Re: [obm-l] Triângulos_em_grafos
Este e o famoso teorema de Turan.Tenho uma demo com PIF.A parte dos n triangulos parece meio louca... Vamos ver como um grafo de n vertices nao tem triangulos. n=1, e obvio(ou nao...) que com 1 aresta nao da triangulo Se vale para n=k vamos ver para n=k+1 Basta ver um grafo de 2n+2 vertices sem triangulos, e retirar dois vertices.Os restantes ainda dao um grafo sem triangulos.Agora e so ver quantas arestas saem no maximo de cada vertice fantasma, de modo a nao dar K_3.Este valor seria 2n+1, que com os n^2 restantes serve! Acho que e isso... Não entendi... A seção III do paper abaixo há uma explicação bastante detalhada da teoria de Erdös-Rény sobre grafos randômicos que mencionei na mensagem anterior: http://www.nd.edu/~networks/PDF/rmp.pdf A primeira propriedade de grafos randômicos a ser estudada pelos dois foi o aparecimento de subgrafos. Os exemplos mais simples de subgrafos são ciclos. Um ciclo de ordem k é um loop fechado de k arestas tais que duas arestas consecutivas só tem um nó comum. Isso é, um triângulo é um ciclo de ordem 3, enquanto que um retângulo é um ciclo de ordem 4. Subgrafos completos de ordem k são subgrafos totalmente conectatos, isto é possuem comb(k 2) = k(k-1)/2 arestas. Se começarmos com N nós isolados e conectarmos cada par de nós (vértices) com probabilidade p, para valores pequenos de p os grafos são isolados. Mas a medida que p aumenta vão necessariamente surgindo ciclos de ordem 3, 4 e assim por diante. Uma refraseamento do problema colocado, seria determinar a probabilidade p para a qual todos os grafos contém ciclos de ordem 3. Basicamente os resultados da teoria são os seguintes: Se temos um grafo randômico G=G(N,p) (N vértices conectados com probabilidade p) e seja um subgrafo F contendo k vértices e l arestas. Quantos desses subgrafos podem existir em G? Os resultados básicos da teoria são. (a) a probabilidade crítica de ter um ciclo de ordem k é pc(N) = cN^(-k/(k-1)) (b) a probabilidade crítica de ter um subgrafo completo de ordem k é pc(N)=cN^(-2(k-1)) Obs: Ciclos de ordem 3 podem ser vistos como subgrafos completos de ordem 3 e a probabilidade deles ocorrerem com N arestas é (considerando c = 1) -- []s Ronaldo. L. Alonso. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda
Gostaria de saber, se alguém poderia me ajudar a montar uma lista de conteúdos para ministrar num curso, durante um ano inteiro ,para um grupo de alunos que está iniciando estudos em matemática para olimpíadas. Tanto para primeiro ano quanto para segundo ano. Gostaria de saber também, para quem tem esperiência, se juntando alunos de primeiros e segundos anos dá algum problema??? Desde já, grato __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda
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Re: [obm-l] Qual resposta
Bem, rigorosamente ninguem estah certo. A resposta do livro estaria certa se houvesse no enunciado umas palavras como apenas ou somente. Seu raciocinio falha quando, por exemplo, voce diz que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12; isso eh verdade para multiplos consecutivos. Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Feb 2004 08:34:02 -0200 Subject: [obm-l] Qual resposta Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e números 8 ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 Teoricamente eu sei mais ou menos: fazendo o mmc(4;6) ; mmc(6;12) e mmc(4;12) da 12. -como 12 = 4.3, deduz-se que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12 -como 12 = 6.2, deduz-se que a cada 2 múltiplos de 6, teremos um múltiplo de 4 e 12 -como 12 = 12.1, deduz-se que a cada 1 múltiplos de 12, teremos um múltiplo de 4 e 6, daí : temos 12 múltiplos de 4 - 12/3 = 4 múltiplos de 6 e 12, 12-4= 8 múltiplos só de 4 temos 7 múltiplos de 6 - 6/2 +1 = 4 múltiplos de 4 e 12, 7-4= 3 múltiplos só de 6 temos 5 múltiplos de 12 = 15 múltiplos de 4 = 10 múltiplos de 6, como o quarto múltiplo de 12 = = 12o múltiplo de 4, teremos 1 múltiplo só de 12. Somando tudo : 8 múltiplos só de 4 + 3 múltiplos só de 6 + 1 múltiplo só de 12 + 4 múltiplos de 4, 6 e 12 + + 8 números ímpares = 24 elementos de X (resposta c) No entanto o livro da a resposta d (22). Quem está certo ? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Postulados Axiomas
