Re: [obm-l] Eureka 01
Leia: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200203/msg00226.html Um abraço, Rafael - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 16, 2004 12:20 AM Subject: [obm-l] Eureka 01 Ola pessoal, Os vertices de um decagono regular convexo ABC...J devem ser coloridos usando-se apenas as cores verde, amarela e azul. De quantos modos isso pode ser feito se vertices adjacentes nao podem receber a mesma cor? a)1022 b)1024 c)1026 d)1524 e)1536 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Solução Correta???
Pessoal, resolvi uma questão de Topologia dos Espaços Métricos envolvendo continuidade de funções e não estou seguroda veracidade do solução. Observem: Definição: Uma aplicação f: M -- N diz-se aberta quando elatransforma abertos de M em abertos de N, i.e., dado um aberto A qualquer em M, então f((A) é um aberto em N. Questão:Seja g: M -- N uma sobrejeção contínua e aberta e f: N -- P uma aplicação qualquer. Mostre que fog:M -- P é contínua se e, ssomente se, fog for contínua. Solução: A parte "==" é trivial,pois a composição de contínuas ainda é contínua. Agora provemos "==": Seja A um aberto qualquer em P. Como fog é contínua, temos que (fog)^(-1) (A) = g^(-1)(f^(-1)(A)) é um conjunto aberto em M. Mas g transfosma abertos de M em abertos de N, assim g[g^(-1)(f^(-1)(A))] é um conjunto aberto em N. Minha dúvida: ??? g[g^(-1)(f^(-1)(A))] = f^(-1)(A) ??? Em caso afirmativo, nossa tese estah provada. Notação: h^(-1)(X) = imagem inversa deA por h. Grato desde já com a possível ajuda de vocês, Éder.Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Eureka 01
Title: Re: [obm-l] Eureka 01 on 16.06.04 00:20, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Os vertices de um decagono regular convexo ABC...J devem ser coloridos usando-se apenas as cores verde, amarela e azul. De quantos modos isso pode ser feito se vertices adjacentes nao podem receber a mesma cor? a)1022 b)1024 c)1026 d)1524 e)1536 Oi, Fael: Uma ideia eh comecar com poligonos pequenos. Assim, seja P(n) = numero de formas de se pintar um n-gono regular nas condicoes do enunciado. Pro triangulo, nao tem muito misterio: P(3) = 3*2*1 = 6 Calculo de P(4): Seja o quadrado ABCD. Imagine que pintamos os vertices A e B com as cores 1 e 2, respectivamente. Se o vertice C tiver a cor 1, entao D poderah ser 2 ou 3. Se o vertice C tiver a cor 3, entao D soh poderah ser 2. Obviamente, C nao poderah ter a cor 2. Logo, fixadas as cores de A e B, teremos 3 possibilidades para as cores dos outros dois vertices. Como podemos escolher as cores de A e B de 3*2 maneiras, o numero total de pinturas distintas dos vertices do quadrado eh 3*2*3 = 18. Ou seja, P(4) = 18. A partir daqui, a melhor ideia que me ocorre eh tentar achar alguma relacao de recorrencia. Considere um n-gono regular e tres vertices adjacentes dele - A, B e C. Ao pintar seus vertices nas condicoes do enunciado (o que pode ser feito de P(n) maneiras distintas), teremos exatamente dois casos: 1) A e C tem cores diferentes. Nesse caso, a cor de B eh unicamente determinada e podemos considerar que esta pintura originou-se de um (n-1)-gono, pintado de acordo com o enunciado, e no qual se inseriu o n-esimo vertice (B) entre dois vertices existentes (A e C -que tinham cores distintas). Isso pode acontecer de P(n-1) maneiras diferentes. 2) A e C tem cores iguais. Nesse caso, podemos considerar que este n-gono originou-se de um (n-2)-gono regular, pintado de acordo com o enunciado, onde um vertice (A) dividiu-se em dois (A e C - da mesma cor), resultando em n-1 vertices, e inseriu-se um vertice (B - de cor diferente) entre os dois (total = n vertices). A cor deste ultimo vertice pode ser escolhida de 2 maneiras distintas. Logo, isso pode acontecer de 2*P(n-2) maneiras diferentes. Assim, temos a recorrencia: P(n) = P(n-1) + 2*P(n-2). Juntamente com P(3) = 6 e P(4) = 18, podemos achar P(n) para qualquer n. Equacao caracteristica: x^2 - x - 2 = 0 == raizes: -1 e 2 == P(n) = A*(-1)^n + B*2^n. P(3) = -A + 8B = 6 P(4) = A + 16B = 18 == A = 2 e B = 1 == P(n) = 2*(-1)^n + 2^n == P(10) = 1026 == alternativa (c). []s, Claudio.
