Re: [obm-l] Triangulos II (Mr. Crowley)
paraisodovestibulando wrote: Calcular a área de um triângulo ABC, retângulo em A, sabendo que o seu perímetro é o triplo do cateto AB=30m. gabarito: 337,50m² c = 30 a+b+c = 3c, ou seja, a+b = 60 a^2 = b^2 + c^2, ou seja, a^2 - b^2 = 900, isto eh, (a-b)(a+b)=900 e a-b=15 Resolvendo a+b = 60 e a-b=15, encontramos a=75/2 e b = 45/2. A area eh (1/2)bc = 337,5 Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C[1] e inscrito à circunferência C[2]. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é k cm, qual será a soma dos comprimentos destas duas circunferências? a)(2.pi.k)/3 cm b)(4.pi.k)/3 cm c)4.pi.k cm d)2.pi.k cm e)pi.k cm 2pi(r+R) = 2pi[bc/(a+b+c)+(a/2)] = pi[2bc/(a+k) +a] = pi [a^2 +ak + 2bc]/(a+k)= = pi [b^2+c^2 +2bc +ak]/(a+k) = pi (k^2 +ak) /(a+k) = pi.k = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
On Fri, Sep 26, 2003 at 08:17:02PM -0700, niski wrote: Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares. Se estamos discutindo história da matemática, estou bem certo de que a multiplicação de matrizes *não* foi inventada/definida para calcular compostas de transformações lineares. Os conceitos de espaço vetorial e transformação linear são do século XX e no século XIX já se estudavam matrizes por causa das várias aplicações menos abstratas de álgebra linear. Um exemplo de aplicação é a composição de funções da forma z |- (az+b)/(cz+d). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Publicação
On Sun, Sep 28, 2003 at 01:10:00AM -0300, Wassermam wrote: Gostaria de saber onde é feita a publicação legal de uma teoria matemática. Existe algum orgão regulador? Não existe nenhum orgão regulador. A pesquisa matemática é publicada em revistas especializadas (mas mesmo as revistas sérias às vezes publicam resultados errados). Não existe nenhum aspecto legal (no sentido jurídico) neste processo todo; existe a preocupação de que o resultado seja reconhecido como correto pelos outros matemáticos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um Absurdo !!!!!!!!!!! Espalhem !!!!!!!!!!!!!
On Sun, Sep 28, 2003 at 09:00:13PM -0300, gbbolado wrote: Artigo do Jornalista Franklin Martins - Diretor Jornal ismo Globo - DF A falta de tempo me obriga a usar uma política mais dura. Estou passando a eliminar os autores de off-topic grosseiros sem sequer dar um aviso prévio. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao
Apesar de isto ser considerado "usar bazuca pra matar formiga", mostra que a ideia e na verdade simples.Tente os livros que o Tengan recomendou na Semana Olimpica.Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal esse metodo que Dirichlet "quase" mostrou(naose preocupe Dirichlet, eu entendo sua falta detempo..hehe), eu entendi , mas parece que existe outromais elegante , que usa teorema do isomorfismo entreaneis e extensao de corpos conhecido como metodo deCauchy-Kronecker de achar inversos multiplicativos.Euestou tentando entender isso, tentando encaixar todasessas ideias mais ainda nao vi a luz.Inclusive asugestao da questao abaixo tem tudo a ver com essemetodo.Tentem fazer pela sugestao: PROBLEMARacionalizar o denominador da fraçao (1 - 2^1/3) / (1 + 2^1/3 + 4^1/3), isto é,escrever afraçao dada na forma "a + b*(2^1/3) + c*(4^1/3)" coma, b,c pertencente aos racionais.(Sugestão: Determinar o polinomio minimo de 2^1/3sobre os Racionais e usar o algoritmo de divisaoeuclidiana apropriadamente.)--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: on 24.09.03 15:02, Carlos Maçaranduba at [EMAIL PROTECTED] wrote: --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Esse assunto ja foi muito discutido ha um ano nessa lista e entao nao vou falar muito. Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo pegue 1/(2^1/2+2^1/3). Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2 A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a uma:isola de um lado e eleva loucamente!sim ai eu acho uma equacao e como concluo??? O artigo de shine esta em latex e eu nao tenho visualizadorEnfim e isso... PS:se voce estudar um pouco de polinomios no atrigo do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco disso. Oi, Macaranduba: Como sempre, somos obrigados a aguentar as mensagens cripticas e pela metade do Dirichlet... O artigo do Shine tem um exercicio que pede para: i) achar o polinomio minimal de a = 2^(1/2) + 3^(1/3); ii) racionalizar o denominador de 1/(2^(1/2) + 3^(1/3)) Esse exercicio ilustra bem a tecnica. i) O polinomio minimal pedido eh obtido elevando-se ao cubo a equacao: x - 2^(1/2) = 3^(1/3), depois agrupando os termos com 2^(1/2) de um lado e elevando-se ao quadrado. No fim, voce chega em: x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0, ou seja, o polinomio minimal eh: p(x) = x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 ii) a eh raiz desse polinomio. Logo: a^6 - 6a^4 - 6a^3 + 12a^2 - 36a + 1 = 0 == 1/a = -a^5 + 6a^3 + 6a^2 - 12a + 36 Repare que o lado esquerdo eh justamente o que queremos racionalizar e o lado direito eh uma FUNCAO RACIONAL de a (de fato, um polinomio) COM DENOMINADOR RACIONAL (de fato, igual a 1). Dah um pouco de trabalho pra calcular, mas resolve o problema... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Title: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Duda:
Eu estou mais lerdo que o de costume.
Aqui estah o contra-exemplo:
a = raiz(2) e b = 1 + raiz(3) tem ambos grau 2.
No entanto, a*b = raiz(2) + raiz(6) tem grau 4 2 = MMC(2,2).
Logo, o maximo que dah pra dizer eh realmente que:
grau(a+b) e grau(a*b) = grau(a)*grau(b).
Um abraco,
Claudio.
on 28.09.03 21:48, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Verdade. E ainda nao consegui achar nenhum. O menor caso nao trivial (onde m n MMC(m,n) m*n), seria com m = 4 e n = 6, mas eh meio sacal ficar tentando na mao pois eu nao tenho acesso a nenhum pacote matematico adequado. Por outro lado, pode ser que a conjectura esteja certa para o caso de a*b... Alias, agradeco a quem mandar uma demonstracao ou um contra-exemplo.
Um abraco,
Claudio.
on 27.09.03 21:29, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio.
Acho que faltou o contra-exemplo para o caso grau(a*b) = MMC(grau(a), grau(b)).
Duda.
- Original Message -
From: claudio.buffara mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, September 26, 2003 8:42 AM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) = MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico a (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
Eh facil ver que, para m n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) = grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 = i = m-1, 0 = j = n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para:
Cópia:
Data: Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) = grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional.
[obm-l] Re:[obm-l] complexos
Na verdade p/q*p e que e real.Para conferir isto use Cardano-Girard-Viete. -- Mensagem original -- Olá! A equação x^2 - (1+i)x + i = 0 tem raizes 1 e i, de mesmo módulo, mas p/q = -(1+i)/i = i-1, que não é real.. []s, thiago sobral Gostaria de uma ajuda para a soluçao deste problema ,pq eu nao consgui estabelece nenhuma condiçao entre os argumentos das raizes , p e q (pert. C) . SEJAM p e q pertenc. C. Prove que se as raizes da equaçao x^2+px+q=0 , tem mesmo modulo entao p/q e' um numero real. valeu... __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] conjunto contendo PA
Se eu nao estou enganado este e o problema que foi resolvido na Eureka!12
do Olimpiadas ao redor do mundo.Ou alguem muito parecido com ele.
-- Mensagem original --
Olá!
Gostaria provar um resultado do tipo:
para N suficientemente grande ([N]:= {1, 2, 3, ..., N}) se S contido em
[N]
é tal que não possui uma PA de tamanho 3 então |S| = N/2.
Se isso vale, obtenha um valor de N mínimo que satisfaça essa condição.
(obs: isso provaria que tomando N = 2K + 1, então |S| = k e por tanto,
não
é possível particionar [2K + 1] em dois de forma a evitar PA's de tamanho
3
nas duas partições).
