[obm-l] Teoria do Caos Problema P vs. NP

2005-01-18 Por tôpico Ivan Miranda 

Pessoal,

Desculpem-me por não falar as minhas intenções no último problema enviado, mas esqueci. Só queria saber, supondo que aquele número pudesse existir (me refiro ao "0,000...01 é diferente de 0?"), e realmente havia infinitos zeros "antes" do 1. Espero não ter causado problemas.
Mas peço que respondam a essa minha pergunta com qualquer tipo deresposta(detalhada ou simples),porém que diga algo sobre e osenglobe de uma forma geral de relação: isso do problema pode ser explicado com aquilo, o problema não pode ser resolvido sem a teoria porque..., a teoria tem tudo a ver com o problema, porque...,entre outros (esses exemplossão só para ilustrar epodem estar errados).

- Qual a relação da Teoria do Caos com o Problema P vs. NP?

Desculpem qualquer coisae obrigado pela atenção,
Ivan Miranda.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/

RE: [obm-l] PROBLEMinha

2005-01-18 Por tôpico fgb1 

Caro amigo, só não entendi 2 coisas:
Como vc concluiu que s = 3y
e resolvendo o sistema todo, econtramos:
x=20
y=10
z=40
s=30

Assim, x+y+z+S=100(ok!)
z=2/3*(x+z)(oK!)
mas,
s=3/4(y+z) não confere!





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 17 Jan 2005 12:44:51 +




Assunto:
[Desejados] RE: [obm-l] PROBLEMinha






 x=numero de alunos que acertaram somente a 1a questao
 y=numero de alunos que acertaram somente a 2a questao
 z=numero de alunos que acertaram a 1a e 2a
 s=numero de alunos que nao acertaram nenhuma
 x+y=30(I)
 z=(x+z)*3/3
 s=(y+z)*3/4
 Daí tiramos que:
 s=3y
 z=2x
 logo
 x+y+z+s=100
 3x+4y=100(II)
 Resolvendo-se o sistema I e II
 y=10
 e
 s=30
 From: "Fabio" <[EMAIL PROTECTED]>
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: "obm" 
 Subject: [obm-l] PROBLEMinha
 Date: Mon, 17 Jan 2005 01:12:21 -
 
 
 Caros amigos, já interpretei o problemas de maneiras diferentes e não 
 consegui achar a resposta.
 Alguém pode me ajudar?
 Valeu.
 
 Uma turma com 100 alunos fez um teste com duas questões. Verificou-se na 
 correção que:
 1.1) 30 alunos acertaram apenas uma questão;
 1.2) entre os que acertaram a primeira questão, 2/3 também acertaram a 
 segunda questão;
 1.3) entre os que erraram a primeira questão, 3/4 também erraram a segunda 
 questão;
 Determine quantos alunos erraram as duas questões
 a) 15 b) 18 c) 24 d) 28 e) 30
 
 
  
 
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RE: [obm-l] PROBLEMinha

2005-01-18 Por tôpico saulo bastos 
 z=(x+z)*3/3
esta errado e:
z=(x+z)*2/3
 s=(y+z)*3/4
esta errado e:
 s=(y+s)*3/4
e que eu escrevi em uma folha primeiro e depois eu passei para o computador, 
se vc fizer o diagrama de baloes, 2 baloes em volta de um quadrado vc 
visualiza melhor, z é a intercessao, um balao menos a intercessao é x e o 
outro balao menos a intercessao é y, e o que esta por fora dos baloes é s, 
que é os que nao acertaram nenhuma questao.
Desculpe o incomodo, saulo.