[obm-l] RE: [obm-l] PARADOXO DE DE MÉRÉ!
Olá Jorge e colegas da lista, PRIMEIRO PROBLEMA: Prob. de pelo menos um ¨1¨ , em 1 lancamento de 4 dados: 1 - (5/6)^4 Prob. de pelo menos um duplo ¨1¨ em 24 lancamentos de 2 dados: 1 - [ 1 - (1/6 * 1/6) ]^24, que é igual a 1 - [(35/36)^6] ^4 Trata-se de mostrar que (5/6) ^4 (35/36) ^6 , ou que 6/7 sqrt (35/36) , ou que 36/49 35/36 , isto é , que 36*36 35*49 , o que é claramente verdadeiro : se em vez de 49, o último fator fosse 37, o segundo produto seria apenas uma unidade inferior ao primeiro. E a partir de 38 já tornaria o segundo produto maior que o primeiro. SEGUNDO PROBLEMA: para cada dígito das dezenas, existem 6 dígitos de unidades ( e vice-versa), somando 1+...+6 = 7*3 = 21 Portanto, a soma total é 21*10 + 21 = 231. []s, Rogério. OK! Rogério e demais colegas! Grato pela resolução enviada, pois desconhecia alguns detalhes quanto ao primeiro problema. Uma estória bastante divulgada afirma ter esse problema abaixo se originado numa mesa de jogo e que foi proposto por De Méré, em 1654, a Pascal. Esse incidente supostamente influiu bastante no desenvolvimento da teoria das probabilidades. Na realidade, o problema foi tratado por Cardano por volta de 1501-1576. Mostre que é mais provável conseguir pelo menos um resultado igual a um com quatro dados do que pelo menos um duplo um em 24 lançamentos de dois dados. A resposta é conhecida como o paradoxo de De Méré Aproveitando a carona, vejam a pegadinha do dado: Com dois dados numéricos de 1 a 6, é possível compor vários números de dois dígitos, todos diferentes. Qual é a soma de todos esses números?(DADOS NUMÉRICOS/DADOS PONTILHADOS) Abraços! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Solução Correta???
Title: Re: [obm-l] Solução Correta??? on 16.06.04 06:59, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Minha dúvida: ??? g[g^(-1)(f^(-1)(A))] = f^(-1)(A) ??? Vamos chamar f^(-1)(A) de B. Voce quer saber se g(g^(-1)(B)) = B, onde B eh um subconjunto do contra-dominio de g. Isso nao eh verdade em geral. Por exemplo, se g nao for sobrejetiva, poderemos ter g^(-1)(B) = vazio, para algum B nao vazio, de forma que g(g^(-1)(B)) = g(vazio) = vazio B. Nesse caso, vale apenas a inclusao: g(g^(-1)(B)) estah contido em B: y pertence a g(g^(-1)(B)) == y = g(x), para algum x em g^(-1)(B) == g(x) = y pertence a B. Por outro lado, se g for sobrejetiva, entao vale tambem a inclusao oposta e, portanto, a igualdade: y pertence a B == como g eh sobre, existe x no dominio de g tal que y = g(x) == x pertence a g^(-1)(B) == g(x) = y pertence a g(g^(-1)(B)) []s, Claudio.
