[obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
> Dois jogadores colocam alternadamente moedas sobre uma mesa redonda, sem > sobrepor as moedas. O jogador que não puder colocar uma moeda perde. Quem > tem a estratégia vencedora? > Se você for o primeiro jogador, acho que existe uma estratégia: Comece colocando a primeira moeda no centro da mesa. Agora fixe uma linha imaginária que divida a mesa em dois pedaços iguais (uma linha passando pelo centro da mesa redonda). A partir daí, para cada jogada que o adversário fizer, jogue na posição simétrica àquela que o adversário jogou (em relação a sua linha imaginária). Acho que se o adversário encontrou algum espaço para colocar uma moeda numa das metades, então vc também encontrará na outra. Caso ele coloque a moeda por cima da linha imaginária, acho que vc precisa traçar uma segunda linha, perpendicular à linha original e também passando pelo centro da mesa, e usar essa segunda para fazer a simetria desse caso. []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: RES: [obm-l]
Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n. Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade <==> S_1 = Binom(n,1) = n <==> a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. > > []s, > Daniel > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, > o > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores > de > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se > decidir > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh > maximo > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no > caso > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, > exige > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como > este, > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me > lembro > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto > eh > '>'maximo ou minimo global. > '>' > '>'Artur > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
RE: RES: [obm-l]
Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige '>'condicoes de convexidade ou concavidade. '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh '>'maximo ou minimo global. '>' '>'Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
eu imaginei que vc soh pudesse tirar de uma mesma pilha do começo ao fimse for diferente, fica o que Ponce disse. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Este e o caso com duas pilhas. > O caso com mais pilhas(como a que eu fiz) pode ser > resolvido de várias maneiras(alem da minha). > Mas mesmo assim, este caso de "duas pilhas" nao tem > tanta graça, e a estratégia é justamenyte a que o > Ponce falou (manter as pilhas iguais). > Mas mesmo assim, é um problema interessante... > > > --- Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > Olá Chicao e Johann, > > parece-me que um jogador pode tirar pedras de > > qualquer > > pilha, e que a estratégia é tentar sempre deixar > as > > pilhas com mesmo número de pedras. > > Assim, se ninguém vacilar, o segundo jogador > sempre > > ganha: basta "repetir" a jogada do primeiro, > > invertendo a pilha escolhida. > > []'s > > Rogerio Ponce. > > > > > > --- Chicao Valadares > <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > a estrategia que sempre ganha eh vc ser o > segundo > > > jogador e tirar uma pedra de cada vez. > > > > > > > > > > > > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > > Bem, neste tipo de proposicao, quando se fala > em > > > > estrategia vencedora, ela deve valer para > todos > > os > > > > casos, e nao para "os casos de vacilo" do > > > > adversario. > > > > > > > > > > > > Mas enfim... > > > > Há uma estrategia que vale em todos os casos > de > > > > pilhas de pedras. > > > > Vamos colocar um caso diferente deste: > > > > as pilhas tem 1,2,3,4,5,6,7. > > > > > > > > Ou, como todo bom computeiro, podemos escrever > > > estes > > > > valores em binario: > > > > > > > > 001 > > > > 010 > > > > 011 > > > > 100 > > > > 101 > > > > 110 > > > > 111 > > > > > > > > Agora vamos somá-las, de uma maneira nem um > > pouco > > > > convencional: > > > > > > > > 001 > > > > 010 > > > > 011 > > > > 100 > > > > 101 > > > > 110 > > > > 111 > > > > ***+ > > > >444 > > > > > > > > Veja que todas as somas deram pares. Com isto, > a > > > > pessoa que jogar agora perdeu o jogo(isso se > > você > > > e > > > > o > > > > seu adversario nao