de elementos de X com coeficientes em Q. Não é difícil provar que X deve ter o mesmo cardinal de R mas isso nem é necessário, basta ver que X é infinito para ver que existe uma bijeção entre X e X U iX (onde iX é o conjunto dos produtos ix onde i = sqrt(-1) e x é um elemento de X). Como X U iX é base de C temos um isomorfismo entre R e C como espaços vetoriais sobre Q. O que é difícil é exibir um tal isomorfismo (ou um conjunto X como acima). Para garantir que ele existe precisamos do axioma da escolha. Note que se V=L então temos como exibir X muito explicitamente mas esta descrição de X deve ser completamente errada se não valer V=L. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Espacos de Dimensao Infinita
On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote: Oi, Duda: Obrigado pela explanacao. Era justamente isso que eu temia. E com o lema de Zorn, entao... Deve ser que nem aquela historia do conjunto dos reais poder ser bem ordenado. Ate hoje, ninguem conseguiu exibir uma tal boa-ordenacao. Gödel conseguiu, usando um axioma inventado por ele mesmo chamado V=L. A classe V é a classe de todos os conjuntos; a classe L é a classe dos conjuntos que podem ser explicitamente construídos se apenas tivermos todos os ordinais; o axioma diz, claro, que estas classes são iguais. Este axioma não introduz contradições em ZF pois todo modelo de ZF tem dentro dele um modelo de (ZF + V=L): a classe L. O axioma V=L é muito forte, com ele podemos demonstrar o axioma da escolha e a hipótese do contínuo generalizada. Também com V=L podemos exibir uma boa ordem não apenas para os reais mas para V: esta boa ordem é dada por uma frase relativamente simples. O problema é que quase ninguém acredita que V=L seja um axioma razoável, ele parece criar uma teoria dos conjuntos magra demais. Há um bom artigo sobre o assunto no penúltimo Bulletin da AMS, Logical dreams, de Saharon Shelah: http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-03-00981-9 []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Hipercubos e Hiperesferas
On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote: Caros colegas: Aqui estah uma construcao que ultrapassa a minha capacidade de visualizacao em mais de 3 dimensoes (descrita no livro: Mathematics - The Science of Patterns; pgs. 160/161; autor: Keith Devlin; Scientific American Library) ... No R^n, o raio da hiperesefera central (tangente as demais) eh igual a diferenca entre: a distancia da origem ao centro de uma das hiperesferas de raio 1 e o raio de uma dessas hiperesferas (igual a 1, eh claro!) A distancia eh calculada mediante o teorema de Pitagoras em n dimensoes. d = raiz(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) = raiz(n) Logo, raio da hipersefera central = raiz(n) - 1. * Agora vem a parte surpreendente (pelo menos pra mim). Para qualquer n, a aresta do hipercubo do R^n mede 4. Se n = 9, o raio da hiperesfera central serah igual a raiz(9) - 1 = 2 e se n 9, o raio serah maior do que 2, ou seja, a hiperesfera central ira se estender para alem das (hiper)faces do hipercubo. Alguem consegue visualizar isso? Bem, as suas contas estão todas certas, é difícil saber o que responder. Talvez ajude observar que quando a dimensão é grande a distância entre o centro de um hipercubo e um vértice (sqrt(n), no seu exemplo) é muito maior do que a distância entre o centro e uma face (1). Talvez ajude também observar que, quando a dimensão n sobe, as 2^n esferinhas ocupam uma proporção cada vez menor do céu para um observador na origem e portanto os buracos entre as esferas ficam maiores, permitindo a uma esferona centrada na origem passar uma barriga cada vez maior para fora. Talvez ajude ainda observar que o conjunto de bolas de raio 1/2 centradas em pontos de Z^n fica cada vez mais ralo quando a dimensão sobe: já em dimensão 4 há espaço para esferas nos pontos de Z^n + (1/2,1/2,1/2,1/2). Um livro que pode ser do seu interesse é Conway/Sloane, Sphere packings, lattices and groups. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dicas: Análise Funcional
Amigos, estou inciandos meus estudos de análise funcional sem muito background matemático e por isso estou encontrado muitas dificuldades. Gostaria que me dessem, se possível, algumas dicas para provar: Seja X um espaço normado. Se f é um funcional linear NÃO contínuo Então a imagem inversa de 0 é denso em X Quero resolver sozinha e por isso gostaria apenas de algumas dicas... Muito obrigada. __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] flw:re: Algebra
Ola pessoal, Soh nao entendi uma coisa na resolucao abaixo. Por que nao foi considerado na resolucao a parte do enunciado que fala que o colecionador separou as moedas tambem de 6 em 6. Ou seja, por que nao colocou n= 6c + 4 = 3 divide n-4 ? Um colecionador de moedas pretendeu separa-las de 6 em 6; 12 em 12 ou de 18 em 18, mas sempre, sobraram 4 moedas. Contou-as todas e verificou que elas eram mais de 118 e menosde 180. quanto ao numero de moedas, pode-se afirmar que se representamos na base 5 o numero de moedas eh Resp: 1043 n eh o numero de moedas. n = 12a + 4 = 4 divide n-4 n = 18b + 4 = 9 divide n-4 logo 4*9=36 divide n-4. O unico multiplo de 36 no intervalo eh 144, e n = 148. Ai eh soh passar para a base 5.
