Re: [obm-l] codigos
Olá Diogo A maioria dos códigos é bem simples de ver. O importante ao escrever é que fique bem clara a operação que se deseja mostrar. O pessoal costuma usar o mesmo tipo de escrita do Maple, tipo sqrt(x-1) -- raiz quadrada de x-1, etc. Os mais difíceis de entender de primeira são os códigos que envolvem somatório, produtório, integrais Procure dar uma estudada no Maple que, com certeza, as coisas ficarão mais claras. Um Abraço Paulo Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re: [obm-l] soma trigonom�trica
Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista.
Hmmm... eu fiz assim:
Seja S = senx + sen(x+f) + sen(x+2f) + sen(x+3f)+...+
sen(x+nf) a soma desejada.
Nossa meta aqui é transformar essa soma numa soma
telescópica (se você não sabe o que é, aguarde que
você entenderá o que é no final).
Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
2sen a sen b = cos(a-b) - cos(a+b)
Você pode dizer que não há produtos de senos em S. Mas
em 2Ssen b tem:
2Ssen b = 2sen x sen b + 2sen(x+f)senb
+ 2sen(x+2f)sen b + ... + 2sen(x+nf)sen b
Utilizando a identidade supracitada (eu sempre quis
usar essa palavra!! :) ),
2Ssen b = (cos(x-b) - cos(x+b))
+ (cos(x+f-b) - cos(x+f+b))
+ (cos(x+2f-b) - cos(x+2f+b))
+ ...
+ (cos(x+nf-b) - cos(x+nf+b))
Que bom seria se x+b = x+f-b; x+f+b = x+2f-b; ...;
x+(n-1)f+b = x+nf-b, pois quase todos os cossenos se
cortariam e obteríamos a tão sonhada soma telescópica
(que é uma soma do tipo soma(f(k+1)-f(k)):
2Ssen b = cos(x-b) - cos(x+nf+b)
Mas nesse caso podemos escolher b = f/2 (resolva as
equações da primeira linha do parágrafo acima para
encontrar b!) e obtemos
2Ssen(f/2) = cos(x-f/2) - cos(x+(n+1/2)f)
Podemos aplicar a identidade
cos u - cos v = 2sen[(u+v)/2]sen[(v-u)/2]
para obter
2Ssen(f/2) = 2sen(x+fn/2)sen[f(n+1)/2]
Ou seja,
S = sen(x+fn/2)sen[f(n+1)/2]/sen(f/2)
Outra maneira (que eu em particular acho mais fácil) é
usar a definição de seno em função dos números
vogais e e i:
sen a = [e^{ai} - e^{-ai}]/[2i]
Nesse caso, a soma S se reduz a duas somas de PGs
(veja as duas colunas):
S = [e^{xi} - e^{-xi}]/[2i]
+ [e^{(x+f)i} - e^{-(x+f)i}]/[2i]
+ [e^{(x+2f)i} - e^{-(x+2f)i}]/[2i]
+ ...
+ [e^{(x+nf)i} - e^{-(x+nf)i}]/[2i]
Depois é só ajeitar para obter a soma de novo em
função dos senos. Vou deixar as contas com vocês.
[]'s
Shine
--- André Barreto
[EMAIL PROTECTED] wrote:
OI! Creio que seja assim Renan.
sen(x) + sen(x) cos( f ) + sen( f ) cos (x) + sen(x)
cos (2f) + sen(2f) cos(x) + sen(x) cos(3f) + sen(3f)
cos(x) + ... + sen(x) cos(nf) + sen(nf) cos(x)
coloca o sen(x) em evidencia.
sen(x) [ 1 + cos( f ) + sen( f ) cotg(x) + cos (2f)
+ sen(2f) cotg(x) + cos(3f) + sen(3f) cotg(x) + ...
+ cos(nf) + sen(nf) cotg(x)]
agora agrupa os cos(f...) e coloca cotg(x) em
evidencia.
sen(x) { 1 + cos( f ) + cos( 2f ) + cos( 3f ) + ...
+ cos( nf ) +
+ cotg(x) [ sen( f ) + sen(2f) + sen(3f) + ... +
sen(nf) ] }
bem agora eu devo me desculpar : ), eu não lembro
como descobre;
1 + cos( f ) + cos( 2f ) + cos( 3f ) + ... + cos(
nf ) = A(n)
sen( f ) + sen(2f) + sen(3f) + ... + sen(nf) = B(n)
mas creio que o caminho seja este...
espero ter ajudado em algo!
Atenciosamente,
André Sento Sé Barreto
Renan Machado [EMAIL PROTECTED] escreveu:
nao sei se jah foi mandado algum problema parecido:
quanto vale a soma senx + sen(x+f) + sen(x+2f) +
sen(x+3f)+...+ sen(x+nf)??