From: fgb1 [EMAIL PROTECTED]
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To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] PROBLEMinha
Date: Tue, 18 Jan 2005 09:53:08 -0300
Caro amigo, só não entendi 2 coisas:
Como vc concluiu que s = 3y
e resolvendo o sistema todo, econtramos:
x=20
y=10
z=40
s=30
Assim, x+y+z+S=100(ok!)
z=2/3*(x+z)(oK!)
mas,
s=3/4(y+z) não confere!
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 17 Jan 2005 12:44:51 +
Assunto:[Desejados] RE: [obm-l] PROBLEMinha

 x=numero de alunos que acertaram somente a 1a questao
 y=numero de alunos que acertaram somente a 2a questao
 z=numero de alunos que acertaram a 1a e 2a
 s=numero de alunos que nao acertaram nenhuma
 x+y=30(I)
 z=(x+z)*3/3
 s=(y+z)*3/4
 Daí tiramos que:
 s=3y
 z=2x
 logo
 x+y+z+s=100
 3x+4y=100(II)
 Resolvendo-se o sistema I e II
 y=10
 e
 s=30
 From: Fabio
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm
 Subject: [obm-l] PROBLEMinha
 Date: Mon, 17 Jan 2005 01:12:21 -
 
 
 Caros amigos, já interpretei o problemas de maneiras diferentes e não
 consegui achar a resposta.
 Alguém pode me ajudar?
 Valeu.
 
 Uma turma com 100 alunos fez um teste com duas questões. Verificou-se 
na
 correção que:
 1.1) 30 alunos acertaram apenas uma questão;
 1.2) entre os que acertaram a primeira questão, 2/3 também acertaram a
 segunda questão;
 1.3) entre os que erraram a primeira questão, 3/4 também erraram a 
segunda
 questão;
 Determine quantos alunos erraram as duas questões
 a) 15 b) 18 c) 24 d) 28 e) 30
 
 
  
 

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Re: [obm-l] Problemas em aberto - prob 10

2005-01-18 Por tôpico Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira 
   Caro Demetrio,
   Parece que os únicos contra-exemplos para isso são (A,B,C)=(2^m+1,2^m-1,2),
para m=1. Além disso, acho que é possível provar algo bem mais forte (para
k grande): P tem pelo menos 2^k-k fatores primos distintos. Isso já é maior
que k+1 se k=3. Vamos então provar isso primeiro e depois analisar os casos
k=1 e k=2.
   Vamos usar polinômios ciclotômicos, que são polinômios phi_n(x),
indexados pelos inteiros positivos n que aparecem na fatoração de x^n-1:
para cada inteiro positivo n, x^n-1=produto(d divide n)(phi_d(x)). Isso
define os phi_n(x) por recorrência; temos
phi_n(x)=produto(1=k=n,mdc(k,n)=1)(x-e^(2.k.pi.i/n)), donde o grau de
phi_n(x) é phi(n) (aqui phi é a função de Euler). Segue da primeira
definição, via fatoração, por indução, que, para todo n, phi_n(x) tem
coeficientes inteiros e coeficiente líder 1. É possível provar que, para
todo n, phi_n(x) é um polinômio irredutível, mas não vamos usar isso aqui.
   Temos A^c-B^c=B^c.((A/B)^c-1)=B^c.produto(d divide c)(phi_d(A/B))=
=produto(d divide c)(B^phi(d).phi_d(A/B)). Como phi_d(x) é um polinômio
mônico com coeficientes inteiros de grau phi(d), m_d:=B^phi(d).phi_d(A/B) é
inteiro, e produto(d divide c)(m_d)=A^c-B^c (e logo m_d é divisor de A^c-B^c, 
para todo d divisor de c). Note que c tem 2^k divisores, e assim conseguimos 
escrever A^c-B^c como produto dos 2^k números m_d. Vamos agora examinar 
possíveis fatores primos comuns dos m_d. Vejamos primeiramente que se q é um 
primo que não divide mmc(d,r) então q não pode dividir simultaneamente m_d e 
m_r (desde que d seja distinto de r). De fato, f(x)=B^d.phi_d(x/B) e
g(x)=B^r.phi_r(x/B) são fatores de x^mmc(d,r)-B^mmc(d,r), e se m_d=f(A) e
m_r=g(A) são múltiplos de q, A é raiz pelo menos dupla de
x^mmc(d,r)-B^mmc(d,r) módulo q (isto é, sobre o corpo Z/qZ), donde é raiz de
sua derivada mmc(d,r).x^(mmc(d,r)-1). Como q não divide mmc(d,r), deve
dividir A^(mmc(d,r)-1), donde divide A, mas A é primo com B, e logo q não
divide d e portanto não pode pode dividir A^d-B^d, absurdo.
Isso mostra que se q é um primo que divide dois termos distintos m_d e
m_r então q tem que ser um dos divisores n_i de c, e nesse caso n_i deve ser
um divisor de d ou de r, donde n_i divide no máximo um termo m_d sem que d
seja múltiplo de n_i. Observemos agora que, se q é primo e q não divide r,
então phi_(qr)(x)=phi_r(x^q)/phi_r(x), o que pode ser verificado a partir
das raízes dos polinômios envolvidos. Se olharmos tudo módulo q (i.e., em
Z/qZ[x]), temos phi_r(x^q)=(phi_r(x))^q (pois (x+y)^q=x^q+y^q mod q para
quaisquer x,y e n^q=n mod q para n inteiro), donde
phi_(qr)(x)=(phi_r(x))^(q-1) módulo q, donde phi_(qr)(x)=0 (mod q) se e só
se phi_r(x)=0 (mod q) para todo x em Z/qZ. Em particular, fazendo q=n_i,
x=A/B, e usando o fato de c (e logo todos os n_i) ser primo com B, temos
que, se n_i não divide d, m_d é divisível por n_i se e só se n_i divide
m_(n_i.d). Isso mostra que cada n_i divide no máximo dois termos m_r (para
r=d e para r=n_i.d, se existir esse d divisor de c/n_i tal que n_i divide
m_d). Assim, como A^c-B^c é produto dos 2^k números m_r, todos maiores que
1, e no máximo k pares desses números têm fator comum, A^c-B^c tem pelo
menos 2^k-k fatores primos distintos. (cqd).

