Re: [obm-l] sistema
é a soma dos cossenos mesmo...acabou que eu resolvi logo depois...vou tentar o cosseno da soma dos ângulos. obrigado! Em 14/07/05, Marcos Martinelli[EMAIL PROTECTED] escreveu: Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último basta resolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) e cos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal que a primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio que seja só um sistema mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA(MTO DIFÍCIL)
Questão de Geometria(me disseram que foi de alguma prelimar de uma olimpíada mundial, algo desse tipo..): A bissetriz do ângulo B em um triângulo ABC intercepta o lado AC em D.Seja E um ponto sobre o lado BC, tal que 3CÂE=2BÂE.Os segmentos BD e AE se interceptam no ponto P. Se ED=AD=AP. Determine os ângulos do triângulo. Desde já agradeço!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sistema
isso aí não é uma questão que caiu no ITA há alguns anos? Pense num triângulo retângulo em A, que sai fácil. Abraço BrunoOn 7/14/05, Ricardo Prins [EMAIL PROTECTED] wrote: é a soma dos cossenos mesmo...acabou que eu resolvi logo depois...voutentar o cosseno da soma dos ângulos.obrigado!Em 14/07/05, Marcos Martinelli[EMAIL PROTECTED] escreveu: Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último basta resolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) e cos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal que a primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio que seja só um sistema mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] sistema
Marcos, para qualquer uma das perguntas (cosseno da soma ou soma dos cossenos) vc pode resolver facilmente usando um triângulo. Olha só que legal: a^2 = b^2 + c^2 sugere um triângulo ABC (a, b, e c são, como sempre, as medidas dos lados opostos aos vertices A,B,C) retângulo em A. Pensando dessa forma, nota-se facilmente, observando o sistema, que y e z são os ângulos agudos do triângulo, e x é o ângulo reto, e mais, C = z, B = y, A = x. Essa observação vc faz verificando que o lado esquerdo das igualdades representa a soma de projeções de dois lados do triângulo sobre o terceiro lado. Logo x+y+z = 180, e cosx = 0, cosy = c/a, cosz = b/a. Então cos(x+y+z) = -1 e cosx + cosy + cosz = (b+c)/a. Abraço Bruno On 7/14/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote: Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último bastaresolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) ecos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal quea primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio que seja só um sistema mesmo.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Matrizes
não entendi!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia
2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
para todo n inteiro positivo os números
a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
por n.
Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
seqüência a_1,a_2,...
Achei este legal, note que o enunciado é levemente ambíguo, pois devemos
dizer que há infinitos termos positivos e infinitos termos negativos,
caso contrário, a sequüência dos números naturais positivos ordenados
claramente satisfaz a propriedade e não contém nenhum negativo.
--- x ---
Por conveniência, chame de P a propriedade do enunciado
Seja S = {s_1, s_2, ...} uma seqüência que satisfaz P. Sem perda de
generalidade, podemos supor que 0 está em S. Basta observar que S + a =
{s_1 + a, s_2 + a, ...} também satisfaz P.
Vamos mostrar que, para todo n = 0, existe N tal que todos os valores
{-n, 1-n, ..., -1, 0, 1, ..., n} aparecem em {s_1, ..., s_N}.
Por hipótese, o caso n = 0 está ok. Vamos provar que se vale para n-1
então vale para n.
Existe N' tal que {1-n, ..., 0, ..., n-1} aparecem em {s_1, ..., s_N'}.
Tome N N' 2n e considere o único s_i em {s_1, ..., s_N} tal que s_i
~ n (mod N), se s_i = n, paramos por aqui. Senão
- caso s_i = A + n com N|A e A = N temos, claramente que {s_1, ...,
s_{A+n}} contém dois valores que são 0 mod A + n, a saber, 0 e s_i = A +
n, o que não pode ocorrer.
- caso s_i = n - A, com N|A e A N, então |s_i| = A - n = N e
novamente {s_1, ..., s_{A-n}} contém dois 0 mod (A-n).
- caso s_i = n - N: neste caso não temos como fazer a mesma
asserção, mas note que N pode ser qualquer valor N' e se cairmos
sempre neste caso para qualquer escolha de N vamos exibir uma
contradição* em S.
Para s_i ~ -n (mod N) o argumento é análogo ao acima.
* Suponha que para todo N N' tenhamos n - N pertence a {s_1, ...,
s_N}, um simples argumento de contagem mostra que há infinitos números
negativos em S, mas não podemos ter infinitos números *positivos* em S.