vacilarem, como eu estou > > > > supondo). > > > > > > > > Suponha que você, na sua vez de jogar, ciente > > > deste > > > > fato fatídico, tira 3 pedras do montinho de 7. > > > > > Agora temos esta distribuicao: > > > > > > > > > > > > 001 > > > > 010 > > > > 011 > > > > 100 > > > > 101 > > > > 110 > > > > 010 > > > > ***+ > > > > 343 > > > > > > > > Como o 3 e o outro 3 (ensanduichando o 4) sao > > > > impares, > > > > a ideia sera transforma-los em numeros pares, > > para > > > > assim te manter no desespero, hahaha! > > > > Que tal tirar 101? De fato, > > > > > > > > 343 > > > > 101 > > > > ***- > > > > 242 > > > > > > > > Agora e so encontrar de onde tirar 101(ou 5, > > > > interprte > > > > como quiser). > > > > Fácil: > > > > > > > > 001 > > > > 010 > > > > 011 > > > > 100 > > > > 101 -- Esvazie essa! > > > > 110 > > > > 010 > > > > > > > > Veja que a subtracao tambem nao e convencional > > :P > > > > Aí teremos algo como > > > > > > > > 001 > > > > 010 > > > > 010 > > > > 011 > > > > 100 > > > > 110 > > > > ***+ > > > >242 > > > > > > > > E assim vai. Com esta estrategia voce estara > > > fadado > > > > a > > > > perdiçao, hahahaha(risadas mais malignas > > aqui...). > > > > > > > > Mas aplicando neste caso (7,7), da o que voce > > > disse: > > > > sempre tirar para deixar os montes iguais. > > > > > > > > > > > > --- Chicao Valadares > > > <[EMAIL PROTECTED]> > > > > escreveu: > > > > > > > > > > Existem duas pilhas com 7 pedras cada. Na > > sua > > > > vez, > > > > > > um jogador pode retirar > > > > > > quantas pedras ele quiser, mas somente de > > uma > > > > das > > > > > > pilhas. O perdedor é o > > > > > > jogador que não puder jogar. Quem tem a > > > > estratégia > > > > > > vencedora? > > > > > > > > > > - Note que, se em um momento qualquer de uma > > > nova > > > > > rodada o jogador X tiver mais pedras que o > > > > jogador > > > > > Y, > > > > > basta o jogador X tirar uma pedra de cada > vez > > e > > > > vice > > > > > versa.Ou seja , espera-se o vacilo de outro > > > > jogador > > > > > tirando mais d euma pedra. > > > > > > > > > > - Sabendo-se disso entao o jogador X e o > > jogador > > > Y > > > > > resolvem tirar uma pedra de cada vez(jogador > x > > > > > sempre > > > > > comeca jogando em uma rodada).Sendo assim , > > > sempre > > > > o > > > > > jogador Y ganha, pois na vez do jogador X > ele > > > nao > > > > > tera > > > > > mais pedras pra jogar. > > > > > > > > > > Enfim basta ser o segundo jogador e sempre > === message truncated === "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... " Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações
RES: [obm-l]
Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige condicoes de convexidade ou concavidade. Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh maximo ou minimo global. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 2 de outubro de 2005 03:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Olá! Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde y_i > 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n sujeita às condições y_i > 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores de lagrange para concluir que y_1 = ... = y_n = 1 gera um mínimo dessa função sobre a superfície y_1*...*y_n = 1. Justamente, por esse método, notando que estamos com f(y_1,..., y_n) = p(1) e g(y_1,...,y_n) = y_1*...*y_n = 1 boas o suficiente para aplicar lagrange, vem que existe um real u tal que f_(y_i) = u*g_(y_i) para todo i, onde h_(y_i) é a derivada parcial de h em relação à variável y_i. Assim, temos o seguinte: f(y_1,...,y_n)/(1 + y_i) = u*g(y_1,...,y_n)/y_i para todo i, de maneira que y_i/(1 + y_i) = y_j/(1 + y_j) ==> y_i = y_j para todo i, j. Como o produto de toda a galera é 1, vem que y_1 = ... = y_n = 1 para todo mundo, de modo f(1,...,1) = 2^n é um ponto de mínimo, logo p(1) >= 2^n quaisquer que sejam as raízes negativas com módulo dando produto 1. []s, Daniel '>'seja um polinômio de grau n. todas as suas raízes são < 0. O termo independente '>'e o coeficiente da maior potência tem valores númericos igual a '>'unidade. Provar que P(1) > 2 elevado a n ; ou P(1) = 2 elevado a n. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Exercício de analise
Suponhamos que (a) vigore e, nos reais expandidos, sejam a e b os pontos
extremos inferior e superior de I. Se x (b).