Se k=1, c=p é primo e, pela prova acima, se A^c-B^c só tem um fator
primo, A^c-B^c=A^p-B^p deve ser uma potência de p, e A-B também. Assim,
A=B+p^k, e A^p-B^p=(B+p^k)^p-B^p=B^(p-1).p^(k+1) (mod p^(k+2)) se p=3 ou se
p=2 e k1. Assim, nesses casos, a maior potência de p que divide A^p-B^p é
p^(k+1), donde a maior potência de p que divide (A^p-B^p)/(A-B) é p, e logo
A^(p-1)+A^(p-2).b+...+B^(p-1)=(A^p-B^p)/(A-B)=p (pois é uma potência de p),
e logo 2^(p-1)=A^(p-1)p, absurdo. Assim, p=2 e k=1, donde
A^p-B^p=(B+2)^2-B^2=4(B+1), que é uma potência de 2, donde B=2^m-1 e
A=2^m+1, como havíamos dito no começo desta mensagem.
Finalmente, se k=2, c=p.q, com pq, A^c-B^c=m_1.m_p.m_q.m_(pq), e, pela
prova acima, se tivessemos exatamente 2=2^2-2 fatores primos distintos de
A^c-B^c, esses fatores deveriam ser p e q. Assim, A^(pq)-B^(pq) é uma
potência de p vezes uma potência de q, e logo
(A^(pq)-B^(pq))/(A^p-B^p)=m_q.m_(pq) também é uma potência de p vezes uma
potência de q. Se A^p-B^p é múltiplo de p, digamos A^p=B^p+k.p^r, onde p não
divide k, A^(pq)-B^(pq)=(B^p+k.p^r)^q-B^(pq)=q.B^p.(k.p^r) (mod p^(2r)),
donde é múltiplo de p^r e não de p^(r+1), e logo (A^(pq)-B^(pq))/(A^p-B^p)
não é múltiplo de p. Por outro lado, se A^(pq)-B^(pq) é múltiplo de p, e
A^p-B^p não é múltiplo de p, A^p/B^p não é 1 módulo p, mas (A^p/B^p)^q é 1
módulo q, donde a ordem módulo p de (A^p/B^p) é q, pois q é primo, mas q não
divide phi(p)=p-1 (pois q é maior que p), absurdo. Assim,
(A^(pq)-B^(pq))/(A^p-B^p) não é múltiplo de p e logo é uma potência de q.
Assim, A^(pq)-B^(pq) é múltiplo de q, e, como A^(pq)=(A^p)^q é congruente a
A6p módulo q, assim como B^(pq) é congruente a B^p módulo q, A^p-B^p também
é múltiplo de q, digamos A^p=B^p+s.q^r, donde

[obm-l] Sequencias

2005-01-18 Por tôpico Tertuliano Carneiro 
Ola para todos!