[obm-l] RE: [obm-l] PARADOXO DE DE MÉRÉ! - ERRATA
Olá Jorge e colegas da lista, PRIMEIRO PROBLEMA: Prob. de pelo menos um ¨1¨ , em 1 lancamento de 4 dados: 1 - (5/6)^4 Prob. de pelo menos um duplo ¨1¨ em 24 lancamentos de 2 dados: 1 - [ 1 - (1/6 * 1/6) ]^24, que é igual a 1 - [(35/36)^6] ^4 Trata-se de mostrar que (5/6) ^4 (35/36) ^6 , ou que 6/7 sqrt (35/36) , ou que 36/49 35/36 , isto é , que 36*36 35*49 , o que é claramente verdadeiro : se em vez de 49, o último fator fosse 37, o segundo produto seria apenas uma unidade inferior ao primeiro. E a partir de 38 já tornaria o segundo produto maior que o primeiro. SEGUNDO PROBLEMA (corrigido): para cada dígito das dezenas, existem 6 dígitos de unidades ( e vice-versa), somando 1+...+6 = 7*3 = 21 Portanto, a soma total é 6*21*10 + 6*21 = 1386 []s, Rogério. OK! Rogério e demais colegas! Grato pela resolução enviada, pois desconhecia alguns detalhes quanto ao primeiro problema. Uma estória bastante divulgada afirma ter esse problema abaixo se originado numa mesa de jogo e que foi proposto por De Méré, em 1654, a Pascal. Esse incidente supostamente influiu bastante no desenvolvimento da teoria das probabilidades. Na realidade, o problema foi tratado por Cardano por volta de 1501-1576. Mostre que é mais provável conseguir pelo menos um resultado igual a um com quatro dados do que pelo menos um duplo um em 24 lançamentos de dois dados. A resposta é conhecida como o paradoxo de De Méré Aproveitando a carona, vejam a pegadinha do dado: Com dois dados numéricos de 1 a 6, é possível compor vários números de dois dígitos, todos diferentes. Qual é a soma de todos esses números?(DADOS NUMÉRICOS/DADOS PONTILHADOS) Abraços! _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] |sen(n)|^(1/n)
Oi, pessoal:
Sabemos que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x_n = sen(n) eh
o intervalo [-1,1].
Alem disso, o Gugu demonstrou, ha algum tempo, que o conjunto dos valores de
aderencia de y_n = sen(n)^n eh {-1,0,1}.
E quanto a sequencia z_n = |sen(n)|^(1/n)?
Eu acho que z_n converge para 1, pois mesmo no caso das subsequencias de
|sen(n)| que convergem pra 0, a raiz n-esima consegue puxa-las para 1.
Gostaria dos comentarios de voces sobre o meu argumento abaixo.
---
Pi eh irracional. Logo, existe uma sequencia de pares de inteiros (p_n,q_n)
tais que q_1 = 1 e para n = 2:
q_n = menor inteiro q_(n-1), para o qual existe algum inteiro p_n que
satisfaca:
0 |Pi - p_n/q_n| 1/(q_n)^2 == 0 |q_n*Pi - p_n| 1/q_n.
Tomando n = 1, 2, 3, ..., a sequencia dos p_n vai se aproximar cada vez mais
dos correspondentes Pi*q_n. Para essa sequencia, vale sen(p_n) - 0.
Alem disso, a sequencia (p_n) estah unicamente determinada, ou seja, para
cada q_n, existe exatamente um p_n que satisfaz as desigualdades acima. Alem
disso, dada a forma (exaustiva) como os q_n foram definidos, qualquer
subsequencia de sen(n) que converge para 0 vai ter que ser, a partir de
algum ponto, uma subsequencia de sen(p_n).
---
Por outro lado, Pi eh um numero diofantino. Isso implica que existe um
inteiro positivo r, tal que, quaisquer que sejam os inteiros positivos p e
q, |Pi - p/q| 1/q^(r+1).
Assim, |Pi*q - p| 1/q^r 0 quaisquer que sejam p e q.