Suponhamos agora que (b) vigore e, nos reais expandidos, sejam w =
infimo I e s = supremo I..Se w=s, entao I contem um unico elemento, podendo ser
visto como um intervalo fechado degenerado. Se w < s,
entao, para todo z pertencente a (w, s) temos w < z < s,
existindo assim (definicoes de supremo e de infimo) x e y
em I tais que w <= x < z < y <= s. Pela hipotese (b),
segue-se que z pertence a I, o que implica que (w, s) esteja contido
em I. Logo, (w,s) contido em I contido em [w,s]. Dito de outra forma, isto
significa que ou I =(w,s) ou, alem dos elementos de (w,s), I contem um
ou ambos os elementos de {w,s}. Para que isto seja possivel, temos
necessriamente que I eh um intervalo com pontos extremos w e s. Logo, (b)
=> (a).
Artur
[Artur Costa
Steiner] M ensagem original-De:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
Raphael SantosEnviada em: domingo, 2 de outubro de 2005
23:08Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Exercício
de analise
Boa Noite a todos da
lista,
Gostaria de uma ajuda no seguinte
exercicio:
Verificar que as afirmações são
equivalentes:
(a) I C R é um intervalo;
(b) Dados x e y em I, se z € R é
tal que x
obs.: C - está contido; R -
Conj. dos Num. Reais; € - pertence
Obrigado,
Raphael
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Re: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Este e o caso com duas pilhas. O caso com mais pilhas(como a que eu fiz) pode ser resolvido de várias maneiras(alem da minha). Mas mesmo assim, este caso de "duas pilhas" nao tem tanta graça, e a estratégia é justamenyte a que o Ponce falou (manter as pilhas iguais). Mas mesmo assim, é um problema interessante... --- Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá Chicao e Johann, > parece-me que um jogador pode tirar pedras de > qualquer > pilha, e que a estratégia é tentar sempre deixar as > pilhas com mesmo número de pedras. > Assim, se ninguém vacilar, o segundo jogador sempre > ganha: basta "repetir" a jogada do primeiro, > invertendo a pilha escolhida. > []'s > Rogerio Ponce. > > > --- Chicao Valadares <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > a estrategia que sempre ganha eh vc ser o segundo > > jogador e tirar uma pedra de cada vez. > > > > > > > > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > Bem, neste tipo de proposicao, quando se fala em > > > estrategia vencedora, ela deve valer para todos > os > > > casos, e nao para "os casos de vacilo" do > > > adversario. > > > > > > > > > Mas enfim... > > > Há uma estrategia que vale em todos os casos de > > > pilhas de pedras. > > > Vamos colocar um caso diferente deste: > > > as pilhas tem 1,2,3,4,5,6,7. > > > > > > Ou, como todo bom computeiro, podemos escrever > > estes > > > valores em binario: > > > > > > 001 > > > 010 > > > 011 > > > 100 > > > 101 > > > 110 > > > 111 > > > > > > Agora vamos somá-las, de uma maneira nem um > pouco > > > convencional: > > > > > > 001 > > > 010 > > > 011 > > > 100 > > > 101 > > > 110 > > > 111 > > > ***+ > > >444 > > > > > > Veja que todas as somas deram pares. Com isto, a > > > pessoa que jogar agora perdeu o jogo(isso se > você > > e > > > o > > > seu adversario nao vacilarem, como eu estou > > > supondo). > > > > > > Suponha que você, na sua vez de jogar, ciente > > deste > > > fato fatídico, tira 3 pedras do montinho de 7. > > > Agora temos esta distribuicao: > > > > > > > > > 001 > > > 010 > > > 011 > > > 100 > > > 101 > > > 110 > > > 010 > > > ***+ > > > 343 > > > > > > Como o 3 e o outro 3 (ensanduichando o 4) sao > > > impares, > > > a ideia sera transforma-los em numeros pares, > para > > > assim te manter no desespero, hahaha! > > > Que tal tirar 101? De fato, > > > > > > 343 > > > 101 > > > ***- > > > 242 > > > > > > Agora e so encontrar de onde tirar 101(ou 5, > > > interprte > > > como quiser). > > > Fácil: > > > > > > 001 > > > 010 > > > 011 > > > 100 > > > 101 -- Esvazie essa! > > > 110 > > > 010 > > > > > > Veja que a subtracao tambem nao e