Ola Pessoal, A difusa distincao entre os conceitos de POSTULADO e AXIOMA nao e um resultado de nossa cultura, mas remonta a Euclides ... este Matematico, na sua famosissima obra Os Elementos, nao faz uma distincao nitida entre estes conceitos, dexando apenas subtendido que : AXIOMA : Principio de raciocinio evidente, aplicavel em outros dominios do conhecimento. Exemplo1 : O todo e maior que qualquer de suas partes. POSTULADO : Principio de raciocinio evidente, util somente na Matematica. Exemplo2 : O Quinto Postulado de Euclides ( o das paralelas ) Vale ressaltar que esta distincao e uma percepcao ulterior a Euclides, nao tendo sido explicitam,ente enunciada por ele. Alem disso, hoje sabemos que aquilo que tomamos como principios em um sistema pode se tornar teoremas em outro. Hoje nao ha distincao - mesmo que subtendida, como em Euclides - declarada e se ha diferencas elas sao de somenos importancia e sobretudo locais. E claramente um dicionario geral nao pode ser fonte de informacao matematica, pois os filologos captam o sentido popular e mais usado das palavras e todos nos sabemos que o povo em geral - por incrivel que pareca ! - nao gosta e nao cultiva a Matematica. E eu aproveito o ensejo pra comentar uma mensagem mais antiga, sobre o ensino da matematica. Alguem - Eu acho que foi o Carissimo colega Jose Francisco -, num momento desta lista nao muito remoto, apresentou as sucessivas versoes de um problema matematico muito simples. Nas primeiras versoes, os alunos eram levadas a pensar; conforme o tempo passava, as novas versoes do problema se limitavam a pedir aos estudantes que verificassem a correcao com base em resultados fornecidos previamente pelo computador e assim sucessivamente. Enfim, a funcao exclusivamente humana da criatividade veio sucessivamente perdendo importancia e procura-se ressaltar o carater algoritmico da questao. Ora, dentre as questoes basicas de toda ciencia, destaca-se : Quem somos ? Isto e, procura-se descobrir a humanidade autentica do homem. Portanto, dado que uma atividade seja essencialmente algoritmica, ela deve ser atribuida a uma maquina, pois sem duvida a nossa humanidade nao vai se revelar ai. Neste sentido, aquilo que praticamos aqui, vale dizer, a Matematica Olimpica, onde se prioriza a criatividade, e uma reacao vigorosa a esta mediocridade reinante. A esse proposito, Godel dizia : ou a Matematica e grande demais para caber no cerebro humano ou o cerebro humano e algo mais que uma simples maquina, isto e, dado que ele havia provado que uma formalizacao de toda a matematica era MUITO improvavel, se o cerebro humano fosse uma maquina, esta maquina nao poderia, em tese, conter toda a Matematica, pois uma maquina de turing universal pressupoe uma forma de formalizacao; todavia, se fosse possivel provar que o cerebro humano nao e uma maquina entao, tambem em tese, no cerebro humano pode caber toda a matematica. Ele tentou provou que o cerebro humano e algo alem de uma simples maquina, mas nao conseguiu. Isto e hoje um problema em aberto. E interessante que na mensagem original do Artur - Postulado - ele cita uma elemento religioso. Nomeadamente, a infalibilidade Pontificia. Isso e claramente off-topic, mas e certo o avatar que fundamenta a religiao cristao e Jesus, que os cristao consideram O Cristo prometido pelos profetas. Jesus e um figura simpatica e falou sobre a nossa natureza : ( Perguntaram a Jesus )-- O que nos somos ? ( Jesus respondeu ) -- Vós sois deuses ! Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,0953,030204 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fwd: Número 10 de la Revista Escolar de la OIM
X-Mailer: s-directMail To: [EMAIL PROTECTED] From: Revista Escolar de la OIM [EMAIL PROTECTED] Subject: Número 10 de la Revista Escolar de la OIM Date: Sun, 1 Feb 2004 19:0:28 +0100 X-Spam-Status: No, hits=1.6 required=5.0 tests=DATE_IN_PAST_12_24,INVALID_DATE,MIME_LONG_LINE_QP, MSG_ID_ADDED_BY_MTA_3 version=2.55 X-Spam-Level: * X-Spam-Checker-Version: SpamAssassin 2.55 (1.174.2.19-2003-05-19-exp) Estimados suscriptores: Ya está en línea el número 10 de la Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática. La dirección es: http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/numero10.htm Los contenidos son: Artículos, Notas y Lecciones de preparación Olímpica J.L.Ayme, Algunos teoremas olvidados. Problemas de Nivel medio y de Olimpiadas Resueltos: solución al problema 2 de la Competición Matemática mediterránea 2003, de M. Amengual, y Comentario del Editor sobre esta solución. Propuestos: los del campamento KSF de Labege, Francia Problemas para los más jóvenes Algunos problemas propuestos en Melbourne 2002. Problemas resueltos Problemas propuestos 46-50 Los Diez Mandamientos del Profesor (según Polya) Comentario de páginas web Maths Problem, de John Scholes (Kalva homepage) Un cordial saludo OEI http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/numero10.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual resposta