Abraços.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Matrizes
O que vc nao entendeu? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de marcio aparecido Enviada em: quinta-feira, 14 de julho de 2005 14:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Matrizes não entendi!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [EMAIL PROTECTED]
Oi Shine eh o Cleber tudo bem,gostaria de saber a resoluçao do seguinte problema. Determine a equacao da reta tangente a curva de equaçao y= 3x^4 - 4x^3 em dois pontos distintos. Na resoluçao deste problema queremos encontrar a e b tais que P=3x^4-4x^3-ax-b tenha duas raizes reais duplas.Esse passo nao entendi,gostaria se possivel de um esclarecimento. Muito obrigado Shine Vieira __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Segunda prova da IMO
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO. Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi agora. Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles parecem ser bem legais! Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita idéia de como resolver, mas depois que parei para pensar com mais calma consegui resolver dois problemas (1 e 2). 4. Determine todos os inteiros positivos relativamente primos com todos os termos da seqüência infinita a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, n = 1. 5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC = DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE = DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R. Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm um ponto comum diferente de P. 6. Numa competição de matemática na qual foram propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso, nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5 problemas cada um. []'s Shine Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais uma de fun�
Oi Bruno, Vc estah com um aideia certa. A condicao ii) f([x+y]/2) [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y implica que f seja concava (-f eh convexa) e isto, sabidamente, implica continuidade. Mas nao implica diferenciabilidade, nem mesmo a existencia da primeira derivada. Entretanto, ainda assim a conclusao eh verdadeira. Para ver isso, dou as seguntes sugestoes: 1) mostre que a funcao g(x) = f(x+1) - f(x) eh monotonicamente decrescente. Isto eh uma simples consequencia da concavidade de f. 2) Considere a sequencia f(n). Entao, atraves de uma soma telescopica temos que f(n) = f(1) + g(1) +...g(n) f(1) - n*g(1). Como g(1) 0, temos que f(n) - -oo quando n- oo, de modo que f assume valores negativos. Artur --- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Acabo de ler a mensagem do Caio e a resposta do Shine na mensagem com assunto Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem, o que me lembrou uma questão (ao meu ver, mais simples que aquela) com a qual eu brincava há um tempo. Desculpem, mas não tenho o enunciado preciso. Eis a questão: A função f: R - R possui as seguintes propriedades: (i) x y == f(y) f(x) (ii) f([x+y]/2) [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y Mostre que existe c tal que f(c) 0. Resolvi a questão por 2 métodos diferentes (não vou postá-los, pelos menos por enquanto, para quem quiser tentar), mas ainda não me senti satisfeito. Intuitivamente eu imagino que f seja contínua tenha concavidade para baixo, i.e., o gráfico de f está abaixo de qualquer reta tangente ao gráfico. Pensei então em tentar provar isso, mostrando a continuidade de f, a derivabilidade de f até 2a. ordem e então mostrar que a derivada 2a. é negativa. Como alguns podem estar pensando, esse método para a resolução, se é que é possível, é muito trabalhoso e complicado... e daí?? :-) Bom, se alguém puder me dizer se é possível seguir esse caminho e me fornecer dicas de como fazê-lo, ou então mostrar que não é possível resolver dessa forma (seja lá pelo motivo que for, i.e., f não necessariamente é contínua, ou derivável, ou etc.), ficarei grato! Abraço Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Matrizes
Marcio, Para ter posto 1, observe que na 2a linha voce pode fazer 3a-b+2c = 4 (Segunda linha e igual a 2*1a linha) e a linha 3 pode ser feita igual a linha 1, -3a+b+c=2 -2a+b+c=3. Now, you just need to solve this system. From: marcio aparecido [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Matrizes Date: Wed, 13 Jul 2005 22:08:59 -0300 ajuda com a seguinte questão, ai vai o link dela: http://mas-usp.sites.uol.com.br/matriz.JPG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [EMAIL PROTECTED]
Seja y = a*x + b a equacao da reta e suponhamos que ela tangencie a curva nos pontos de abcissa x1 e x2, x1x2. Nos pontos x1 e x2, a curva e a reta levam aos mesmos valores de y e a derivada da curva iguala-se ao coeficiente angular da reta, o parametro a. Assim temos as equacoes 3x1^4-4x1^3-a*x1-b = 0 3x2^4-4x2^3-a*x2-b = 0 12x1^3 - 12 x1^2 - a = 0 12x2^3 - 12 x2^2 - a = 0 Assim, para que o problema tenha solucao, eh realmente necessario que P(x) =3x^4-4x^3-ax-b tenha 2 raizes reais distintas. Mas soh isto nao basta. Eh preciso que estas duas raizes sejam tambem raizes do polinomio Q(x) = 12x^3 - 12 x^2 - a . Se isto acontecer para algum par (a,b), entao o problema tem solucao. Artur --- cleber vieira [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Shine eh o Cleber tudo bem,gostaria de saber a resoluçao do seguinte problema. Determine a equacao da reta tangente a curva de equaçao y= 3x^4 - 4x^3 em dois pontos distintos. Na resoluçao deste problema queremos encontrar a e b tais que tenha duas raizes reais duplas.Esse passo nao entendi,gostaria se possivel de um esclarecimento. Muito obrigado Shine Vieira __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] tangentes a uma curva (era: [EMAIL PROTECTED])