Como estamos interessados nos inteiros q = q_n e p = p_n, os quais
satisfazem: 0 |q_n*Pi - p_n| 1/q_n, teremos, necessariamente,
3 = p_n/q_n = 4 == 3q_n = p_n = 4q_n == 1/p_n = 1/(3q_n).
Com estas restricoes, vale o seguinte:
1 |sen(p_n)| = sen(|Pi*q_n - p_n|) sen(1/q_n^r)
(1/q_n^r)*(1 - (1/6)*(1/q_n^r)^2) = (6q_n^2 - 1)/(6q_n^3) 0.
Logo,
1 |sen(p_n)|^(1/p_n) ((6q_n^2 - 1)/(6q_n^3))^(1/(3q_n)) - 1,
quando n - infinito.
Logo, para qualquer subsequencia de sen(n) que tende a 0, a subsequencia
correspondente de |sen(n)|^(1/n) tende a 1.
Eh claro que se alguma subsequencia de sen(n) - a 0, entao, com mais
razao ainda, a subsequencia correspondente de |sen(n)|^(1/n) - 1.
Em suma, lim |sen(n)|^(1/n) = 1.
[]s,
Claudio.
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[obm-l] Re: [obm-l] Raízes cúbicas
Esse problema é do livro "Problemas Selecionados de Matemática". Como se prova que, para n = 2, a tal soma nunca eh inteira? Dê só uma dica por favor. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 14 Jun 2004 19:54:18 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Raízes cúbicas on 14.06.04 14:42, Fábio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tô enrolado nesse:Ajudem-me por favor Se 1^1/3+2^1/3+3^1/3+4^1/3+...+n^1/3 = 2n então o valor de n é:a) 29b) 33c) 41d) 49e) 53O enunciado estah dizendo que a soma de raizes cubicas dos inteiros de 1 a n eh igual a 2n?Aqui vai um outro problema: prove que, para n = 2, a tal soma nunca eh inteira. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 14/06/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes cúbicas
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes cúbicas Seja S = 1 + 2^(1/3) + ... + n^(1/3). A minha ideia foi tomar o maior primo p tal que p = n e dai considerar o corpo: K = Q(2^(1/3),3^(1/3),...,q^(1/3)), onde q = maior primo menor do que p. Sabemos que S - p^(1/3) pertence a K, mas p^(1/3) nao pertence a K. Logo, S = (S - p^(1/3)) + p^(1/3) nao pode pertencer a K. Em particular, S nao eh inteiro. []s, Claudio. on 16.06.04 12:23, fgb1 at [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse problema é do livro Problemas Selecionados de Matemática. Como se prova que, para n = 2, a tal soma nunca eh inteira? Dê só uma dica por favor. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 14 Jun 2004 19:54:18 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Raízes cúbicas on 14.06.04 14:42, Fábio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tô enrolado nesse: Ajudem-me por favor Se 1^1/3+2^1/3+3^1/3+4^1/3+...+n^1/3 = 2n então o valor de n é: a) 29 b) 33 c) 41 d) 49 e) 53 O enunciado estah dizendo que a soma de raizes cubicas dos inteiros de 1 a n eh igual a 2n? Aqui vai um outro problema: prove que, para n = 2, a tal soma nunca eh inteira. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra http://www.emailprotegido.terra.com.br/ . Scan engine: VirusScan / Atualizado em 14/06/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854
[obm-l] Convexidade - Ajuda
Preciso provar que o fecho de um conjunto convexo é convexo. Pensei o seguinte: Todos os pontos pertencentes a um conjunto convexo A são pontos de aderência desse conjunto, pois, pela definição de convexidade, dados c e d pertencentes a A, cada t (em tc + (t - 1)d, t entre 0 e 1) define um ponto em A e pra qualquer t (tão pequeno quanto se queira) haverá outro ainda menor, gerando um ponto ainda mais próximo de c. Logo, haverá uma seqüência cujo limite é c; portanto, c é um ponto de aderência. Se o conjunto A for fechado, a prova está concluída pois o fecho de A será o próprio A. Caso contrário, acho que (i) deve-se mostrar que o fecho de A inclui pontos externos a A. Está certo até aqui? Como eu faço pra terminar? Acho que provado (i) a demonstração está completa visto que, tomados dois pontos aderentes e externos a A (o caso de pontos aderentes internos já foi provado) qualquer ponto entre eles também será aderente. Aguardo ajuda. [ ]'s --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
An introduction to the calculus of finite differences Richardson == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 16 Jun 2004 15:55:30 -0300 Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um problema interessante
Title: Re: [obm-l] Um problema interessante
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.
Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.
T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:
b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).
Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.
Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:
x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n,
onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.
Teremos:
||x - y|| =
||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =
raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
(pois a base {a_i} eh ortonormal).
Alem disso:
||T(x) - T(y)|| =
||T(x - y)|| =
||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =
|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
M*raiz(n)*||x - y||
Ou seja, T eh Lipschitziana.
Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:
||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.
Ou seja, T eh uniformemente continua.
A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.
O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).
Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:
T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.
Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.
Logo, T nao obedece ao teorema do valor intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante:
Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua.
Éder.
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Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Ou as notas de aula do Milne e do Chapman.
www.jmilne.org
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Chico:A demonstracao disso nao eh muito simples e pode ser encontrada em alguns livros sobre teoria de Galois.Por exemplo: Galois Theory (autor: Ian Stewart)[]s,Claudio.on 12.06.04 23:27, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria que alguém me desse uma ajuda no problema abaixo:Definição: Um polígono diz-se construtível se todos os seus vértices são pontos construtíveis de R^2.Se p é um número primo =3 e um polígono regular de p lados é construtível (por régua e compasso) então existe r natural tal quep = 2^(2^s) + 1 (número de Fermat).Obs.: Estava tentando usar os seguintes fatos:(i) Um polígono regular de n lados, P_n, é construtível se e, só se,o ponto X_n = (cos(2pi/n), sen(2pi/n)) é um ponto construtível de R^2.(ii) E_R é uma extenção algébrica dos racionais tal que para todo c construtível temos que o grau [Q[c]:Q] é uma potência de 2.
Obs.: E_R = {c em R; c é construtrível}; R = números reais.Certo da ajuda de alguém, Chico (Irmão do Éder).
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)
N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia. Vou seguir a ideia do Morgado. Leandro Lacorte Recova wrote: Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Encontrei este grupo meio sem querer e, como vou
começar a faculdade de Matemática no próximo semestre, achei que seria legal
participar, ainda que seja cedo para o nível que eu acho que o pessoal
tem.
Encontrei este grupo quando estava procurando
uma resposta para um problema que vocês certamente vão achar muito bobo mas eu
realmente não consegui resolver. Segue abaixo:
Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com
peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero
saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as
outras.
Obrigada,
Vania.
- Original Message -
From:
Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, June 16, 2004 5:07
PM
Subject: Re: [obm-l] Polígonos
Construtíveis
Ou as notas de aula do Milne e do Chapman.
www.jmilne.org
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi,
Chico:A demonstracao disso nao eh muito simples e pode ser
encontrada em alguns livros sobre teoria de Galois.Por exemplo:
Galois Theory (autor: Ian Stewart)[]s,Claudio.on
12.06.04 23:27, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria que alguém me desse uma ajuda no problema
abaixo:Definição: Um polígono diz-se construtível se todos os seus
vértices são pontos construtíveis de R^2.Se p é um número primo
=3 e um polígono regular de p lados é construtível (por régua e
compasso) então existe r natural tal quep = 2^(2^s) + 1 (número de
Fermat).Obs.: Estava tentando usar os seguintes
fatos:(i)
Um polígono regular de n lados, P_n, é construtível se e, só
se,o
ponto X_n = (cos(2pi/n), sen(2pi/n)) é um ponto construtível de
R^2.(ii)
E_R é uma extenção algébrica dos racionais tal que para todo c
construtível temos que o grau
[Q[c]:Q] é uma potência de 2.