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função
Obrigada Diogo MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Isomorfismos de Grupos
Sejam: R = conjunto dos numeros reais; Q = conjunto dos numeros racionais; A = conjunto dos numeros algebricos reais (reais que sao raizes de algum polinomio com coeficientes inteiros); X+ = conjunto dos elementos positivos de X (X = R, Q ou A). Sabemos que os grupos (R,+) e (R+,*) sao isomorfos (soma e produto usuais de numeros reais). Um isomorfismo eh, por exemplo, a funcao exponencial. Uma pergunta interessante eh: existe algum isomorfismo entre estes grupos que nao seja uma funcao do tipo f(x) = a^x, com a positivo e 1? A resposta (negativa) eh dada pela solucao do seguinte problema, que jah apareceu aqui na lista ha tempos, mas como recordar eh viver...: Seja f uma funcao real tal que f(0) = 1, f(1) = a 0 e, para quaisquer x e y reais, f(x+y) = f(x)*f(y). 1) Prove que, para todo racional r, f(r) = a^r; 2) Prove que f eh continua; 3) Prove que f eh diferenciavel; 4) Conclua que f(x) = a^x, para todo x real. Voltando aos isomorfismos, nao eh dificil mostrar que (Q,+) e (Q+,*) nao sao isomorfos. (dica: se f eh um isomorfismo e f(a) = 2, quem eh f(a/2)?) O problema acima (mais precisamente, o item 1) tem um corolario interessante, que nao pode ser demonstrado apenas com o argumento simples usado no caso dos racionais: (A,+) nao eh isomorfo a (A+,*). (de fato, eu acho que precisa usar o teorema de Gelfond-Schneider: se a eh um algebrico diferente de 0 e 1 e b eh um algebrico irracional, entao a^b eh transcendente). Alias, um bom exercicio eh provar que estes dois grupos sao realmente grupos, ou seja, que a soma de dois algebricos reais eh um algebrico real e o produto de dois algebricos reais positivos eh um algebrico real positivo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equação irracional
Ola pessoal poderiam me ajudar nesta questão (a^2 + x^2)^1/3 - ( a^2 - x^2)^1/3 = (a^4 - x^4)^1/6 Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais Isomorfismos
Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos complexos? Nao eh dificil ver que os grupos multiplicativos dos reais nao nulos e dos complexos nao nulos nao sao isomorfos (dica: o problema estah no i), mas no caso dos grupos aditivos, o fato de i^2 = -1 nao parece ter nenhuma importancia. Por exemplo, se f:C - R for um isomorfismo, com f(1) = a e f(i) = b, entao: f(r) = r*a e f(r*i) = r*b para cada racional r. Logo, para quaisquer racionais r e s, f(r + s*i) = r*a + s*b. Isso implica que a e b devem ser LI sobre Q pois, caso contrario, f nao seria injetiva. Talvez esse problema esteja relacionado a existencia de uma funcao g:R - R que satisfaz a g(x+y) = g(x)+g(y) para quaisquer x e y reais mas que eh descontinua em todo ponto (lah vem o axioma da escolha de novo...) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminha de cosseno.
Antes de mais nada bom dia a todos. Caro Nicolau e demais associados a lista Peguei um progrma na internet chamado de grafEq 2.07. Ele me permite visualizar o grafico de qualquer polinomio. E dependendo deste, seus valores correspondentes a x e y. Brincando com este programinha cheguei a uma intrigante equação. fazendo. cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos...(cosx...) + 2 =y Lê-se: (cosseno do cosseno do cosseno... de x) + 2 = y descobri que esse valor não depende de x *( apenas analizando o gráfico!). e tende ,quando o nº de cos tende a infinito, ao numero e (euler) ( valor de y=e) Gostaria de saber se isso é verdade. Se sim, porque é verdade ja que cheguei a este resultado por pura sorte. existe uma maneira algébrica de desenvolver tal equação?Tentei faze-la igual a (1+1/n)^n (com ninfinito) mas não consegui desenvolver nada. Não existiria um método para isolar tal varialvel ou demais variaveis de qualquer polinomio, ou depende exclusivamente do polinomio? Um grande abraço. Filipe Louly Quinan Junqueira _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais Isomorfismos
On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos complexos? Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Re: [obm-l] soma trigonométrica
Sauda,c~oes,
Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista, oi Shine.
Somas telescópicas e antidiferenças têm tudo a ver.
A soma numa outra notação é
S = soma_{i=1}^n sin(beta + i alpha) = soma_{i=1}^n
[sin beta cos i alpha + cos beta sin i alpha] =
[sin beta soma_{i=1}^n cos i alpha] + [cos beta soma_{i=1}^n sin i alpha] .