Oi Cleber, Tudo ótimo. Acho muito legal você ter enviado essa mensagem para mim, mas ela acabou indo para a lista da OBM. Esse problema é da primeira fase da OBM universitária 2004, certo? É o seguinte: seja y = ax + b a reta tangente desejada. Cada interseção da reta com a curva de equação y = 3x^4 - 4x^3 corresponde a uma solução do sistema y = ax + b e y = 3x^4 - 4x^3, que é equivalente a y = ax + b e 3x^4 - 4x^3 = ax + b (*). Como a reta é *tangente* à curva, alguma raiz da equação (*) deve ter multiplicidade pelo menos dois. Se não, a reta simplesmente cortaria a curva, e não tangenciaria. Para isso ficar mais claro, imagine o gráfico de y = (x - 1)^2; esse gráfico tangencia o eixo x, que é a reta y = 0, em x=1, raiz de multiplicidade 2 de (x-1)^2 = 0. Como a reta é tangente à curva em dois pontos distintos, cada um desses pontos representa uma raiz de multiplicidade pelo menos 2, ou melhor, são dois pontos correspondentes a duas raízes reais de multiplicidade pelo menos 2 de (*). Como (*) é polinomial de quarto grau, admite no máximo 4 raízes reais. Assim, (*) admite exatamente duas raízes reais, cada uma de multiplicidade 2 (se não, (*) teria mais de 4 raízes). Espero ter ajudado. []'s Shine --- cleber vieira [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Shine eh o Cleber tudo bem,gostaria de saber a resoluçao do seguinte problema. Determine a equacao da reta tangente a curva de equaçao y= 3x^4 - 4x^3 em dois pontos distintos. Na resoluçao deste problema queremos encontrar a e b tais que P=3x^4-4x^3-ax-b tenha duas raizes reais duplas.Esse passo nao entendi,gostaria se possivel de um esclarecimento. Muito obrigado Shine Vieira __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA
Poderia me ajudar com essa questao? Calcular os lados de um triangulo retangulo que tem a area de 600m², sabendo que a reta determinada pelo incentro e baricentro é paralela a um dos catetos. Um abraço
[obm-l] Número curiosos
Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 é igual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos os números 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 e 93. Identifique outros números com esta propriedade. Obs: Gostaria de saber também se há alguma relação comum entre esses números ou se eles são escolhidos de forma aleatória (sorte)? Valeu! André _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Número curiosos
É facil ver que 2 números com dois dígitos têm essas propriedade se e somente se o produto dos primeiros dígitos de cada número é igual ao produto dos últimos dígitos de cada número. Dessa forma encontram-se todos os pares com tal propriedade. Repare que isso é satisfeito nos exemplos que você mencionou. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de André Luiz Martins Guimarães Orsi Enviada em: Friday, July 15, 2005 12:24 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Número curiosos Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 é igual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos os números 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 e 93. Identifique outros números com esta propriedade. Obs: Gostaria de saber também se há alguma relação comum entre esses números ou se eles são escolhidos de forma aleatória (sorte)? Valeu! André _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número curiosos
Olá! Olha só que legal: (10a + b) * (10c + d) = (10b + a) * (10d + c) 100ac + 10(ad + bc) + bd = 100bd + 10(ad + bc) + ac 100ac + bd = 100bd + ac como 1 = a, b, c, d = 9, temos ac,bd 100. Então devemos ter: ac = bd Isto é: se o produto dos primeiros algarismos de cada número for igual ao produto dos últimos algarimos de cada número, então o número goza da propriedade que vc destacou (*), o que acaba com a sua sorte (sem querer ser chato ;-) ). olhe só: pegue 24 e 63. 2*6 = 4*3 = 12 24 * 63 = 1512 = 42 * 36 Abraço! Bruno (*) Para ficar mais claro (e, de fato, provarmos a conjectura) Queremos provar: ac = bd == (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c) ac = bd == 100ac + bd = 100bd + ac == 100ac + 10(ad + bc) + bd = 100bd + 10(ad + bc) + bd == (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c) .:. ac = bd == (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c) O lado == da relação já foi provado acima (usando a hipótese de que a,b,c,d são inteiros entre 1 e 9). On 7/15/05, André Luiz Martins Guimarães Orsi [EMAIL PROTECTED] wrote: Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 éigual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos osnúmeros 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 e 93. Identifique outros números com esta propriedade.Obs: Gostaria de saber também se há alguma relação comum entre esses númerosou se eles são escolhidos de forma aleatória (sorte)?Valeu! André _MSN Messenger: converse online com seus amigos .http://messenger.msn.com.br= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
