Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi gente! Esse ano não pude pensar nos problemas da imo do jeito que
gosto (pegando a prova logo depois de ela ser liberada no mathlinks e indo
para um restaurante pensar 4h30m direto nela :)).. Mas finalmente peguei a
prova (do primeiro dia) de jeito e consegui fazer as questoes. Vou mandar
aqui minhas solucoes do 1o dia conforme o gugu sugeriu (obs: reparei que
minha solucao da 2 eh mto parecida com a do gugu, mas agora vou mandar mesmo
assim). Espero que esteja tudo certo (minha unica duvida eh na 2 :), mas
acho que tá certa. prefiro mandar logo).
Vou colocar as soluções após os enunciados do shine também.
Obs: Quem não entender a minha solução da 3 deve aguardar um artigo na
eureka sobre desigualdades e contas simétricas que estou escrevendo!
- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, July 24, 2005 12:06 AM
Subject: Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi pessoal,
Resolvi compilar as minhas soluções de cada um dos dias para fins de
referência (em particular porque algumas de minhas mensagens anteriores
foram um pouco confusas, ou por não ter a solução junto ou por não dizerem
no subject sobre que problema tratavam). Seguem aqui (como sempre, após a
mensagem original do Shine) as soluções do primeiro dia.
Abraços,
Gugu
Oi gente,
Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
http://www.mathlinks.ro/
Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
seus lados iguais.
Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
Solução: Spg, ponha A1 = (x,0); A2 = (-y,0), onde x,y sao reais positivos
com x+y = r, r o lado do hexagono.
Sejam a e b os angulos B1,A2,C e C2,A1,B respectivamente (i.e, os
angulos do hexagono com a base BC).
Pensando vetorialmente, temos C1 = (x+rcos(b)-rcos60, rsen(b)+rsen60); B2
= (-y-rcos(a)+rcos60, rsen(a)+rsen60).
Como todos os lados sao iguais, a distancia de C1 a B2 eh r. Usando que
x+y=r, cos60 = 1/2 e a formula da distancia entre dois pontos isso dá:
(cos(b)+cos(a))^2 + (sen(b)-sen(a))^2 = 1 donde cos(a+b) = -1/2 e a+b = 120
graus.
Esse mesmo raciocínio se aplica a cada uma das bases, e portanto os
triângulos das pontas são todos congruentes.
Todos os lados do triangulo B2,C2,A2 são iguais (cada um deles eh base
de um triangulo de lados r,r com angulo 120-b entre esses r´s) e portanto
ele eh equilatero. As retas B1C2, A1B2, C1A2 são alturas desse triangulos
equilatero (a congruencia LLL dos triangulos B1B2C2 e B1A2C2 implicam C2B1
perpendicular a B2A2), e portanto concorrem num ponto.
2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
para todo n inteiro positivo os números
a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
por n.
Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
seqüência a_1,a_2,...
Solução:
Basta provar que o 0 aparece na sequencia, pois r aparece na sequencia
(x_n) sse 0 aparece na sequencia (x_n - r), e (x_n) tem as propriedades do
enunciado sse (x_n - r) tem.
Suponha, spg, x1 = p 0 (se x10, olhe para a sequencia (- x_n) ):
Temos entao x2 = p-1 ou x2 = p+1 (pq se x2 = p+i com i impar 1, entao
x2=x1 (mod i) e i =3 ainda nao chegou!).
Vamos provar por inducao que a sequencia nunca da saltos, i.e, que
cada novo termo está a uma unidade de distancia de algum termo que ja
apareceu na sequencia. Como a sequencia eventualmente fica negativa, isso
garante que ela passa pelo zero.
Suponha que {x1,x2,...,xt} = {p-s,...,p-2,p-1,p,p+1,p+2,...,p+r} com
r+s+1=t.
Entao, as unicas opcoes para x(t+1) sao p-s-1 e p+r+1 (observe que
p+r+1=p-s-1 (mod t+1)).