[obm-l] equação
Dados R1: y-z=1,R2: x+y+z=0, determine uma equação vetorial da reta perpendicular a R1(intersecção)R2 e que passa por P=(0,2,1) obs: R1 e R2 são planos ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soma
Quanto vale a soma das coordenadas do ponto de encontro de r: -x=(y-5)/3=z-4 e / | x=4+3 s:| y=1-L | z=5+2L \ ??? ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
Note que se o limite existisse independeria da forma de aproximação da origem. Considere então x, y0, tendendo a 0 e 0. E Analogamente, tomar y = 0 , com relação à sua última pergunta, e em seguida fazer os limites laterais encerra a mesma idéia dada acima.está correta então. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis Date: Sat, 21 Jun 2003 02:20:21 -0300 (ART) Frederico, obrigado por responder. Não entendi a passagem abaixo onde você diz para fazer y=x/(x-1). Para o caso de x e y estarem sem o módulo entendi, mas x e y estão em módulo, como me livrar deles ? Outra coisa, posso usar normalmente os limites laterais para funções de duas variáveis, como no caso abaixo (no final do e-mail) ? obrigado []'s Marcos --- Frederico Reis Marques de Brito (b) Considerando o caminho x=0 (eixo oy ) , o limite dá zero e tomando o caminho y = x/(x-1), que evidentemente passa pela origem, o limite vai dar 1. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Caros colegas, comecei a estudar um pouco de limites de funções de várias variáveis, mas tem alguns que não consegui entender. Se alguém puder me ajudar agradeço. ... 2) calcule, se existir: b) lim(xy/(|x|+|y|) para (x,y)--(0,0) Outra questão, em lim(x-y/(x^2+y^2) para (x,y)--(0,0) posso aplicar limites laterais (aqueles que se estuda em cálculo 1 ? Tipo, considere (x,y) caminhando ao longo do eixo x até (0,0). Então tenho pontos do tipo (x,0). Simplificando vou ter lim 1/x se x tende a zero pela esquerda dá menos infinito , se for pela direita mais infinito, então o limite não existe. A minha dúvida aqui é se posso usar os conceitos de limites laterais do cálculo 1 para expressões de várias variáveis. []'s Marcos ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] geometria+numeração
Considere o losango de lado L e área S. A área de quadrado inscrito no losango, em função de L e S vale: R:S²/4L²+2S O total de poligonos cujo numero n de lados é expresso por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonais é tal que d é maior que 26n, é? ( nesse exercicio acredito que haja um erro de sinal entre maior e menor, pois cheguei na resposta com menor(??)) R;4 O numero (24,3) na base 5 corresponde na base 10: R:14,6
[obm-l] mais um pouco de numeração
Na base 3 a representação de um número N é 121122111222. O primeiro algarismo ( à esquerda) do numero N quando escrito na base 9 é: R;5 Dado o número N= 111...11 expresso com k algarismos iguais a 1 quando escrito na base dois. A expressão de N² na base dois se escreve com: R; k uns e k zeros O número 1987 pode ser escrito como o número de três algarismos xyz em alguma base b. Se x+y+z=1+9+8+7 então x-y-z+b vale: R;22
[obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
Caro Frederico.