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas nao o SEU porque.niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares.Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: Dirichlet, Não sei, mas para mim a regra de multiplicação de matrizes não é simplesmente uma "definição". Ela é feita com base em composição (produto) de aplicações lineares. Uílton, se você quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, dá uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas aí você vai ter que estudar um bocado... Desde espaços vetoriais, sub-espaços até composição de transformações lineares. Abraço, Henrique. Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce? E ha o problema das unidades... "Uílton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann, Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade Total Farinha|170| Açucar |80 | Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Açucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica. []s, UOD PS: Não entendo nada de culinária... :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjunto contendo PA
O interessante é que a conclusão da observação é razoavelmente simples:
Seja S um subconjunto de [N], então se S = {x1, x2, ..., x[k]} com x1 x2
... x[k] então se existe i tq x[i+1]-x[i] 3 então o complemento de S,
[N] - S apresenta três elementos consecutivos, x[i]+1, x[i]+2, x[i]+3. isso
mostra que 1 = x[i+1]-x[i] = 2 e portanto podemos ter
S = {x1, x1 + 1, x1 + 3, x1 + 4, x1 + 6, ...} [alterne a diferença entre 1 e
2]
ou
S = {x1, x1 + 2, x1 + 3, x1 + 5, x1 + 6, ...} [alterne a diferença entre 2 e
1]
mas então x1, x1+3 e x1+6 formam uma PA de tamanho 3...
[ ]'s
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, September 29, 2003 3:31 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] conjunto contendo PA
Se eu nao estou enganado este e o problema que foi resolvido na Eureka!12
do Olimpiadas ao redor do mundo.Ou alguem muito parecido com ele.
-- Mensagem original --
Olá!
Gostaria provar um resultado do tipo:
para N suficientemente grande ([N]:= {1, 2, 3, ..., N}) se S contido em
[N]
é tal que não possui uma PA de tamanho 3 então |S| = N/2.
Se isso vale, obtenha um valor de N mínimo que satisfaça essa condição.
(obs: isso provaria que tomando N = 2K + 1, então |S| = k e por tanto,
não
é possível particionar [2K + 1] em dois de forma a evitar PA's de tamanho
3
nas duas partições).
[ ]'s
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l]
adoro a lista,,, os problemas... mas tenho recebidos muitos e-mails na minha conta... e esta meio ruim..,. como faço para sair?
[obm-l] PROBLEMA DE OLIMPÍADA
Ok! Eduardo Boa Noite a todos e gostaria da opinião de vocês quanto a este problema retirado da enciclopédia Tesouro da Juventude e publicado na coluna da Olimpíada de Matemática-UFC. Dos nove quartos disponíveis em um pavilhão quadrático, o rei dormia no quarto do centro e ordenou que os 24 soldados que formavam sua guarda fossem distribuídos de modo a ficarem nove de cada lado do pavilhão. Os soldados podiam ausentar-se ou receber visitas em seus quartos para pernoite, com a condição de que sempre estejam nove de cada lado. Qual o número máximo de visitas para pernoitar e soldados ausentes? Obrigado pela atenção de resposta! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mat. = ciência exata?
Olá! Estou cursando a cadeira de História da Matemática, junto com o pessoal da Licenciatura em Matemática. Um colega disse, em sala de aula, que a Matemática é uma ciência humana. Eu achei a idéia muito boba, mas, conversando com uma colega, constatei - para meu espanto - que há grupos de pesquisa que estudam (?!) a possibilidade de a matemática não ser uma ciência exata, querendo significar (pelo que eu entendi) que a matemática é cultural, dependendo do contexto histórico ou algo assim. Para ser franco, como muitas das coisas discutidas, eu não consegui compreender sobre o que se falava. Parece que o pessoal da Licenciatura tem uma visão de matemática muito identificada com educação matemática. Alguém tem alguma idéia de o que eu estou falando?! Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Mais uma vez valew Morgado pela resolução!!! Gostaria que vcs me ajudassem nessas duas questões (que por sinal achei super dificeis). I) Demonstrar que é retâgnulo ou isósceles o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação: sen(B) + cos(B) = sen(C) + cos(C) II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação: sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