Alguem poderia me ajudar nesses?

1) Achar uma sequencia que tenha o intervalo [0,1] comoconjunto dosseus valores de aderencia.

2) Se existem b nao nulo e k natural tq b= x_n = n^k para todo n suficientemente grande entao lim x_n^(1/n) =1.

Notacao: x_né a sequencia x(n)
=é menor ou igual

Um abraco!__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/

Re: [obm-l] Problemas em aberto

2005-01-18 Por tôpico Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira 

Caros colegas:

Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que
ainda nao foram resolvidos:

[]s,
Claudio.


28) Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem
um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!)
 
Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento composto é 30 = 2*3*5.
 
Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2.
 
Pode usar, sem demonstrar, que:
Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6   e   Soma(n em N) 1/n^4 = Pi^4/90.


Para s1, por fatoração única e convergência absoluta, 
soma(n=1 a infinito)(1/n^s)=produto(p primo)(1+1/p^s+1/p^(2s)+...)=
=produto(p primo)(1-1/p^s)^(-1) (essa é a popular fórmula de Euler).
Por razões análogas, se B = conjunto dos inteiros positivos livres de
quadrados e que têm um numero ímpar de fatores primos distintos, 
soma(n em B)(1/n^2)-soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1-1/p^2)=
=(soma(n=1 a infinito)(1/n^2))^(-1)=6/pi^2, enquanto 
soma(n em B)(1/n^2)+soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1+1/p^2)=
=produto(p primo)((1-1/p^4)/(1-1/p^2))=(pi^2/6)/(pi^4/90)=15/pi^2. Assim,
soma(n em A)(1/n^2)=(15/pi^2-6/pi^2)/2=9/(2.pi^2)=
=0,45594532639051997149745758444377

  Abraços,
Gugu
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[obm-l] AMOSTRAGEM!

2005-01-18 Por tôpico jorgeluis 
Ok! Chicão e demais colegas!

Com relação ao problema das duas amostras, muitos participantes relatam a
primeira amostragem como mais convincente, por causa da grande preponderância
das pedras vermelhas sobre as verdes. Quais são as reais diferenças com que
cada amostragem reflete precisamente a cor predominante na urna? As diferenças
são de 4 para 1 na primeira. Mas as chances de que a segunda seja mais precisa
são muito maiores: 16 para 1.

Suponhamos que determinamos a estatura média de uma amostra de 50 estudantes,
escolhidos ao acaso, de uma turma de 500 e que tenhamos calculado o erro
provável desta média. Suponhamos, também, que calculamos a estatura média dos
50 rapazes mais altos da turma, e seu erro provável. Qual dos erros prováveis é
o menor? Pode explicar a razão?

Este assunto sobre amostragem me faz lembrar o excelente artigo sobre pesquisa
eleitoral do saudoso prof. Flávio Wagner Rodrigues (IN MEMORIAM) no tocante à
proporcionalidade entre o tamanho da amostra e a população (RPM-45). Vale
salientar que perdi um grande amigo postal, apesar dos incômodos que lhe
causei com minhas pegadinhas inconvenientes, aliás, toda a comunidade
matemática ficou negativa após sua partida. Eternas saudades e até algum dia,
com certeza! Agora, quanto às pegadinhas cunhadas por Sternberg, vocês estão
indo bem, pois já conseguiram acertar as duas primeiras...  Divirtam-se!



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[obm-l] PENSANDO COMO UM ECONOMISTA!