convencional > :P > > > Aí teremos algo como > > > > > > 001 > > > 010 > > > 010 > > > 011 > > > 100 > > > 110 > > > ***+ > > >242 > > > > > > E assim vai. Com esta estrategia voce estara > > fadado > > > a > > > perdiçao, hahahaha(risadas mais malignas > aqui...). > > > > > > Mas aplicando neste caso (7,7), da o que voce > > disse: > > > sempre tirar para deixar os montes iguais. > > > > > > > > > --- Chicao Valadares > > <[EMAIL PROTECTED]> > > > escreveu: > > > > > > > > Existem duas pilhas com 7 pedras cada. Na > sua > > > vez, > > > > > um jogador pode retirar > > > > > quantas pedras ele quiser, mas somente de > uma > > > das > > > > > pilhas. O perdedor é o > > > > > jogador que não puder jogar. Quem tem a > > > estratégia > > > > > vencedora? > > > > > > > > - Note que, se em um momento qualquer de uma > > nova > > > > rodada o jogador X tiver mais pedras que o > > > jogador > > > > Y, > > > > basta o jogador X tirar uma pedra de cada vez > e > > > vice > > > > versa.Ou seja , espera-se o vacilo de outro > > > jogador > > > > tirando mais d euma pedra. > > > > > > > > - Sabendo-se disso entao o jogador X e o > jogador > > Y > > > > resolvem tirar uma pedra de cada vez(jogador x > > > > sempre > > > > comeca jogando em uma rodada).Sendo assim , > > sempre > > > o > > > > jogador Y ganha, pois na vez do jogador X ele > > nao > > > > tera > > > > mais pedras pra jogar. > > > > > > > > Enfim basta ser o segundo jogador e sempre > tirar > > > uma > > > > pedra de cada vez pra sempre ganhar. > > > > > > > > Sendo o primeiro a jogar, vai depender das > > > > circunstancias do jogo. > > > > > > > > > > ___ > > Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! > Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale > agora! > www.yahoo.com.br/messenger/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > === message truncated === ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ ==
Re: [obm-l] Steiner-1827
Seria mais utilvoce escrever o enunciado, afinal de contas eu não fiz essa prova e nem tenho ela em casa... --- vinicius <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > como demonstro o teorema de Steiner-1827, q caiu no > IME(aquele q pede para demonstar que os 4 circf. > possuem um ponto em comum)?? > > abracos > > Vinicius Meireles Aleixo > ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Recorrência
Eureka! 9 (artigo do Pollman) e Eureka! 15(artigo do
Tengan).
www.obm.org.br
--- Júnior <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Comecei a estudar isso a pouco tempo, seguindo
> pequenas anotaçoes feitas
> pelo meu prof de um pequeno curso que estou fazendo.
> Quais são os bons
> livros q tratam disso ?
>
> Júnior.
>
> Em 01/10/05, Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
> >
> > Oi gente,
> >
> > Bom, primeiro, pelo que entendi, a equação de
> > recorrência é
> > a_n = 2*a_{n-1}*cos(b) - a_{n-2}.
> > Certo?
> >
> > Tem uma maneira mais sistemática para resolver
> essas
> > recorrências, mas esse em particular dá para fazer
> por
> > indução.
> >
> > O meu chute é que a_n = cos(nb). De fato, supondo
> por
> > indução que tal fato é verdadeiro para n=k-1 e
> n=k,
> > temos
> > a_{k+1} = 2*a_k*cos(b) - a_{k-1}
> > = 2*cos(kb)*cos(b) - cos((k-1)b)
> >
> > Lembrando que 2*cos(a)*cos(b) = cos(a+b) -
> cos(a-b),
> > temos
> > a_{k+1} = cos(kb + b) + cos(kb - b) - cos(kb - b)
> > = cos((k+1)b)
> >
> > Observando ainda que a base de indução está nos
> > valores iniciais n=1 e n=2 (precisamos de dois
> valores
> > consecutivos para essa indução!), o resultado
> segue
> > por indução.
> >
> > A maneira "canônica" de resolver recorrências
> desse
> > tipo (ou seja, a_n = c*a_{n-1} + d*a_{n-2}, sendo
> que
> > c e d não dependem de n), é a seguinte: a equação
> > característica da recorrência
> > a_n = 2*a_{n-1}*cos(b) - a_{n-2}.
> > é obtida "trocando subscrito por expoente":
> > x^n = 2*x^{n-1}*cos(b) - x^{n-2}
> >
> > Soluções nulas dessa equação não nos interessam.