De fato, olhando mod (t+1) temos que {p-s-1,p-s,...,p+r} e {p-s,
...,p+r,p+r+1} formam um sistema completo de residuos mod(t+1) (pois sao uma
versao transladada de {1,2,...,r+s+2=t+1}). Os numeros que poderiam ocupar a
posicao x(t+1) sao portanto os que tem a mesma classe que estes dois tem mod
(t+1), i.e, sao: p+r+1, p+r+1+(t+1), p+r+1+2(t+1), ..., p-s-1, p-s-1-(t+1),
p-s-1-2(t+1), ...
Agora, se x(t+1) = p+r+1+k(t+1) com k1, entao x(t+1)=p+r (mod
1+k(t+1)), e como 1+k(t+1) t+1, isso vai estragar a sequencia na posicao
1+k(t+1). O outro caso eh analogo.
3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz = 1.
Prove que
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) +
(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) +
(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) = 0.
Solução:
Tirando mmc e olhando para as somas simétricas, a desigualdade eh
equivalente a:
sym_sum (x^5-x^2)(x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = 0
Como (x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = x^4 +(y^5+z^2+y^2+z^5)x^2 +
(y^5+z^2)(z^5+y^2), o que quero eh:
sym_sum (x^9 + 2x^7y^5 + 2x^7y^2 + 2x^5y^7 + x^5y^5z^5 + x^5y^2z^2)
=
sym_sum
Re: [obm-l] Dúvida - conjuntos
As imagens não estão aparecendo... Em 27/07/05, admath[EMAIL PROTECTED] escreveu: A dúvida encontra-se em: http://www.admath.cjb.net Obrigado. Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! -- Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas. (Paul Erdos) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sequencia convergente para zero
Achei este problema, aparentemente complicado, interessante. Seja a_n uma sequencia limitada de reais tal que a_1 0 e a_n =0 para n=2. Sejam s_n = a_1...+ ..a_n, b_n = (a_n)/(s_n) e t(n) = b_1...+b_n. Mostre que lim (a_n)/(t_n) =0. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Time de Ouro vence na Bulgária
Time de Ouro vence na Bulgária Alunos conquistam medalhas de Ouro, Prata e Bronze na 12th. International Mathematical Competition for University Students (Blagoevgrad - Bulgária) 22 a 28 de julho de 2005 O Brasil teve um resultado espetacular na 12a. IMC - International Mathematical Competition for University Students, que acontece até o dia 28 de julho na Bulgária, conquistando ao todo 3 medalhas de Ouro, 4 medalhas de Prata, 6 medalhas de Bronze e 4 Menções Honrosas. O estudante de 19 anos ALEX CORRÊA ABREU da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) conquistou Medalha de Ouro Especial - Grand First Prize na competição. A distinção corresponde a um prêmio especial outorgado somente aos melhores colocados dentre os ganhadores de medalha de ouro. Os estudantes FÁBIO DIAS MOREIRA da PUC-Rio e THIAGO BARROS RODRIGUES COSTA da UNICAMP, também ganharam medalhas de ouro. No evento participam mais de 82 instituições de ensino superior, contando com algumas das principais instituições de ensino do mundo como, por exemplo, Princeton, Cambridge, École Polytechnique, Instituto Max Planck, Instituto Technion, Oxford University, Universidade Complutense de Madri e Universidade de Moscou. Este ótimo resultado acentua o grande sucesso que vem sendo alcançado pelo Brasil nos últimos anos em competições do gênero, nas quais têm sido conquistadas as primeiras colocações em eventos internacionais como a Olimpíada de Matemática do Cone Sul, na qual este ano os quatro estudantes brasileiros conquistaram 2 medalhas de Ouro e duas de Prata, a Olimpíada Ibero-americana de Matemática em cuja última edição todos os quatro participantes brasileiros conquistaram medalhas de Ouro e recentemente na International Mathematical Olympiad (IMO-2005) onde o estudante Gabriel Tavares Bujokas de 17 anos foi premiado com medalha de Ouro. A participação brasileira nestas competições é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática, iniciativa que atualmente atinge mais de 200 mil estudantes e que tem desempenhado um importante papel relacionado à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em matemática nas modalidades de ensino fundamental, médio e superior nas instituições públicas e privadas de todo o Brasil. A Olimpíada Brasileira é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática, do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e conta com o apoio do CNPq, Instituto do Milênio Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira, Academia Brasileira de Ciências e da Faperj. 