Nao e usual falar de limites laterais no R^2 pois ai
nao ha dois lados; contudo se V. encontrar duas semiretas
opostas segundo as quais os limites sejam distintos
e correto concluir que o limite nao existe.
Tome mais cuidado com os perentesis. Seu exemplo
parece conter um engano de digitaca, razao por que
vou dar outro exemplo:
f(x,y)=(x/|x|)+y, definida em R^2\{(0,0)}.
lim f quando (x,y) tende a (0,0) nao existe pois
se (x,0) tende a (0,0) com x0, f tende a -1,
se (x,0) tende a (0,0) com x0, f tende a 1 e -1/=1
(/+ significa e diferente de).
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
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[obm-l] 3 problemas variados
Ola pessoal, Como resolver este: 1) Determine a area de um quadrilatero, ABCD sabendo que suas diagonais AC= 50 m e BD = 44 me formam um angulo de 60º 2) Considerando candidatoscom percentuais de intencao de voto de 50% e 42% em uma pesquisa com margem deerro de 4% (nas pesquisas eleitorais os indices tem variado entre 2% e 4%) chegamos a conclusao que a leitura correta da margem de erro dos candidatos oscilaria entre quais percentuais? 3) Uma urna contem 30 bolas, sendo 10 brancas, 10 pretas e 10 vermelhas; extraindo-se 3 bolas,qual a probabilidade de sair uma de cada cor? resp: p= 100/406
[obm-l] objetos defeituosos (probabilidades)
Ola pessoal, Como resolver esta questao abaixo ? Obs: Eu sei que deve-se usar o binomio de Newton. Mas como aplica-lo neste exercicio ? 1) Na fabricacao de um objeto, tiraram-se 100 amostras de 5 objetos cada uma, com o resultado: com0 defeito.. 13 amostras com1 defeito.. 34 amostras com2 defeitos 31 amostras com3 defeitos... 19 amostras com4 defeitos. . . . . . . 3 amostras com 5 defeitos... -amostras Pergunta-se: a) qual a probabilidade de um objeto, tirado ao acaso, ser defeituoso? b) qual adistribuicao provavel de 200 amostras de 7 objetos cada uma? c) qual aprobabilidade de, em uma caixa com 20 objetos,serem todos perfeitos? de haver no maximo 2 defeituosos?
Re: [obm-l] Algebra
[EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Soh nao entendi uma coisa na resolucao abaixo. Por que nao foi considerado na resolucao a parte do enunciado que fala que o colecionador separou as moedas tambem de 6 em 6. Ou seja, por que nao colocou n= 6c + 4 = 3 divide n-4 ? Um colecionador de moedas pretendeu separa-las de 6 em 6; 12 em 12 ou de 18 em 18, mas sempre, sobraram 4 moedas. Contou-as todas e verificou que elas eram mais de 118 e menosde 180. quanto ao numero de moedas, pode-se afirmar que se representamos na base 5 o numero de moedas eh Resp: 1043 n eh o numero de moedas. n = 12a + 4 = 4 divide n-4 n = 18b + 4 = 9 divide n-4 logo 4*9=36 divide n-4. O unico multiplo de 36 no intervalo eh 144, e n = 148. Ai eh soh passar para a base 5. Olá, Rafael. A informação de que irão sobrar 4 moedas se as dividirmos em grupos de 6 é descartável. Se 12 divide n-4, então podemos concluir que 6 também divide n-4. Veja que o contrário não é necessariamente verdadeiro, ou seja, se 6 divide n-4, não se pode concluir que 12 divide n-4. Beleza? Abraço Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dicas: Análise Funcional
Cara Alininha, Use o fato de que um funcional linear que nao e' continuo nao e' limitado, ou seja, voce pode encontrar elementos v de X com |v| 1 e |f(v)| tao grande quanto voce quiser para mostrar que, dado x em X existem elementos do nucleo de f (a imagem inversa de 0) arbitrariamente proximos de x, somando a x elementos pequenos de X escolhidos convenientemente. Abracos, Gugu Amigos, estou inciandos meus estudos de análise funcional sem muito background matemático e por isso estou encontrado muitas dificuldades. Gostaria que me dessem, se possível, algumas dicas para provar: Seja X um espaço normado. Se f é um funcional linear NÃO contínuo Então a imagem inversa de 0 é denso em X Quero resolver sozinha e por isso gostaria apenas de algumas dicas... Muito obrigada. __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
