Re: [obm-l] alg-lin
Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz,havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que Tou Stem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: From: "Guilherme Carlos Moreira e Silva" <[EMAIL PROTECTED]> É verdade que toda transformacao linear tem um subespaco invariante?Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre doissubespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaçotodo. É verdade, também,, que toda transformação deste tipo possui umsupespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e1 se o corpo são os complexos. Existe diferenca entre subespaco invariante e autoespaco?Existe. Um autoespaço é o espaço associado a um autovalor. Todo autoespaço éinvariante, mas não vale a recíproca. Por exemplo a transformação L(x,y) =(-y,x) (rotação de 90 graus) não possui autoespaços, alem do trivial,contudo o R^2 é invariante por L.Abração,Duda. Desde já, grato pela atencao. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Problemas de combinatoria
Oi, pessoal:
Aqui estao alguns problemas de combinatoria que estao me dando (muito)
trabalho:
1. (proposto pelo Nicolau) Quantas matrizes m x n com elementos em
{1,2,...,p} (p: inteiro positivo) existem de forma que se A eh uma tal
matriz,
A(i,j) A(i+1,j) e A(i,j) A(i,j+1), para todos i e j.
2. Qual a condicao necessaria e suficiente para que um tabuleiro m x n possa
ser inteiramente coberto com dominos p x q. No caso de p = 2 e q = 1, de
quantas maneiras isso pode ser feito?
3. (proposto pelo Rogerio Ponce) Quantas permutacoes de {1,2,...,n} existem
com todos os ciclos de ordem = 3?
4. Prove que eh possivel pintar os pares nao ordenados (subconjuntos de 2
elementos) de R de azul ou vermelho de forma que nenhum subconjunto nao
enumeravel S de R tenha todos os seus pares nao ordenados da mesma cor.
5. Uma familia F de subconjuntos de N eh dita quase-disjunta se para
quaisquer membros A e B dessa familia, (A inter B) eh finito. Prove que
existe uma familia de subconjuntos de N que eh quase-disjunta e nao
enumeravel.
6. Sabe-se (desigualdade de Fisher) que se A_1, A_2, ..., A_m sao
subconjuntos de {1,2,...,n} tais que para 1 = i j = m, |A_i inter A_j| =
k (0 = k = n-1) entao m = n. Para k = 2, de exemplos (se existirem) de
familias de subconjuntos onde vale a igualdade.
7. Dada uma sequencia a_1 a_2 ... de inteiros positivos, seja A(x) =
maior n tal que a_n = x. Define-se a Densidade Inferior (DI) da sequencia
como sendo DI = liminf(n-inf) A(n)/n e a Densidade Superior (DS) como sendo
DS = limsup(n-inf) A(n)/n. De um exemplo de sequencia onde DI DS.
Qualquer ajuda serah (muito) bem vinda.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Ajuda-Geometria Plana
Pessoal, tô enrolado com esse, ajudem-me por favor. Um trapézio tem diagonais medindo 6cm e 10cm. Sabendo que o segmento que une os pontos médios das bases mede 4cm, calcule a área. Desde já agradeço.
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz, havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? [...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente reais. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] alg-lin
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre dois subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaço todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui um supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e 1 se o corpo são os complexos. Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços invariantes? Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMAS DELICADOS!
Olá! Meus Amigos! O problema dos 3 operários cujas produções marginais eram 10, 8 e 6 tem um efeito devastador nos exames propostos, devido a pergunta ser voltada para um êrro comum entre os estudantes. Por hipótese, os trabalhadores são permutáveis. As tarefas que eram feitas pelo trabalhador 1 são assumidas pelos trabalhadores 2 e 3. As tarefas que eram feitas pelo trabalhador 3 não são mais realizadas, assim, a produção se reduz em 6. A moral desta história é que os trabalhadores não são avaliados pelo que estão fazendo e sim pelo que o trabalhador marginal faz. Trata-se de uma ferramenta poderosa para os economistas ao perceberem que os custos e os benefícios que realmente interessam são aqueles que ocorrem na margem, mas aí, já é outra história. Quanto ao problema do bem-estar, a situação é delicadíssima, pois a grande maioria responde que fica numa situação melhor em resultado do aumento de preço, mas numa situação pior em consequência da descida de preço. Embora a maioria parecesse muito confiante em relação a estas duas respostas, PASMEM! apenas uma delas está correta para ambas as situações. A resolução deste belo enigma se encontra nas páginas 149, 150 e 151 do excelente livro Microeconomia e Comportamento, Robert H. Frank. (CAMPEÃO!) Um abração! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
on 01.12.03 20:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz, havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? [...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente reais. []s, Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
Você sempre tem um autovalor se considerar que seu espaço
vetorial é complexo, aí sim são as raízes de det(A-x*I)=0.E o problema
está errado... na verdade é "POSSUEM UM AUTOVETOR EM COMUM". Basta ver que
I*0=0*I e 0 e I não possuem autovalores em comum. Prova:Considere o
cunjunto U={v ; Sv=r*v} onder é um autovalor fixo de A. Veja que U
ésubespaço invariante por T,pois se v estáem U,
S(Tv)=T(Sv)=r*(Tv), logo Tv está em U. Então você pode considerar a
restrição de T a U (uma transformação T`:U -U) que possui
umautovetor vem U, tal que Tv=g*v e por definição de U, temos
Sv=r*v, logo possuem um autovetor em comum.Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] alg-linData:
01/12/03 21:43on 01.12.03 20:40,
Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED]wrote:
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva
wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito
esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz,
havia a seguinte questão: Sejam T e S
duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S
tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade
haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o
segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir
que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além
disto, elas têm autovalor em comum?