12th. International Mathematical Competition for University Students (Blagoevgrad - Bulgária 22 a 28 de julho de 2005) RESULTADO BRASILEIRO Medalha de Ouro Especial (GRAND FIRST PRIZE) Alex Corrêa Abreu - Universidade Federal do Rio de Janeiro-UFRJ Medalha de Ouro (FIRST PRIZE) Fábio Dias Moreira-PUC-Rio Thiago Barros Rodrigues Costa-UNICAMP Medalha de Prata (SECOND PRIZE) Bernardo F. P. da Costa - Universidade Federal do Rio de Janeiro-UFRJ Thiago Sobral - Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA Carlos Stein Naves de Brito -Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva - Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Medalha de Bronze (THIRD PRIZE) Yuri Gomes Lima - Universidade Federal do Ceará-UFC Eduardo Bertoldi - Universidade Federal do Espírito Santo-UFES Murilo Vasconcelos de Andrade - Instituto Militar de Engenharia-IME Diêgo Veloso Uchôa - Instituto Militar de Engenharia-IME Eduardo Famini Silva - Instituto Militar de Engenharia-IME Leonardo Augusto Zão - Instituto Militar de Engenharia-IME Menção Honrosa Kellêm Corrêa Santos - Instituto Militar de Engenharia-IME Luis Daniel Barbosa Coelho - Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA Anne Caroline Bronzi-UNICAMP Rodrigo Roque Dias-USP-SP Informações: Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Tel: 21-25295077 Fax: 21-25295023 e-mail:[EMAIL PROTECTED] site oficial da competição: http://imc-math.org/ site da olimpíada brasileira de matemática: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida - conjuntos
Acho que agora está aparecendo. http://www.admath.cjb.net Obrigado. "Daniel S. Braz" [EMAIL PROTECTED] escreveu: As imagens não estão aparecendo...Em 27/07/05, admath<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: A dúvida encontra-se em: http://www.admath.cjb.net Obrigado."Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas." (Paul Erdos) Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] angulo
O Suplemento do triplo do complemento da metade de um angulo é igual ao triplo do complemento desse angulo. determine o angulo. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida - conjuntos
Na representação de conjuntos pelo diagrama de Euler-Venn é importante destacar que cada elemento deve ser acompanhado de um ponto.Assim saberemos distinguir os elementos eliminando qualquer dúvida ou ambiguidade.Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Implicaçã o
Artur Costa Steiner wrote:
Eh que o texto original dizia que, se x eh um natural e x^2 + 1 = 0 ,
entao x E {-1,1}. Por vacuidade, a firmação estah entao certa. Em vez
de {-1,1} poderia ser qualquer conjunto,
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *Osvaldo Mello
Sponquiado
*Enviada em:* quarta-feira, 27 de julho de 2005 15:28
*Para:* obm-l
*Assunto:* [obm-l] Re:[obm-l] Implicação
Nem eu.
(-1)^2+1=2=!0
e 1^2+1=!0 tambem
x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1}
Não entendi porque a implicação é verdadeira.
Oi, acredito que seja apenas uma questão de lógica.
Considere as seguintes afirmações:
p: x é natural
q: x^2+1=0
r: x \in {-1,1}
façamos a tabela-verdade de p e q = r
p | q | r | p e q | p e q = r
v | v | v | v |v
v | v | f | v |f (observe que a implicação é de v-f)
v | f | v | f |v (f-v é v)
v | f | f | f |v (f-f é v)
f | v | v |f|v
f | v | f | f|v
f | f | v | f|v
f | f | f | f |v
Bom, depois dessa tabela, cuja formatação está horrível, mas acredito
que compreensível. Observe que se p e q for falso, qualquer implicação é
verdadeira. Portanto, se x é natural (pode ser verdadeiro ou falso) e
x^2+1=0 (só é verdadeiro se x for i ou -i e portanto x não é natural)
temos que p e q é sempre falso. Logo qualquer
que seja o resultado de r, a implicação é sempre verdadeira.
Abraços,
Carlos.
___
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis.
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] angulo
o angulo é 80 graus - Original Message - From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, July 28, 2005 9:45 PM Subject: [obm-l] angulo O Suplemento do triplo do complemento da metade de um angulo é igual ao triplo do complemento desse angulo. determine o angulo. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