Se um número é múltiplo de 12, ele será obrigatoriamente múltiplo de 4 e também de 6, pois 12 é múltiplo de 4 e de 6. Então como o subconjunto X, possui 5 múltiplos de 12, esses 5 números são também múltiplos de 4 e de 6. Quando ele diz que há 12 múltiplos de 4, entre eles estão aqueles cinco múltiplos que são também múltiplos de 12. Assim com entre os 7 múltiplos de 6, estão incluídos os 5 múltiplos de 12. Para contarmos os elementos do conjunto, só podemos contar uma vez cada elemento. Então: Conjunto A = múltiplos de 12 = 5 Conjunto B = múltiplos de 4 = 12 - 5 = 7 Conjunto C = múltiplos de 6 = 7 - 5 = 2 números ímpares = 8 O número de elementos será a soma desses elementos: 5 + 7 + 2 + 8 = 22 elementos. Se fizermos o desenho dos conjuntos dá para visualizar melhor. - Estava aqui tentando fazer essa questão usando a fórmula: n(A) + n(B) + n(C) - n(AinterB)- n(AinterC) - n(BinterC) + n(AinterBinterC) que daria n(AinterB) = achei a razao de 3/2 n(AinterC) = achei a razao de 3/1 n(BinterC) = achei a razao de 2/1 n(AinterBinterC) = achei a razao de 3/2 sendo assim, 12 + 7 + 5 - 2 - 7 - 3 + 2= 14 Somando os numeros impares que daria 22. n(AinterB) = achei a razao de 3/2 Talvez eu tenha viajado nessa ultima resposta... Alguém poderia me dizer se poderia ser feita dessa maneira? Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] wrote: Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6,5 múltiplos de 12 e números 8 ímpares. O número de elementos de X é:a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20Teoricamente eu sei mais ou menos:fazendo o mmc(4;6) ; mmc(6;12) e mmc(4;12) da 12.-como 12 = 4.3, deduz-se que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12-como 12 = 6.2, deduz-se que a cada 2 múltiplos de 6, teremos um múltiplo de 4 e 12-como 12 = 12.1, deduz-se que a cada 1 múltiplos de 12, teremos um múltiplo de 4 e 6, daí :temos 12 múltiplos de 4 - 12/3 = 4 múltiplos de 6 e 12, 12-4= 8 múltiplos só de 4temos 7 múltiplos de 6 - 6/2 +1 = 4 múltiplos de 4 e 12, 7-4= 3 múltiplos só de 6temos 5 múltiplos de 12 = 15 múltiplos de 4 = 10 múltiplos de 6, como o quarto múltiplo de 12 == 12o múltiplo de 4, teremos 1 múltiplo só de 12. Somando tudo :8 múltiplos só de 4 + 3 múltiplos só de 6 + 1 múltiplo só de 12 + 4 múltiplos de 4, 6 e 12 ++ 8 números ímpares = 24 elementos de X (resposta c)No entanto o livro da a resposta d (22).Quem está certo ?_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números....
Oi Crom, Tem algo errado nessa fração. Tome n=5. Então, se não interpretei errado, a fração vale: 4.(4! + 1)/(5.7) = 4.25/(5.7) = 20/7, que não é inteiro... Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- 1)Seja n=2 um número ineiro. Prove que n e n+2 são ambos primos se e somente se 4((n-1)! + 1)/n(n+2) é inteiro. Desde já agradeço a quem fizer. Crom []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números....
1)Seja n=2 um número ineiro. Prove que n e n+2 são ambos primos se e somente se 4((n-1)! + 1)/n(n+2) é inteiro. para n = 2 a proposição falha, pois 2, 4 não são primos, mas 4((2-1)! + 1)/(2*4) = 1. considere então n 2. acho que a proposição que você quer demonstrar não é do tipo sse, já que ela também falha para n = 3, onde 3 e 5 são ambos primos, mas 4((3-1)! + 1)/(3*5) = 12/15. então, modificando a proposição para: Prove que n e n+2 são ambos primos se 4((n-1)! + 1)/n(n+2) é inteiro. suponha que n(n+2) | 4((n-1)! + 1), sabemos que n e n + 2 são ímpares, portanto n(n+2) | ((n-1)! + 1) suponha que ou n ou n+2 não seja primo e p um primo que divida um desses compostos, então p | ((n-1)! + 1), se p = n-1, então p|(n-1)! e isso é absurdo, logo p = n. então n deve ser primo e se n+2 for composto p|n+2 com p = n, o que não é possível, logo ambos devem ser primos. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] irracionais
Como consigo provar que sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) - 3 é irracional?Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Qual resposta
Veja a observaçao entre os x. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Feb 2004 12:02:58 -0200 Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Vc esta certo, mas como o enunciado nw é completo, eu considerei múltiplos consecutivos. assim sendo : (eu já fiz matematicamente, mas vamos provar na prática) 12 múltiplos de 4: 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44 (A) 7 múltiplos de 6: 0,6,12,18,24,30,36 (B) 5 múltiplos de 12: 0,12,24,36,48 x(como o 48 pode estar aqui sem estar em A?)x(C) A inter B inter C = 0,12,24,36 - 4 elementos A - 4 = 8 elementos B - 4 = 3 elementos C - 4 = 1 elemento 8 ímpares Somando: 4+8+3+1+8 = 24 Conclusão: o Morgado ta certo, o enunciado nw diz se os múltiplos sw consecutivos. From: Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 09:24:51 -0300 (ART) Se um número é múltiplo de 12, ele será obrigatoriamente múltiplo de 4 e também de 6, pois 12 é múltiplo de 4 e de 6. Então como o subconjunto X, possui 5 múltiplos de 12, esses 5 números são também múltiplos de 4 e de 6. Quando ele diz que há 12 múltiplos de 4, entre eles estão aqueles cinco múltiplos que são também múltiplos de 12. Assim com entre os 7 múltiplos de 6, estão incluídos os 5 múltiplos de 12. Para contarmos os elementos do conjunto, só podemos contar uma vez cada elemento. Então: Conjunto A = múltiplos de 12 = 