> > Assim, queremos na verdade as raízes da equação
> > x^2 = 2*cos(b)*x - 1
> > <=>x^2 - 2*cos(b)*x + 1 = 0,
> > que são x_1 = cos(b)+i*sen(b) e x_2 =
> cos(b)-i*sen(b)
> > (sim, valem raízes complexas!). Assim, pode-se
> provar
> > que
> > a_n = c_1(x_1)^n + c_2(x_2)^n,
> > sendo c_1 e c_2 constantes (nesse caso, algo que
> não
> > depende de n). Para achar tais constantes, basta
> > resolver o sistema linear obtido quando
> substituímos n
> > por 1 e 2, por exemplo:
> > n=1: cos(b) = c_1(cos(b)+i*sen(b))
> > + c_2(cos(b)-i*sen(b))
> > n=2: cos(2b) = c_1(cos(2b)+i*sen(2b))
> > + c_2(cos(2b)-i*sen(2b))
> >
> > Aqui, utilizamos a fórmula de deMoivre: para n
> > inteiro,
> > (cos(b)+i*sen(b))^n = cos(nb)+i*sen(nb),
> > de modo que
> > a_n = c_1(cos(nb)+i*sen(nb))
> > + c_2(cos(nb)-i*sen(nb))
> >
> > Resolvendo o sistema chegamos em c_1 = c_2 = 1/2 e
> > fazendo as contas, chegamos em a_n = cos(nb).
> >
> > []'s
> > Shine
> >
> > --- Júnior <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > > Alguém poderia resolver essa recorrência ?
> > > a_n = 2(cos b)a_n-1 - a_n-2 , para n >= 3 ,
> a_1=cos
> > > b , a_2 = cos 2b
> > >
> > > Júnior.
> > >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
>
__
> > Yahoo! for Good
> > Donate to the Hurricane Katrina relief effort.
> > http://store.yahoo.com/redcross-donate3/
> >
> >
>
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=
> >
>
___
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=
Re: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
E se der a louca no primeiro jogador e ele tirar tres? --- Chicao Valadares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > a estrategia que sempre ganha eh vc ser o segundo > jogador e tirar uma pedra de cada vez. > > > > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Bem, neste tipo de proposicao, quando se fala em > > estrategia vencedora, ela deve valer para todos os > > casos, e nao para "os casos de vacilo" do > > adversario. > > > > > > Mas enfim... > > Há uma estrategia que vale em todos os casos de > > pilhas de pedras. > > Vamos colocar um caso diferente deste: > > as pilhas tem 1,2,3,4,5,6,7. > > > > Ou, como todo bom computeiro, podemos escrever > estes > > valores em binario: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 111 > > > > Agora vamos somá-las, de uma maneira nem um pouco > > convencional: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 111 > > ***+ > >444 > > > > Veja que todas as somas deram pares. Com isto, a > > pessoa que jogar agora perdeu o jogo(isso se você > e > > o > > seu adversario nao vacilarem, como eu estou > > supondo). > > > > Suponha que você, na sua vez de jogar, ciente > deste > > fato fatídico, tira 3 pedras do montinho de 7. > > Agora temos esta distribuicao: > > > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 010 > > ***+ > > 343 > > > > Como o 3 e o outro 3 (ensanduichando o 4) sao > > impares, > > a ideia sera transforma-los em numeros pares, para > > assim te manter no desespero, hahaha! > > Que tal tirar 101? De fato, > > > > 343 > > 101 > > ***- > > 242 > > > > Agora e so encontrar de onde tirar 101(ou 5, > > interprte > > como quiser). > > Fácil: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 -- Esvazie essa! > > 110 > > 010 > > > > Veja que a subtracao tambem nao e convencional :P > > Aí teremos algo como > > > > 001 > > 010 > > 010 > > 011 > > 100 > > 110 > > ***+ > >242 > > > > E assim vai. Com esta estrategia voce estara > fadado > > a > > perdiçao, hahahaha(risadas mais malignas aqui...). > > > > Mas aplicando neste caso (7,7), da o que voce > disse: > > sempre tirar para deixar os montes iguais. > > > > > > --- Chicao Valadares > <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > > Existem duas pilhas com 7 pedras cada. Na sua > > vez, > > > > um jogador pode retirar > > > > quantas pedras ele quiser, mas somente de uma > > das > > > > pilhas. O perdedor é o > > > > jogador que não puder jogar. Quem tem a > > estratégia > > > > vencedora? > > > > > > - Note que, se em um momento qualquer de uma > nova > > > rodada o jogador X tiver mais pedras que o > > jogador > > > Y, > > > basta o jogador X tirar uma pedra de cada vez e > > vice > > > versa.Ou seja , espera-se o vacilo de outro > > jogador > > > tirando mais d euma pedra. > > > > > > - Sabendo-se disso entao o jogador X e o jogador > Y > > > resolvem tirar uma pedra de cada vez(jogador x > > > sempre > > > comeca jogando em uma rodada).Sendo assim , > sempre > > o > > > jogador Y ganha, pois na vez do jogador X ele > nao > > > tera > > > mais pedras pra