[...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são
as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente
reais. []s,Eu tenho uma duvida conceitual. A
definicao de autovalor que o Fabio pareceestar usando acima eh a de raiz
do polinomio caracteristico do operadorcorrespondente. Mas e se tivermos
um operador sobre R^n cujo polinomiocaracteristico tem apenas raizes
complexas?Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) =
(x+y,-x+y) temcomo polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes
sao 1+i e 1-i.1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor
nao nulo (a,b) deR^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh
claramente impossivel. Entaoeh correto dizer que T nao tem autovalores?
Ou devemos dizer que osautovalores de T nao estao associados a nenhum
autovetor?Um
abraco,Claudio.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] alg-lin
Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. Oi Claudio, Se você considera R^2 como espaço vetorial sobre R, T não tem autovalores. Como você mesmo observou, x^2 - 2x + 2 não possui raízes reais. O único problema é que você roubou ao olhar para o conjunto dos complexos... Autovalores são elementos do corpo que você associou ao espaço vetorial.Tá vendo, quem mandou você escolher um corpo ruim!!! Se você não escolheu um corpo K algebricamente fechado, claramente terá problemas ao considerar as transformações lineares de K^n em K^n ( K^n E.V. sobre K ). Dizer que os autovalores de T não estão associados a nenhum autovetor não faz sentido. V espaço vetorial sobre o corpo K. T : V - V linear Caso exista x em K tal que ( T - xI ) seja não-injetora, dizemos que x é autovalor de T. Sabemos que ( T - xI ) é não-injetora = existe um vetor v não-nulo tal que ( T - xI )v = 0. Daí v é dito autovetor associado a x. Este =, na verdade, é herdado lá dos grupos... G grupo, f : G - G homomorfismo. Então f é injetora = ker(f) é trivial (somente o elemento identidade) Eu sei que você já sabe tudo isso, mas acredito que será útil para alguém ! -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 21:42:42, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre
dois
subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o
espaço
todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui
um
supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os
reais;
e
1 se o corpo são os complexos.
Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços
invariantes?
[...]
L(Ker(L)) = {0}, por definição de Ker(L).
Tome L: R^2 - R^2; (x, y) |- (y, 0). Então Im(L) = {(a, 0), a real},
mas L(Im(L)) = {(0, 0)}, já que Im(L) == Ker(L).
[]s,
--
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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RE: [obm-l] alg-lin
Boa noite. Embora nos livros que eu jah tive oportunidade de ver isto nao esteja categoricamente destacado, parece-me implicito que o(s) autovalor(es) de um operador devam estar no mesmo corpo sobre o qual o operador eh definido. Acho que isto eh de fato mais logico, pois a utilidade do conceito de autovalor estah diretamente ligada aa existencia dos autovetores. Dado que no seu exemplo o corpo do operador linear eh o conjunto dos reais, parece-me mais logico dizer que ele nao tem autovalores, da forma que, quando considerados sobre o corpo dos reais, o polinomio P(x) = x^2 - 2x + 2, assim como a funcao f(x) = e^x + 1, nao tem raizes. Se extendermos o corpo de definicao para os complexos, entao eh diferente. Parece-me tambem que consideracoes deste tipo sao gerais, estao restritas ao universo em que se trabalha. Por exemplo, se vc estah trabalhando com algoritmos de otimizacao, entao o conceito de solucao otima so faz sentido no universo que eh o conjunto das solucoes consideradas viaveis. Se algum vetor x maximiza ou minimiza sua funcao objetivo mas nao pertence ao conjunto viavel, entao ele nao eh solucao otima, pois sequer eh uma solucao. Abracos Artur Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Radiciação em Complexos
jaofisica wrote: Pô, mas será q, mesmo dando um trabalho absurdo, não poderiamos fazer umas somas, e arcos um terço ( não sei se tem como ), não teriamos como trabalhar, e chegar aos valores dos senos e cossenos dos argumentos das raízes, sem ter q saber o argumento do número complexo original? Mas não precisa de tudo isso... dá pra resolver algebricamente sem precisar supor nenhum número inteiro. Seja o numero procurado (a+bi) tal que (a+bi)^3=-11-2i. Logo: (a+bi)^3=(aaa-3abb)+i(3aab-bbb) E portanto: aaa-3abb=-11[I] 3aab-bbb=-2 [II] Mas nós queremos calcular a raiz cúbica de (-11-2i), então o modulo de (a+bi) deve ser a raiz cúbica do módulo de (-11-2i): (a^2+b^2)=((-11)^2+(-2)^2)^(1/3)= (121+4)^(1/3)=125^(1/3)=5 Logo a^2+b^2=5 = b^2=5-a^2 Substituindo em (I): a^3 -3a(5 -a^2)=-11 a^3 -15a +3a^3=-11 4a^3 - 15a + 11 =0 Dessa última eq você tira que a=1 (se você ainda não decorou a equação do Cardano, só precisa notar que a soma dos coeficientes dá zero). De a=1 você substitui e acha b=-2, concluindo que (-11-2i)^(1/3)=1-2i Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED]Vitrum edere possum, mihi non nocet -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