5 Conjunto B = múltiplos de 4 = 12 - 5 = 7 Conjunto C = múltiplos de 6 = 7 - 5 = 2 números ímpares = 8 O número de elementos será a soma desses elementos: 5 + 7 + 2 + 8 = 22 elementos. Se fizermos o desenho dos conjuntos dá para visualizar melhor. --- -- Estava aqui tentando fazer essa questão usando a fórmula: n(A) + n(B) + n(C) - n(AinterB) - n(AinterC) - n(BinterC) + n(AinterBinterC) que daria n(AinterB) = achei a razao de 3/2 n(AinterC) = achei a razao de 3/1 n(BinterC) = achei a razao de 2/1 n(AinterBinterC) = achei a razao de 3/2 sendo assim , 12 + 7 + 5 - 2 - 7 - 3 + 2 = 14 Somando os numeros impares que daria 22. n(AinterB) = achei a razao de 3/2 Talvez eu tenha viajado nessa ultima resposta... Alguém poderia me dizer se poderia ser feita dessa maneira? Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] wrote: Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e números 8 ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 Teoricamente eu sei mais ou menos: fazendo o mmc(4;6) ; mmc(6;12) e mmc(4;12) da 12. -como 12 = 4.3, deduz-se que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12 -como 12 = 6.2, deduz-se que a cada 2 múltiplos de 6, teremos um múltiplo de 4 e 12 -como 12 = 12.1, deduz-se que a cada 1 múltiplos de 12, teremos um múltiplo de 4 e 6, daí : temos 12 múltiplos de 4 - 12/3 = 4 múltiplos de 6 e 12, 12-4= 8 múltiplos só de 4 temos 7 múltiplos de 6 - 6/2 +1 = 4 múltiplos de 4 e 12, 7-4= 3 múltiplos só de 6 temos 5 múltiplos de 12 = 15 múltiplos de 4 = 10 múltiplos de 6, como o quarto múltiplo de 12 = = 12o múltiplo de 4, teremos 1 múltiplo só de 12. Somando tudo : 8 múltiplos só de 4 + 3 múltiplos só de 6 + 1 múltiplo só de 12 + 4 múltiplos de 4, 6 e 12 + + 8 números ímpares = 24 elementos de X (resposta c) No entanto o livro da a resposta d (22). Quem está certo ? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da
[obm-l] OT: Antispam do UOL
Olá! Toda vez que mando uma mensagem pra lista recebo pelo menos duas mensagens do sistema Antispam do UOL dizendo que tenho que confirmar o envio da mensagem, blá, blá, blá... Tem como configurar o software que controla a lista para não utilizar o e-mail do remetente original? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] irracionais
sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) - 3 transforme em raízes quadradas de numeros primos. Agora é so utilizar das propriedades!!! sqrt(3.5) + sqrt(2.5) - sqrt(2.3) - 3 Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Como consigo provar que sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) - 3 é irracional? Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Teoria dos números....
Title: Re: [obm-l] Teoria dos números on 03.02.04 02:01, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1)Seja n=2 um número ineiro. Prove que n e n+2 são ambos primos se e somente se 4((n-1)! + 1)/n(n+2) é inteiro. Desde já agradeço a quem fizer. Crom Oi, Crom: O enunciado correto eh: n e n+2 sao ambos primos se e somente se n(n+2) divide 4((n-1)! + 1) + n. Isso eh uma variante do teorema de Wilson pro caso de primos gemeos (primos que diferem de 2). Um abraco, Claudio.
[obm-l] Duvida - triangulo
Alguem sabe como se resolve: - Seja C uma circunferencia de raio R = 4 / (3 ^ 1/2). Analise se é possivel inscrever em C um triangulo cuja área seja numericamente igual ao seu perimetro.Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
Title: Re: [obm-l] Triângulos em grafos on 02.02.04 12:34, Cláudio (Prática) at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Aqui vai um probleminha que, se não me engano, foi inventado pelo Erdos: Seja n um inteiro = 2. Um grafo simples (sem loops e com no máximo uma aresta ligando dois vértices quaisquer) tem 2n vértices e n^2+1 arestas. a) Prove que este grafo contém um triângulo (três vértices sendo que cada dois dos quais são ligados por uma aresta) b) Prove que o grafo contém no mínimo n triângulos. (para as definições relativas a grafos veja os artigos do Shine ou do Paulo César nas Eurekas) Um abraço, Claudio. A minha demonstracao da parte (a) eh por inducao em n: n = 2 == G tem 4 vertices e 5 arestas == G eh igual a K_4 (grafo completo com 4 vertices) com uma aresta removida. Como K_4 contem 4 triangulos e cada uma de suas arestas pertence a dois deles, a remocao de uma aresta qualquer ainda deixa 2 triangulos vivos. Hipotese de Inducao: Qualquer grafo com 2n vertices e n^2 + 1 arestas contem pelo menos 1 triangulo. Seja G um grafo com 2n+2 vertices e (n+1)^2 + 1 arestas. Sejam A e B dois vertices de G ligados por uma aresta. Se existe um terceiro vertice de G ligado por uma aresta a A e B, entao acabou! Caso contrario, o conjunto dos vertices ligados a A e o conjunto dos vertices ligados a B sao disjuntos. Assim, alem da aresta ligando A e B, existirao no maximo mais 2n arestas tendo A ou B como extremidade. Seja H o subgrafo de G obtido pela remocao de A e B e de todas as arestas que tem A ou B (ou ambos) como extremidade. H terah 2n vertices e, no minimo, (n+1)^2 + 1 - (2n + 1) = n^2 + 1 arestas. Pela hipotese de inducao, H (e, portanto, G) deverah conter um triangulo. Imagino que a parte (b) tambem saia por inducao. Pelo menos a base (n=2) eh a mesma... Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