Obs.:
E_R = {c em R; c é construtrível}; R = números reais.Certo da
ajuda de alguém, Chico (Irmão do Éder).
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE
MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles
Fields)
N.F.C. (Ne Fronti Crede)
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RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Eu estava brincando. A ideia do Morgado e excelente. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 1:14 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia. Vou seguir a ideia do Morgado. Leandro Lacorte Recova wrote: Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Polígonos_Constr utíveis
1)DIVIDA AS BOLAS EM 2 GRUPOS DE 6 , E PONHA NA BALANÇA A QUE PESAR MAIS CONTEM A BOLA MAIS PESADA 2)AGORA DIVIDA O GRUPO DE 6 EM 2 DE TRES , O QUE PESAR MAIS CONTEM A BOLA MAIS PESADA 3) ENTAO AGORA TENHO 3 BOLAS , PESO 2 DE UM LADO E UMA DO OUTRO SE A BALANÇA PESAR MAIS DO LADO QUE SO TEM UMA BOLA ENTAO ESSA É A MAIS PESADA , SENAO SERA NECESSARIO ,MAIS UMA PESAGEM UM ABRAÇO ESPERO TER AJUDADO ( REINALDO BELLINI GONÇALVES ) _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Polígonos_Construtíveis
Quem te disse que a bola de peso diferente do das demais é mais pesada? == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 16 Jun 2004 19:06:00 -0300 Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Polígonos_Constr utíveis 1)DIVIDA AS BOLAS EM 2 GRUPOS DE 6 , E PONHA NA BALANÇA A QUE PESAR MAIS CONTEM A BOLA MAIS PESADA 2)AGORA DIVIDA O GRUPO DE 6 EM 2 DE TRES , O QUE PESAR MAIS CONTEM A BOLA MAIS PESADA 3) ENTAO AGORA TENHO 3 BOLAS , PESO 2 DE UM LADO E UMA DO OUTRO SE A BALANÇA PESAR MAIS DO LADO QUE SO TEM UMA BOLA ENTAO ESSA É A MAIS PESADA , SENAO SERA NECESSARIO ,MAIS UMA PESAGEM UM ABRAÇO ESPERO TER AJUDADO ( REINALDO BELLINI GONÇALVES ) __ ___ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Pese 3 de cada lado e deixe 6 de lado Se igualar a diferente está num das 6 Pese 2 a 2 dessas 6 se der igual a bola diferente está numa das outras 2 guardadas agora dessas 2 restantes, pegue uma e compare com qualquer uma das outras bolas q sabe q tem peso padrao se der igual a bola diferente é a que nao pesou ainda, mas nao achei forma de descobrir se esta é mais ou menos pesada que as outras. MauZ Vania Ioott escreveu: Encontrei este grupo meio sem querer e, como vou começar a faculdade de Matemática no próximo semestre, achei que seria legal participar, ainda que seja cedo para o nível que eu acho que o pessoal tem. Encontrei este grupo quando estava procurando uma resposta para um problema que vocês certamente vão achar muito bobo mas eu realmente não consegui resolver. Segue abaixo: Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. Obrigada, Vania. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] CADEIAS DE MARKOV!