jogar. > > > > > > Enfim basta ser o segundo jogador e sempre tirar > > uma > > > pedra de cada vez pra sempre ganhar. > > > > > > Sendo o primeiro a jogar, vai depender das > > > circunstancias do jogo. > > > > > > > > > > > > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de > > > Milo. > > > O que há é pouca gente para dar por isso... " > > > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos > > > > > > > > > _ > > > As informações existentes nessa mensagem e no(s) > > > arquivo(s) anexado(s) > > > são > > > para uso restrito, sendo seu sigilo protegido > por > > > lei. Caso não seja > > > destinatário, saiba que leitura, divulgação ou > > cópia > > > são proibidas. > > > Favor > > > apagar as informações e notificar o remetente. O > > uso > > > impróprio será > > > tratado > > > conforme as normas da empresa e a legislação em > > > vigor. Agradecemos sua > > > colaboração. > > > > > > > > > The information mentioned in this message and in > > the > > > archives attached > > > are > > > of restricted use, and its privacy is protected > by > > > law. If you are not > > > the > > > addressee, be aware that reading, disclosure or > > copy > > > are forbidden. > > > Please > > > delete this information and notify the sender. > > > Inappropriate use will > === message truncated === ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Período
Como faço para achar o periodo da função f(x)= sen(3x/7) + cos(x/3) + tg (2x/5) ? Júnior.
Re: [obm-l] Steiner-1827
Voce pode fazer tambem uma solução quase imediata usando reta de Simson. Júnior.Em 03/10/05, Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Caro Vinicius,Esta questao que voce fala e' a decima questao de 1997/1998?Se sim, voce pode achar uma solucao para ela no meu materialsobre as provas do IME:http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime Abraco,sergioOn Sun, 2 Oct 2005, vinicius wrote:> como demonstro o teorema de Steiner-1827, q caiu no IME(aquele q pede para demonstar que os 4 circf. possuem um ponto em comum)??>> abracos>> Vinicius Meireles Aleixo>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Olá Chicao e Johann, parece-me que um jogador pode tirar pedras de qualquer pilha, e que a estratégia é tentar sempre deixar as pilhas com mesmo número de pedras. Assim, se ninguém vacilar, o segundo jogador sempre ganha: basta "repetir" a jogada do primeiro, invertendo a pilha escolhida. []'s Rogerio Ponce. --- Chicao Valadares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > a estrategia que sempre ganha eh vc ser o segundo > jogador e tirar uma pedra de cada vez. > > > > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Bem, neste tipo de proposicao, quando se fala em > > estrategia vencedora, ela deve valer para todos os > > casos, e nao para "os casos de vacilo" do > > adversario. > > > > > > Mas enfim... > > Há uma estrategia que vale em todos os casos de > > pilhas de pedras. > > Vamos colocar um caso diferente deste: > > as pilhas tem 1,2,3,4,5,6,7. > > > > Ou, como todo bom computeiro, podemos escrever > estes > > valores em binario: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 111 > > > > Agora vamos somá-las, de uma maneira nem um pouco > > convencional: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 111 > > ***+ > >444 > > > > Veja que todas as somas deram pares. Com isto, a > > pessoa que jogar agora perdeu o jogo(isso se você > e > > o > > seu adversario nao vacilarem, como eu estou > > supondo). > > > > Suponha que você, na sua vez de jogar, ciente > deste > > fato fatídico, tira 3 pedras do montinho de 7. > > Agora temos esta distribuicao: > > > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 > > 110 > > 010 > > ***+ > > 343 > > > > Como o 3 e o outro 3 (ensanduichando o 4) sao > > impares, > > a ideia sera transforma-los em numeros pares, para > > assim te manter no desespero, hahaha! > > Que tal tirar 101? De fato, > > > > 343 > > 101 > > ***- > > 242 > > > > Agora e so encontrar de onde tirar 101(ou 5, > > interprte > > como quiser). > > Fácil: > > > > 001 > > 010 > > 011 > > 100 > > 101 -- Esvazie essa! > > 110 > > 010 > > > > Veja que a subtracao tambem nao e convencional :P > > Aí teremos algo como > > > > 001 > > 010 > > 010 > > 011 > > 100 > > 110 > > ***+ > >242 > > > > E assim vai. Com esta estrategia voce estara > fadado > > a > > perdiçao, hahahaha(risadas mais malignas aqui...). > > > > Mas aplicando neste caso (7,7), da o que voce > disse: > > sempre tirar para deixar os montes iguais. > > > > > > --- Chicao Valadares > <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > > Existem