O que é um grafo? Valdery Sousa. _Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 02.02.04 12:34, Cláudio (Prática) at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal:Aqui vai um probleminha que, se não me engano, foi inventado pelo Erdos:Seja n um inteiro = 2. Um grafo simples (sem "loops" e com no máximo uma aresta ligando dois vértices quaisquer) tem 2n vértices e n^2+1 arestas. a) Prove que este grafo contém um triângulo (três vértices sendo que cada dois dos quais são ligados por uma aresta)b) Prove que o grafo contém no mínimo n triângulos.(para as definições relativas a grafos veja os artigos do Shine ou do Paulo César nas Eurekas)Um abraço,Claudio.A minha demonstracao da parte (a) eh por inducao em n:n = 2 == G tem 4 vertices e 5 arestas == G eh igual a K_4 (grafo completo com 4 vertices) com uma aresta removida. Como K_4 contem 4 triangulos e cada uma de suas arestas pertence a dois deles, a remocao de uma aresta qualquer ainda deixa 2 triangulos "vivos".Hipotese de Inducao: Qualquer grafo com 2n vertices e n^2 + 1 arestas contem pelo menos 1 triangulo.Seja G um grafo com 2n+2 vertices e (n+1)^2 + 1 arestas.Sejam A e B dois vertices de G ligados por uma aresta.Se existe um terceiro vertice de G ligado por uma aresta a A e B, entao acabou!Caso contrario, o conjunto dos vertices ligados a A e o conjunto dos vertices ligados a B sao disjuntos. Assim, alem da aresta ligando A e B, existirao no maximo mais 2n arestas tendo A ou B como extremidade. Seja H o subgrafo de G obtido pela remocao de A e B e de todas as arestas que tem A ou B (ou ambos) como extremidade. H terah 2n vertices e, no minimo, (n+1)^2 + 1 - (2n + 1) = n^2 + 1 arestas. Pela hipotese de inducao, H (e, portanto, G) deverah conter um triangulo.Imagino que a parte (b) tambem saia por inducao. Pelo menos a base (n=2) eh a mesma...Um abraco,Claudio.Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Qual resposta
Nao entendi como o livro pode estar errado... parece que 22 e solucao unica dado o enunciado sem ter que adicionar nenhuma palavra. From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 10:00:51 -0200 Bem, rigorosamente ninguem estah certo. A resposta do livro estaria certa se houvesse no enunciado umas palavras como apenas ou somente. Seu raciocinio falha quando, por exemplo, voce diz que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12; isso eh verdade para multiplos consecutivos. Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Feb 2004 08:34:02 -0200 Subject: [obm-l] Qual resposta Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e números 8 ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 Teoricamente eu sei mais ou menos: fazendo o mmc(4;6) ; mmc(6;12) e mmc(4;12) da 12. -como 12 = 4.3, deduz-se que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12 -como 12 = 6.2, deduz-se que a cada 2 múltiplos de 6, teremos um múltiplo de 4 e 12 -como 12 = 12.1, deduz-se que a cada 1 múltiplos de 12, teremos um múltiplo de 4 e 6, daí : temos 12 múltiplos de 4 - 12/3 = 4 múltiplos de 6 e 12, 12-4= 8 múltiplos só de 4 temos 7 múltiplos de 6 - 6/2 +1 = 4 múltiplos de 4 e 12, 7-4= 3 múltiplos só de 6 temos 5 múltiplos de 12 = 15 múltiplos de 4 = 10 múltiplos de 6, como o quarto múltiplo de 12 = = 12o múltiplo de 4, teremos 1 múltiplo só de 12. Somando tudo : 8 múltiplos só de 4 + 3 múltiplos só de 6 + 1 múltiplo só de 12 + 4 múltiplos de 4, 6 e 12 + + 8 números ímpares = 24 elementos de X (resposta c) No entanto o livro da a resposta d (22). Quem está certo ? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Scope out the new MSN Plus Internet Software optimizes dial-up to the max! http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=byoa/plusST=1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
Title: Re: [obm-l] Triângulos em grafos
on 03.02.04 16:03, Valdery Sousa at [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que é um grafo?
Valdery Sousa.
Oficialmente, um grafo simples eh um par ordenado (V,A), onde:
V eh um conjunto nao vazio qualquer;
A eh um conjunto cujos elementos sao pares nao-ordenados de elementos de V, ou seja, conjuntos do tipo {x,y} onde x e y pertencem a V e x y (A pode ser vazio).
Voce pode pensar em V como sendo um conjunto de pontos (no plano, espaco, etc.) e A como um conjunto de segmentos cada um dos quais une dois pontos de V (de forma que cada segmento seja univocamente determinado pelos dois pontos).
Um abraco,
Claudio.
Re: [obm-l] DuvidaFunc.Trig.