2005-01-18 Por tôpico jorgeluis 
O departamento de produção da National Cabinet Corporation emprega 20
trabalhadores não-especializados, 45 semi-especializados e 60 trabalhadores
altamente especializados. Uma análise cuidadosa da produtividade dos três tipos
de trabalhadores indica que o produto marginal do trabalhador não-especializado
é de 10 unidades por dia de trabalho, o produto marginal do trabalhador
semi-especializado é de 20 unidades por dia de trabalho e o produto marginal do
trabalhador especializado é de 50 unidades por dia de trabalho. As taxas de
salário pagas para cada um dos três tipos de trabalhadores resultam em um custo
de $20 por dia para o trabalhador não-especializado, $30 por dia para o
trabalhador semi-especializado, e $50 por dia para o trabalhador especializado.
A produção encontra-se atualmente no nível desejado pela empresa. Você sugeriria
uma mudança na combinação de tipos de trabalho utilizados pelo departamento de
produção da empresa? Por que?

Afinal! O desconto para idosos é um ato de generosidade ou visa a maximização de
lucros? Se o desconto para idosos é válido para a entrada de cinema, então por
que ele não vale para a pipoca?


Um abraço à todos!



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[obm-l] ÁLGEBRAS DE BOOLE!

2005-01-18 Por tôpico jorgeluis 
Em 1938, o matemático americano Claude Shannon percebeu o paralelo entre a
lógica proposicional e a lógica de circuitos, e comprendeu que álgebras de
Boole poderiam ter um papel importante na sistematização desse novo ramo da
eletrônica. De acordo com o teorema sobre álgebras de Boole, qualquer álgebra
de Boole finita tem que ter 2^m elementos para algum m. Prove o resultado mais
fraco de que nenhuma álgebra de Boole pode ter um número ímpar de elementos.

Você é o administrador de uma rede que, atuando em uma região extensa, serve os
diversos escritórios de sua companhia espalhados pelo país. As mensagens viajam
através da rede roteadas de ponto a ponto até chegarem aos seus destinos. Cada
nó na rede, portanto, funciona como uma estação distribuidora, recebendo e
enviando mensagens para outros nós de acordo com um roteiro de distribuição
mantido em cada nó. Algumas conexões na rede têm tráfego intenso, enquanto
outras são menos usadas. A intensidade do tráfego pode variar dependendo da
hora do dia; além disso, nós novos podem ser gerados e outros nós podem ser
desativados. Portanto, você precisa atualizar periódicamente a informação
contida em cada nó, de modo que ele possa transmitir mensagens ao longo do
caminho mais eficiente (isto é, o que tem tráfego menos intenso). Como calcular
o roteiro de distribuição para cada nó?


Abraços!



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[obm-l] fisica

2005-01-18 Por tôpico Eduardo Soares 
responda V ou F:
I- numa expansão isotérmica de um gás perfeito sua pressão aumenta.

II-numa compressão isobárica sua temperatura aumenta.

III-numa expansão adiabática de um gás perfeito sua temperatura absoluta
diminui.
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Re:[obm-l] fisica

2005-01-18 Por tôpico rafaelc.l 
 responda V ou F:
 I- numa expansão isotérmica de um gás perfeito sua pressão aumenta.
 R: F, isotermica p.v=k, se v aumenta, p diminui, sendo k cte
 
 II-numa compressão isobárica sua temperatura aumenta.
 
 F, pois se o volume diminui, T diminui tbm.
 
III-numa expansão adiabática de um gás perfeito sua temperatura absoluta
 diminui.
V, pois se o trabALHO EH POSITIVO, A VARIACAO DE ENERGHIA INTERNA EH NEGATIVA,o que eh acarretado porDIMINUICAO DE TEMPERATURA
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[obm-l] Equacoes exponenciais...

2005-01-18 Por tôpico Rick 
Pessoal, estou estudando o segundo livro de iezzi, e em meio aos exercicios
sobre equacoes exponenciais, alguns metodos de solucoes foram apresentados,
como a utilizacao da icognita auxiliar e algumas manipulacoes matematicas
(divisão entre termos e colocacao de um termo em evidencia). Eu gostaria de
pedir a lista, uma ajuda, em relação a vizualizacao do metodo mais adequado
a ser utilizado em uma questao, ou seja, que tipo de necessidade a questao
apresenta de modo que direcione a um ou outro metodo?

  Agradecendo
desde ja...

Rick

P.s: Se possivel, eu gostaria de uma ajuda ao nivel do ensino medio :)


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