duas pilhas com 7 pedras cada. Na sua > > vez, > > > > um jogador pode retirar > > > > quantas pedras ele quiser, mas somente de uma > > das > > > > pilhas. O perdedor é o > > > > jogador que não puder jogar. Quem tem a > > estratégia > > > > vencedora? > > > > > > - Note que, se em um momento qualquer de uma > nova > > > rodada o jogador X tiver mais pedras que o > > jogador > > > Y, > > > basta o jogador X tirar uma pedra de cada vez e > > vice > > > versa.Ou seja , espera-se o vacilo de outro > > jogador > > > tirando mais d euma pedra. > > > > > > - Sabendo-se disso entao o jogador X e o jogador > Y > > > resolvem tirar uma pedra de cada vez(jogador x > > > sempre > > > comeca jogando em uma rodada).Sendo assim , > sempre > > o > > > jogador Y ganha, pois na vez do jogador X ele > nao > > > tera > > > mais pedras pra jogar. > > > > > > Enfim basta ser o segundo jogador e sempre tirar > > uma > > > pedra de cada vez pra sempre ganhar. > > > > > > Sendo o primeiro a jogar, vai depender das > > > circunstancias do jogo. ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ENUNCIADOS CURIOSOS!
Um artigo da revista Professor de Matemática explica como um gênio pode ser reprovado em um teste de inteligência, porque a maioria dos testes exige intuição e não dedução, palpites em vez de raciocínio lógico. Com os conhecimentos que você já tem de estatística, responda a seguinte questão: que número está faltando na sequência 1, 2, 4, 5 ? (TECBAN) a) 6b) 7c) 9d) 11e) NRA Considerando as afirmativas, marque a única opção logicamente possível: Assinale a letra "A", se "E" estiver certa. Assinale a letra "C", se "B" for incorreta. A letra "E" será o gabarito, se "D" for opção verdadeira. Se "D" estiver correta, "B" também estará: (BACEN - 94) a) Ab) Bc) Cd) De) E Assinale a alternativa tendo uma contradição: (OBM) a) Todo vascaíno é mentiroso e algum mentiroso não é vascaíno. b) Todo mentiroso é vascaíno e algum vascaíno não é mentiroso. c) Nenhum mentiroso é vascaíno e algum mentiroso não é vascaíno. d) Todo mentiroso não é vascaíno e algum vascaíno é mentiroso. e) Algum mentiroso é vascaíno e algum mentiroso não é vascaíno. Quantos números inteiros e positivos menores do que hum milhão existem cujos os cubos terminam em 1? (OCM) a) 1000b) 1c) 5d) 10e) 50 Divirtam-se! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] CURIOSIDADES!
A vela de um barco se baseia no Princípio de Bernoulli, o mesmo que explica a sustentação das asas de um avião. Só que no veleiro a asa está virada de lado. Afinal! Vocês conhecem o engenhoso artifício, que vem fascinando gerações há cerca de três mil anos e que faz um veleiro avançar contra o vento? Um paquete vai de Anchieta a Itapemirim em 2 horas por um vento favorável. Ao sair de Anchieta sofre vento contrário e percorre 6 milhas a menos do que quando o tempo está bom. No meio do caminho, o vento muda e a velocidade aumenta de 2 milhas. Quando chega a Itapemirim, verifica que levou os 5/7 do tempo que teria levado se a velocidade fosse até o fim como na primeira metade do caminho. Qual a distância total? (Irmãos Maristas - F.T.D) NOTA: Na Coréia do Sul, "Movimentos-de-Cambar", "Fogo-de-Santelmo", "Força-de-Coriolis" e outros, é conhecimento obrigatório no Ensino Fundamental. As crianças de Xangai, costumam brincar de ferver água em panelas de papel, o que para muitos adultos, seria uma tarefa impossível. Talvez, essa curiosidade científica seja o segredo do sucesso dos "Tigres Asiáticos", com destaque para a próspera cidade de Kuala Lumpur, cenário do filme "A Armadilha". Vale lembrar que a Malásia sobrevivia até pouco tempo da "borracha" que foi levada do nosso país pelos Britânicos. Coincidência ou não, Xangai e Malásia são as duas cidades que mais crescem no Planeta. E como se não bastasse, Cingapura é a única cidade na face da Terra sem congestionamentos e poluição causados por carros, devido seu inovador e bem sucedido sistema de pedágios. Bom Proveito! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Steiner-1827
Caro Vinicius, Esta questao que voce fala e' a decima questao de 1997/1998? Se sim, voce pode achar uma solucao para ela no meu material sobre as provas do IME: http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime Abraco, sergio On Sun, 2 Oct 2005, vinicius wrote: > como demonstro o teorema de Steiner-1827, q caiu no IME(aquele q pede para > demonstar que os 4 circf. possuem um ponto em comum)?? > > abracos > > Vinicius Meireles Aleixo > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] A CURIOSA MATEMÁTICA ELEITORAL!