Descobri por que o meu resultado deu (-1) !!! Eu supus um denominador igual a cos(x)*(sen(x)^2), ou seja (SOMENTE) o sen(x) elevado ao quadrado e vc supôs que (cos(x)*sen(x))^2). Nao errei o calculo, apenas realizamos equacoes diferentes, pois o enunciado carece de parenteses... Em uma mensagem de 3/2/2004 01:03:18 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pedro, Relevando as incorreções do enunciado, a equação trigonométrica é y = ((cos(x))^3-2*cos(x)+sec(x))/(cos(x)*(sen(x))^2) Como sec(x) = 1/cos(x), logo y = ((cos(x))^4-2*(cos(x))^2+1))/((cos(x)*sen(x))^2) y = ((cos(x))^2*((cos(x))^2-2)+1))/((cos(x)*sen(x))^2) Sabemos que (sen(x))^2+(cos(x))^2 = 1, então y = ((cos(x))^2*((cos(x))^2-2)+(sen(x))^2+(cos(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) y = ((cos(x))^2*((cos(x))^2-1)+(sen(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) Novamente (sen(x))^2+(cos(x))^2 = 1 = (cos(x))^2-1 = -(sen(x))^2, y = (-(cos(x))^2*(sen(x))^2+(sen(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) y = ((sen(x))^2*(1-(cos(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) Da identidade fundamental (sen(x))^2+(cos(x))^2=1 = = (sen(x))^2=1-((cos(x))^2, y = ((sen(x))^4)/(cos(x)*sen(x))^2) Se sen(x) 0 = x k*pi (k pertence aos inteiros), então y = (tg(x))^2 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: pedro rajão To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 02, 2004 3:50 AM Subject: [obm-l] DuvidaFunc.Trig. Se x , y são números reais tais que y=cos^3-2.cos+secx/cos.sen^2x , .: y=? Grato
Re: [obm-l] Qual resposta
Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos de X pode ser qualquer coisa maior que ou igual a 22. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Feb 2004 13:53:35 -0500 Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Nao entendi como o livro pode estar errado... parece que 22 e solucao unica dado o enunciado sem ter que adicionar nenhuma palavra. From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 10:00:51 -0200 Bem, rigorosamente ninguem estah certo. A resposta do livro estaria certa se houvesse no enunciado umas palavras como apenas ou somente. Seu raciocinio falha quando, por exemplo, voce diz que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12; isso eh verdade para multiplos consecutivos. Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Feb 2004 08:34:02 -0200 Subject: [obm-l] Qual resposta Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e números 8 ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 Teoricamente eu sei mais ou menos: fazendo o mmc(4;6) ; mmc(6;12) e mmc(4;12) da 12. -como 12 = 4.3, deduz-se que a cada 3 múltiplos de 4, teremos um múltiplo de 6 e 12 -como 12 = 6.2, deduz-se que a cada 2 múltiplos de 6, teremos um múltiplo de 4 e 12 -como 12 = 12.1, deduz-se que a cada 1 múltiplos de 12, teremos um múltiplo de 4 e 6, daí : temos 12 múltiplos de 4 - 12/3 = 4 múltiplos de 6 e 12, 12-4= 8 múltiplos só de 4 temos 7 múltiplos de 6 - 6/2 +1 = 4 múltiplos de 4 e 12, 7-4= 3 múltiplos só de 6 temos 5 múltiplos de 12 = 15 múltiplos de 4 = 10 múltiplos de 6, como o quarto múltiplo de 12 = = 12o múltiplo de 4, teremos 1 múltiplo só de 12. Somando tudo : 8 múltiplos só de 4 + 3 múltiplos só de 6 + 1 múltiplo só de 12 + 4 múltiplos de 4, 6 e 12 + + 8 números ímpares = 24 elementos de X (resposta c) No entanto o livro da a resposta d (22). Quem está certo ? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Scope out the new MSN Plus Internet Software optimizes dial-up to the max!http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=byoa/plusST=1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] irracionais
eu abusei da notação, quis dizer que 3 e 5 dividem a... logo 15|a (3 e 5 são primos entre si, na verdade são primos) eu mostrei que 15|b² e pelo mesmo raciocínio aplicado ao a, devemos ter 15|b, e portanto mdc(a, b) = 15 e a e b não podem ser primos entre si (e portanto não podem formar uma fração irredutível a/b). [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos em grafos
tente generalizar e ai voce vai ver os pepinos desta sua demo...Mas ela
ta correta
-- Mensagem original --
Helptentei usar contagem (seguindo o esquema de vários teoremas do Proofs
from The Book), ficou interessante:
seja V = {1, 2, ..., 2n} e G = (V, E) nosso querido grafo.
defina d[i] como o grau do vértice i.
é claro que soma{d[i], i=1..2n} = 2|E| = 2(n²+1)
se (i, j) é uma aresta de E e d[i] + d[j] 2n então há um triângulo
contendo a aresta (i, j). (isso me parece óbvio, mas se não for para o
leitor, faça um desenho, é aplicação imediata do PCP).
suponha que d[i] + d[j] = 2n para toda aresta (i, j) de E.
então, somando sobre toda aresta de E:
S := soma{d[i] + d[j], (i, j) em E} = soma{d[i]², i=1..2n} = 1/(2n) *
soma{d[i], i = 1..2n}² = 2|E|²/n
(aqui eu uso a desigualdade de Cauchy)
por outro lado, temos que S = 2n|E|
logo 2n|E| = 2|E|²/n = n²|E| = |E|², o que é absurdo!
isso já mostra que existe pelo menos um triângulo... estou sem tempo pra
verificar a parte mais legal, mas talvez saia desta mesma lógica.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] PEQUENA DÚVIDA!