Agora sabendo as antidiferenças F(i) de cos i alpha e sin i alpha
as somas são facilmente avaliadas.
f(i) = cos i alpha == F(i) = sin[i - 1/2]alpha / 2sin alpha/2.
f(i) = sin i alpha == F(i) = - cos[i - 1/2]alpha / 2sin alpha/2.
Agora usem o resultado soma_{i=1}^n f(i) = F(n+1) - F(1)
para concluir que
S = [sin(n alpha/2)/sin(alpha/2)] sin[beta + (n+1)alpha/2] .
Esse resultado aparece na amostra do Vol 1 (exercício 68) em
www.escolademestres.com/qedtexte
[]'s
Luís
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: Re: [obm-l] soma trigonométrica
Date: Fri, 6 May 2005 08:23:35 -0700 (PDT)
Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista.
Hmmm... eu fiz assim:
Seja S = senx + sen(x+f) + sen(x+2f) + sen(x+3f)+...+
sen(x+nf) a soma desejada.
Nossa meta aqui é transformar essa soma numa soma
telescópica (se você não sabe o que é, aguarde que
você entenderá o que é no final).
Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
2sen a sen b = cos(a-b) - cos(a+b)
[]
Depois é só ajeitar para obter a soma de novo em
função dos senos. Vou deixar as contas com vocês.
[]'s
Shine
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Mais Isomorfismos
Nicolau C. Saldanha wrote: On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos complexos? Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)). Deixa eu ver se eu advinho: não há nenhum isomorfismo explícito, apenas axioma da escolha :-( [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ola novamente.
Antes de mais nada bom dia a todos. Caro Nicolau e demais associados a lista Peguei um progrma na internet chamado de grafEq 2.07. Ele me permite visualizar o grafico de qualquer polinomio. E dependendo deste, seus valores correspondentes a x e y. Brincando com este programinha cheguei a uma intrigante equação. fazendo. cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos...(cosx...) + 2 =y Lê-se: (cosseno do cosseno do cosseno... de x) + 2 = y descobri que esse valor não depende de x *( apenas analizando o gráfico!). e tende ,quando o nº de cos tende a infinito, ao numero e (euler) ( valor de y=e) Gostaria de saber se isso é verdade. Se sim, porque é verdade ja que cheguei a este resultado por pura sorte. existe uma maneira algébrica de desenvolver tal equação?Tentei faze-la igual a (1+1/n)^n (com ninfinito) mas não consegui desenvolver nada. Não existiria um método para isolar tal varialvel ou demais variaveis de qualquer polinomio, ou depende exclusivamente do polinomio? Um grande abraço. Filipe Louly Quinan Junqueira _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ola novamente.
Olá, Acho que o resultado que você encontrou nào tem a ver com e (euler). cos(cos(cos...(cosx))) é uma recursão, uma interação onde y[n+1] = cos(y[n]). Bem, a pergunta é: quando esta interação pára, isto é, quando y[n+1] = y[n] ??? Quando cos(x) = x. Portanto vc deve ter achado a raiz positiva da equação cos(x) - x = 0, que é algo como ~= 0,7391 Assim: 2 + 0,739 = 2,739 != e = 2,71828... Faça um teste. digite um numero positivo na calculadora e pressione repetidas vezes a tecla cos Deve chegar lá... []' Demétrio filipe junqueira wrote: Antes de mais nada bom dia a todos. Caro Nicolau e demais associados a lista Peguei um progrma na internet chamado de grafEq 2.07. Ele me permite visualizar o grafico de qualquer polinomio. E dependendo deste, seus valores correspondentes a x e y. Brincando com este programinha cheguei a uma intrigante equação. fazendo. cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos...(cosx...) + 2 =y Lê-se: (cosseno do cosseno do cosseno... de x) + 2 = y descobri que esse valor não depende de x *( apenas analizando o gráfico!). e tende ,quando o nº de cos tende a infinito, ao numero e (euler) ( valor de y=e) Gostaria de saber se isso é verdade. Se sim, porque é verdade ja que cheguei a este resultado por pura sorte. existe uma maneira algébrica de desenvolver tal equação?Tentei faze-la igual a (1+1/n)^n (com ninfinito) mas não consegui desenvolver nada. Não existiria um método para isolar tal varialvel ou demais variaveis de qualquer polinomio, ou depende exclusivamente do polinomio? Um grande abraço. Filipe Louly Quinan Junqueira _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação irracional
hum, acho que essa dah pra fazer assim: essa equaçao pode ser escrita: (a^2+x^2)^2/6 - (a^2-x^2)^2/6 = (a^4-x^4)^1/6 dividindo todos os membros por (a^4-x^4)^1/6: [(a^2+x^2)/(a^2-x^2)]^1/6 - [(a^2-x^2)/(a^2+x^2)]^1/6 = 1 fazendo [(a^2+x^2)/(a^2-x^2)]^1/6 = y : y - 1/y = 1 == y^2-y-1=0 == y = (1+sqrt5)/2 ou y=(1-sqrt5)/2 aih tem que igualar e achar x, o que nao deve dar um numero muito bonito! acho que eh isso... - Original Message - From: Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] equação irracional Date: Fri, 6 May 2005 15:57:30 -0300 Ola pessoal poderiam me ajudar nesta questão (a^2 + x^2)^1/3 - ( a^2 - x^2)^1/3 = (a^4 - x^4)^1/6 Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- ___ NEW! Lycos Dating Search. The only place to search multiple dating sites at once. http://datingsearch.lycos.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais Isomorfismos
on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos complexos? Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)). []s, N. OK. Obrigado. Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh na existencia das bases? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ola novamente.