Deixando de lado, a polêmica da temporada de Referendo..., as eleições para o Senado Federal têm peculiaridades interessantes. A cada quatro anos elegemos, alternadamente, ora um, ora dois senadores por Estado e a cada oito anos, para preencher as duas vagas no Senado, cada eleitor tem direito de votar em dois nomes. Isso é peculiar, pois para preencher dezenas de vagas nas demais casas legislativas, só podemos votar em um candidato. Terá isso alguma influência no resultado final? Há alguns anos, num certo Estado, concorreram três candidatos ao Senado: dois deles, A e B, com forte imagem política e um terceiro, C, simplesmente uma pessoa simpática. Se fosse eleição para um só senador esse terceiro candidato certamente ficaria em terceiro lugar. Surpreendentemente, entretanto, ele ficou em segundo lugar, sendo eleito. A razão parece ter sido que o eleitor que votava em A jamais votaria em B e, simetricamente, o eleitor de B jamais votaria em A. Por essa razão o candidato C, de menor rejeição política, acabou sendo a segunda escolha, tanto para os eleitores de A quanto de B, conseguindo o 2º lugar. Isso porque a apuração não distingue a primeira da segunda escolha de cada eleitor, somando igualmente os votos. Na Câmara de Vereadores de uma democracia, há sòmente dois partidos: O Popular e o Trabalhador. Um vereador do primeiro, que é o partido majoritário, passa para o partido Trabalhador. Da tribuna, um edil faz lamentações dizendo: "A maioria do partido Popular se reduz de 9 para 8 cadeiras". Que erro cometeu o orador? Bom Referendo! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] The Art of Problem Solving
sabe onde eu posso encontrar? benedito wrote: Muito bons. Benedito - Original Message - From: "Adroaldo Munhoz" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Sunday, October 02, 2005 6:50 PM Subject: [obm-l] The Art of Problem Solving Alguém conhece os livros /* The Art of Problem Solving, Volumes I and II*/, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk? São bons? Abraços, Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ASSEPSIA MENTAL!
Oi, Pessoal! Como fizemos uma péssima faxina, nada mais recomendável que uma boa desinfecção. O terrorista deixou seu último explosivo com dois fios visíveis, um vermelho e outro azul. Num audacioso telefonema para a polícia, ele disse que nenhum deles é inútil: ao ser cortado, cada fio detona ou desarma o artefato. Disse ainda que os bilhetes atados aos fios eram ambos sinceros, ou ambos mentirosos, simultaneamente. O bilhete do fio vermelho dizia: "Pelo menos um fio desarma". No azul, lia-se: "O fio vermelho detona". Que fio cortar? Três matemáticos em fila indiana dispõem, a princípio, de dois chapéus pretos e três brancos. O último da fila poderá ver a cor dos chapéus dos dois que estão à sua frente. O do meio verá apenas a cor do chapéu do primeiro da fila. Se retiro aleatóriamente dois chapéus, sem eles perceberem, qual dos três irá acertar a cor do seu respectivo chapéu se pelo menos um matemático permanecer calado? Afinal! Quem terá maior influência para uma decisão correta? Bom Asseio! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] The Art of Problem Solving
Muito bons. Benedito - Original Message - From: "Adroaldo Munhoz" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Sunday, October 02, 2005 6:50 PM Subject: [obm-l] The Art of Problem Solving Alguém conhece os livros /* The Art of Problem Solving, Volumes I and II*/, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk? São bons? Abraços, Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