Oi, pessoal! Gostaria da ajuda de vocês na elucidação do problema abaixo. OK! Jogamos dois dados, interessando-nos os seguintes eventos: primeiro dado, resultado 5; total 7; total 10. Se eu apostar no total 10, uma olhada no primeiro dado, para ver se deu 5, me ajudará (modificará as chances)? Mas se eu apostar no total 7, não adiantará? Abraços! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DuvidaFunc.Trig.
Na verdade, pelo que pude notar, o erro está no seu
cancelamento de (cos(x))^2, que não poderia ter sido feito, haja vista à soma de
termos na quarta linha de sua resolução:
y={[cos^2(x)(cos^2(x) - 1 - 1)] + 1} /
cos^2(x).sen^2(x))
Também obtive y = (tg(x))^2, a partir da suposição
de y = ((cos(x))^3-2*cos(x)+sec(x))/(cos(x)*(sen(x))^2). Se você observar bem,
verá que a minha equação inicialé igual à sua. Em denominador, somente
considerei o quadradona função seno, e não em ambos, conforme dito por
você. Com o posterior desenvolvimento da função secante, aí sim as funções seno
e cosseno ficaram ao quadrado.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, February 03, 2004 5:19
PM
Subject: Re: [obm-l]
DuvidaFunc.Trig.
Descobri por que o meu resultado deu (-1) !!! Eu supus um
denominador igual a cos(x)*(sen(x)^2), ou seja (SOMENTE) o sen(x) elevado
ao quadrado e vc supôs que (cos(x)*sen(x))^2). Nao errei o calculo, apenas
realizamos equacoes diferentes, pois o enunciado carece de parenteses...
Em uma mensagem de 3/2/2004 01:03:18 Hor. de verão leste
da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pedro, Relevando as incorreções do enunciado, a
equação trigonométrica é y =
((cos(x))^3-2*cos(x)+sec(x))/(cos(x)*(sen(x))^2) Como sec(x) =
1/cos(x), logo y = ((cos(x))^4-2*(cos(x))^2+1))/((cos(x)*sen(x))^2)
y = ((cos(x))^2*((cos(x))^2-2)+1))/((cos(x)*sen(x))^2) Sabemos
que (sen(x))^2+(cos(x))^2 = 1, então y =
((cos(x))^2*((cos(x))^2-2)+(sen(x))^2+(cos(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) y
= ((cos(x))^2*((cos(x))^2-1)+(sen(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2)
Novamente (sen(x))^2+(cos(x))^2 = 1 = (cos(x))^2-1 =
-(sen(x))^2, y =
(-(cos(x))^2*(sen(x))^2+(sen(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) y =
((sen(x))^2*(1-(cos(x))^2))/((cos(x)*sen(x))^2) Da identidade
fundamental (sen(x))^2+(cos(x))^2=1 = =
(sen(x))^2=1-((cos(x))^2, y = ((sen(x))^4)/(cos(x)*sen(x))^2)
Se sen(x) 0 = x k*pi (k pertence aos
inteiros), então y = (tg(x))^2 Abraços, Rafael
de A. Sampaio - Original Message - From: pedro
rajão To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 02, 2004 3:50
AM Subject: [obm-l] DuvidaFunc.Trig. Se x , y são números
reais tais que y=cos^3-2.cos+secx/cos.sen^2x , .: y=?
Grato
Re: [obm-l] OT: Antispam do UOL
On Tue, Feb 03, 2004 at 01:32:20PM -0200, Domingos Jr. wrote: Olá! Toda vez que mando uma mensagem pra lista recebo pelo menos duas mensagens do sistema Antispam do UOL dizendo que tenho que confirmar o envio da mensagem, blá, blá, blá... Tem como configurar o software que controla a lista para não utilizar o e-mail do remetente original? O e-mail do remetente original precisa estar presente, é a forma que as pessoas têm de entrar em contato com o autor de uma mensagem por fora da lista. Quem está errado no meu entender é o membro da lista que assina e deixa ligado um anti-spam destes. Já reclamei com duas pessoas que fizeram isso e eles reconfiguraram o anti-spam deles. Não sei quem é o infrator desta vez. Se ele próprio ao ler isso se mancar e agir, melhor. Senão alguém por favor me mande o endereço dele *POR FORA DA LISTA*. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] irracionais
On Tue, Feb 03, 2004 at 02:19:44PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Nao entendi a parte em vermelho abaixo !!! Alguém já explicou a matemática, eu estou aqui para dizer outra coisa. Na minha tela a única coisa que aparece em vermelho (em todas as mensagens) é a linha do Subject. Não suponha que os outros estejam usando o mesmo programa que você, em geral não estão. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PEQUENA DÚVIDA!
Para Nicolau ou quem souber ! Por que A probabilidade de o total ser 10 é 3/36 ? Em uma mensagem de 3/2/2004 21:54:13 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Tue, Feb 03, 2004 at 08:31:42PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal! Gostaria da ajuda de vocês na elucidação do problema abaixo. OK! Jogamos dois dados, interessando-nos os seguintes eventos: primeiro dado, resultado 5; total 7; total 10. Se eu apostar no total 10, uma olhada no primeiro dado, para ver se deu 5, me ajudará (modificará as chances)? Mas se eu apostar no total 7, não adiantará? Outros talvez adivinhem a sua intenção melhor do que eu mas eu não entendo o enunciado. Vou dizer umas coisas relacionadas para ver se ajuda. A probabilidade de o total ser 7 é 6/36 = 1/6. A probabilidade de o total ser 10 é 3/36 = 1/12. Dado que o primeiro dado deu resultado 5, a probabilidade de o total ser 7 é 1/6. Dado que o primeiro dado deu resultado 5, a probabilidade de o total ser 10 também é 1/6.