Caro Rogério, já nem sei como agradecê-lo pelas elucidações enviadas e mais uma vez sou grato pela sua atenção. Quanto à pegadinha do dado a resposta que consta vale 2211, talvez pelo fato do dado numérico ser diferente do dado pontilhado considerando que o número 6 é o número 9 invertido ou vice-versa. Para se sincero, não gosto deste tipo de pegadinha com interpretações dúbias. Deixando a profundidade de lado, vamos à um assunto que já é familiar à lista. Os hábitos de fumar de um homem são como segue. Se ele fuma cigarros com filtro numa semana, ele muda para cigarros sem filtro na semana seguinte com probabilidade 0,2. Por outro lado, a probabilidade de que ele fume cigarros sem filtro, em duas semanas seguidas é 0,7. A longo prazo, durante que parte do tempo ele fuma cigarros com filtro? Um abraço à todos! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos_Construtíveis
tem um jeito de descobrir se o lado que sobe é que temuma bola mais leve das demais ou se é a quedesce que tem uma mais pesada?Maurizio [EMAIL PROTECTED] wrote: Pese 3 de cada lado e deixe 6 de ladoSe igualar a diferente está num das 6Pese 2 a 2 dessas 6se der igual a bola diferente está numa das outras 2 guardadasagora dessas 2 restantes, pegue uma e compare com qualquer uma das outras bolas q sabe q tem peso padraose der igual a bola diferente é a que nao pesou ainda, mas nao achei forma de descobrir se esta é mais ou menos pesada que as outras.MauZVania Ioott escreveu: Encontrei este grupo meio sem querer e, como vou começar a faculdade de Matemática no próximo semestre, achei que seria legal participar, ainda que seja cedo para o nível que eu acho que o pessoal tem. Encontrei este grupo quando estava procurando uma resposta para um problema que vocês certamente vão achar muito bobo mas eu realmente não consegui resolver. Segue abaixo: Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. Obrigada, Vania.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] CADEIAS DE MARKOV!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: [...] Os hábitos de fumar de um homem são como segue. Se ele fuma cigarros com filtro numa semana, ele muda para cigarros sem filtro na semana seguinte com probabilidade 0,2. Por outro lado, a probabilidade de que ele fume cigarros sem filtro, em duas semanas seguidas é 0,7. A longo prazo, durante que parte do tempo ele fuma cigarros com filtro? [...] A matriz de transição da cadeia é 1/10*[8 3; 2 7], que tem apenas um autovetor com autovalor associado igual a 1, que é t*(3, 2). Como a soma das probabilidades tem que valer 1, t vale 5, logo ele fuma cigarros com filtro com probabilidade 3/5 a longo prazo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0OPJalOQFrvzGQoRAvgHAJ9lKn7LfmkOrHAG6nBJLJF0CMbpNwCfSqaW HWD7M5VPbrVDHoVObC15Fe4= =gnoC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Vania Ioott wrote: Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. Aff, mais difícil do que parece inicialmente: Pesagem 1: separe as bolinhas em três grupos A, B e C com quatro bolinhas cada e faça a pesagem de A e B. Se der igual, a bolinha diferente está em C [caso 1], senão está em A ou B [caso 2] [caso 1] Pesagem 2: pegue três bolinhas de C: C1, C2 e C3, e pese com três bolinhas de B quaisquer. Resultados possíveis: C1,C2,C3 sobem: uma delas é mais leve [1a] C1,C2,C3 descem: uma delas é mais pesada [1b] pratos iguais: C4 é diferente [1c] [caso 1a] Pesagem 3: Pese C1 com C2. Resultados possíveis: C1 sobe: C1 é a mais leve C1 desce: C2 é a mais leve pratos iguais: C3 é a mais leve [caso 1b] Pesagem 3: Pese C1 com C2. Resultados possíveis: C1 sobe: C2 é a mais pesada C1 desce: C1 é a mais pesada pratos iguais: C3 é a mais pesada [caso 1c] Pesagem 3: Pese C4 com uma qualquer de B. C4 sobe: C4 é a mais leve C4 desce: C4 é a mais pesada pratos iguais: o enunciado tá com bug [caso 2] Pesagem 2: Da pesagem 1 você sabe se A é mais pesado ou mais leve que B. Então agora você faz a pesagem