Só pra constar: uma questão muito mais delicada é explicar porque a sua recursão converge tão bem. Acho que tem algo a ver com o fato de |dcos(x)/dx| = 1 . Mas apenas acho... []'s Demétrio Demetrio Freitas wrote: Olá, Acho que o resultado que você encontrou nào tem a ver com e (euler). cos(cos(cos...(cosx))) é uma recursão, uma interação onde y[n+1] = cos(y[n]). Bem, a pergunta é: quando esta interação pára, isto é, quando y[n+1] = y[n] ??? Quando cos(x) = x. Portanto vc deve ter achado a raiz positiva da equação cos(x) - x = 0, que é algo como ~= 0,7391 Assim: 2 + 0,739 = 2,739 != e = 2,71828... Faça um teste. digite um numero positivo na calculadora e pressione repetidas vezes a tecla cos Deve chegar lá... []' Demétrio filipe junqueira wrote: Antes de mais nada bom dia a todos. Caro Nicolau e demais associados a lista Peguei um progrma na internet chamado de grafEq 2.07. Ele me permite visualizar o grafico de qualquer polinomio. E dependendo deste, seus valores correspondentes a x e y. Brincando com este programinha cheguei a uma intrigante equação. fazendo. cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos...(cosx...) + 2 =y Lê-se: (cosseno do cosseno do cosseno... de x) + 2 = y descobri que esse valor não depende de x *( apenas analizando o gráfico!). e tende ,quando o nº de cos tende a infinito, ao numero e (euler) ( valor de y=e) Gostaria de saber se isso é verdade. Se sim, porque é verdade ja que cheguei a este resultado por pura sorte. existe uma maneira algébrica de desenvolver tal equação?Tentei faze-la igual a (1+1/n)^n (com ninfinito) mas não consegui desenvolver nada. Não existiria um método para isolar tal varialvel ou demais variaveis de qualquer polinomio, ou depende exclusivamente do polinomio? Um grande abraço. Filipe Louly Quinan Junqueira _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equação irracional
Oi renan tudo bem? Muito obrigado pela ajuda, só que até nessa parte eu tinha chego, não consegui chegar ao resultado final, de x em função de a que no gabarito indica +-sqrt(+-2(sqrt5)/5) Um abraço - Original Message - From: Renan Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 06, 2005 10:02 PM Subject: Re: [obm-l] equação irracional hum, acho que essa dah pra fazer assim: essa equaçao pode ser escrita: (a^2+x^2)^2/6 - (a^2-x^2)^2/6 = (a^4-x^4)^1/6 dividindo todos os membros por (a^4-x^4)^1/6: [(a^2+x^2)/(a^2-x^2)]^1/6 - [(a^2-x^2)/(a^2+x^2)]^1/6 = 1 fazendo [(a^2+x^2)/(a^2-x^2)]^1/6 = y : y - 1/y = 1 == y^2-y-1=0 == y = (1+sqrt5)/2 ou y=(1-sqrt5)/2 aih tem que igualar e achar x, o que nao deve dar um numero muito bonito! acho que eh isso... - Original Message - From: Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] equação irracional Date: Fri, 6 May 2005 15:57:30 -0300 Ola pessoal poderiam me ajudar nesta questão (a^2 + x^2)^1/3 - ( a^2 - x^2)^1/3 = (a^4 - x^4)^1/6 Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- ___ NEW! Lycos Dating Search. The only place to search multiple dating sites at once. http://datingsearch.lycos.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equação irracional
Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar nesta questão de equações irracionais também sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - sqrt(0)) = 4 sqrt((x)/(x+sqrtx)) Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