Re: [obm-l] Duvida - triangulo
Para Paulo ou quem souber ! Nao entendi 2 passagens na demonstracao: 1) A'B' = CA'' + CB'' Nao seria A'B' = CA'' + CB'' ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura aqui na lista) que A'B' = c = A"B" = CA'' + CB'' e imaginando tbem que a alteracao do angulo A`CB` (ou ateh mesmo ACB) nao alterara a igualdade acima pois alterando o angulo A`CB` ou ACB as medidas de A'B' e AB aumentarao respectivamente, e aumentara tbem na mesma proporcao suas respectivas projecoes na razao 1:1, logo nao consigo enxergar uma situacao em que A'B' CA'' + CB'' , mas vejo apenas A'B' = CA'' + CB'' . Espero ter sido claro em minha duvida. Sei que a forma como escreveu esta correta, mas nao seria certo da minha parte ficar com esta duvida. Estou tendo uma duvida e nao objetando ! 2) CA''=CA*cos(B) = b*cos(B) Estou vendo a equacao com uma pequena modificacao CB" = CB*cos(B) = a*cos(B) Ps: Segui a *receita* de como montar uma figura :o), como esta na mensagem, mas nao estao batendo algumas partes. Em uma mensagem de 3/2/2004 22:25:14 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Joao e demais colegas desta lista ... OBM-L, Seja "r" o raio do circulo inscrito no mesmo triangulo. Como 2*r = R e R = 4/(3^(1/2)) segue que r = 2/(3^(1/2)). Mas 3^(1/2) 1. Assim 2/(3^(1/2)) 2 = r 2. Todavia, por outro lado, a area do triangulo e p*r e o perimetro 2*p. Logo p*r = 2*p = r = 2. Vemos que estes resultados sao incompativeis e portanto nao e possivel inscrever em C um triangulo que tenha area numericamente igual ao seu perimetro. Como voce viu acima, o problema e trivialissimo. Se voce nao o resolveu e porque, muito provavelmente, voce nao conhecia a relacao "2*r = R", vale dizer, nao sabia que em qualquer triangulo o raio do circulo circunscrito nunca e menor que o diametro do circulo inscrito. Esta relacao e uma das consequencia da Desigualdade Eduardo Wagner : "Em qualquer triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto". Em simbolos : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Prova : IMAGINE um triangulo de base AB e vertice C. Por este vertice trace uma reta "s" paralela a AB. Prolongue AC no sentido de A para C de um segmento CB' = CB. Seja B'' a projecao de B' em "s". Igualmente, prolongue BC no sentido de B para C de um segmento CA' = CA. Seja A'' a projecao de A' em "s". Ligando A' com B' vemos claramente que os triangulos ABC e A'B'C sao congruentes, pois : CÁ' = CA ( por construcao ) CB' = CB ( por construcao ) angulo A'CB' = angulo ACB ( opostos pelo vertice ) Portanto : A'B' = AB. Por outro lado, claramente : A'B' = CA'' + CB'' e, alem disso, CA''=CA*cos(B)=b*cos(B) e CB''=CB*cos(A)=a*cos(A). Assim : AB=c = a*cos(A) + b*cos(B) Repetindo uma construcao analoga para os outros dois vertices e aplicando o mesmo raciocinio, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) a = b*cos(B) + c*cos(C) Somando as tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) e como a+b+c = 2p, ficara : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) que e COMO QUERIAMOS DEMONSTRAR. Agora, usando a DESIGUALDADE EDUARDO WAGNER prove que R = 2*r. Em verdade, esta elegante desigualdade tem inumeras outras implicacoes surpreendentes e interessantes, nao restritas a geometria. Eu a descobri quando estudei geometria pela primeira vez, nos Livros dos Grandes Mestres Eduardo Wagner e Augusto Morgado, ambos membros desta Lista. O nome que dei a ela foi a forma que encontrei de homenagear um dos Profs que despertaram a minha admiracao pela Matematica. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,2220,030204 From: João Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida - triangulo Date: Tue, 3 Feb 2004 13:29:53 -0300 (ART) Alguem sabe como se resolve: - Seja C uma circunferencia de raio R = 4 / (3 ^ 1/2). Analise se é possivel inscrever em C um triangulo cuja área seja numericamente igual ao seu perimetro.
Re: [obm-l] irracionais
Valeu Dopikas ! Agora ficou claro ! Em uma mensagem de 3/2/2004 18:04:42 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: eu abusei da notação, quis dizer que 3 e 5 dividem a... logo 15|a (3 e 5 são primos entre si, na verdade são primos) eu mostrei que 15|b² e pelo mesmo raciocínio aplicado ao a, devemos ter 15|b, e portanto mdc(a, b) = 15 e a e b não podem ser primos entre si (e portanto não podem formar uma fração irredutível a/b). [ ]'s
Re: [obm-l] Qual resposta
A fundacao C.CHAGAS errou nao dizendo se os multiplos deveriam ser ou nao consecutivos. Em todo caso, uma resolucao por Venn-Euler (diagrama) seria bem rapida !!! Em uma mensagem de 3/2/2004 17:22:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos de X pode ser qualquer coisa maior que ou igual a 22.