D=(A1, A2, B1, B2) com E=(A3, B3, C1, C2), onde C1 e C2 são bolinhas quaisquer de C. Aqui você tira bolinhas possivelmente diferentes pela tabela da verdade: (se a bolinha diferente for mais pesada): D pesadoD leve D igual A pesadoA1, A2 A3 A4 A leve B1, B2 B3 B4 (se a bolinha diferente for mais leve): D pesadoD leve D igual A pesadoB3 B1,B2 B4 A leve A3 A1,A2 A4 Isso deixa nos deixa com três casos distintos: [caso 2a, D pesado] Pesagem 3: Sejam P1, P2 as bolinhas possivelmente mais pesadas e L a bolinha possivelmente mais leve. Pese P1 com P2. Resultados possíveis: P1 sobe: P2 é a mais pesada P1 desce: P1 é a mais pesada pratos iguais: L é a mais leve [caso 2b, D leve] Pesagem 3: Sejam L1, L2 as bolinhas possivelmente mais leves e P a bolinha possivelmente mais pesada. Pese L1 com L2. Resultados possíveis: L1 sobe: L1 é a mais leve L1 desce: L2 é a mais leve pratos iguais: P é a mais pesada [caso 2c, D igual] Pesagem 3: Pese A4 com uma bolinha C qualquer. Os resultados agora dependem também da primeira pesagem: A pesado, A4 desce: A4 é a mais pesada A pesado, A4 sobe: bug A pesado, A4 igual: B4 é a mais leve A leve, A4 desce: bug A leve, A4 sobe: A4 é a mais leve A leve, A4 igual: B4 é a mais pesada E isso encerra todos os casos (uff). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Ki tal assim: Divide em 3 grupos de 4 ABCD, wxyz, 1234 1a pesagem ABCD X 1234 caso ABCD=1234 temos entao para as 12 bolas e wxyz 2a pesagem xyz X NNN caso xyz=NNN entao temos NNNw 3a pesagem w X N e sabemos se w e mais pesada ou mais leve caso xyz NNN entao sabemos que a bola diferente eh mais leve 3a pesagem x X y caso x=y temos ki a bola mais leve eh z caso xy temos ki a bola mais leve eh x caso xy temos ki a bola mais leve eh y caso xyz NNN eh analogo a xyz NNN so que a bola diferente e mais pesada caso ABCD 1234 (podemos arbitrariamente chamar de ABCD o lado mais leve) 2a pesagem 12AN X NC34 caso 12AN NC34 temos que ou A e mais leve, ou 34 e mais pesado 3a pesagem 3 X 4 caso 3=4 temos ki A eh a bola mais leve caso 34 temos ki 4 eh a bola mais pesada caso 34 temos ki 3 eh a mais pesada caso 12AN = NC34 temos ki B ou D eh a mais leve 3a pesagem B X D caso BD temos ki B eh a mais leve caso BD temos ki D eh a mais leve caso 12AN NC34 ou 12 eh mais pesado ou C eh mais leve 3a pesagem 1 X 2 caso 1=2 temos ki C eh a bola mais leve caso 12 temos ki 2 eh a bola mais pesada caso 12 temos ki 1 eh a mais pesada Confere ai mas acho ki ta tudo certo From: Maurizio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis Date: Wed, 16 Jun 2004 19:41:54 -0300 Pese 3 de cada lado e deixe 6 de lado Se igualar a diferente está num das 6 Pese 2 a 2 dessas 6 se der igual a bola diferente está numa das outras 2 guardadas agora dessas 2 restantes, pegue uma e compare com qualquer uma das outras bolas q sabe q tem peso padrao se der igual a bola diferente é a que nao pesou ainda, mas nao achei forma de descobrir se esta é mais ou menos pesada que as outras. MauZ Vania Ioott escreveu: Encontrei este grupo meio sem querer e, como vou começar a faculdade de Matemática no próximo semestre, achei que seria legal participar, ainda que seja cedo para o nível que eu acho que o pessoal tem. Encontrei este grupo quando estava procurando uma resposta para um problema que vocês certamente vão achar muito bobo mas eu realmente não consegui resolver. Segue abaixo: Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. Obrigada, Vania. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Toolbar provides one-click access to Hotmail from any Web page FREE download! http://toolbar.msn.click-url.com/go/onm00200413ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria dos Complexos
Gostaria que vocês me indicassem sites onde posso encontrar teoria, aplicações e exercícios resolvidos sobre NÚMEROS COMPLEXOS APLICADOS EM GEOMETRIA, ou GEOMETRIA COM NÚMEROS COMPLEXOS. Acho que é a mesma coisa. Obrigado Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
