Re: [obm-l] numeros primos
Cara, acho que qualquer número inteiro positivo c pode ser representado na forma 3c-2c, fazendo a = b = c. Será que não está faltando algum detalhe na questão? []s, Maurício --- Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] wrote: preciso de ajuda com essa questão: Qual o menor número primo P que NAO pode ser representado na forma 3^a - 2^b (em módulo) ? onde a e b são inteiros positivos. por favor, apresentem a resolucao! valeu _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Questão de analise
Isto eh consequencia dos seguintes fatos: Se uma sequencia diverge propriamente para +oo ou - oo, entao o mesmo se verifica para todas as suas subsequencias. Logo, se uma sequencia contem uma subseq. que nao diverge propriamente para + ou - oo, entao a seq. toda nao diverge propriamente. Sequencias monotonicas ou convergem ou divergem propriamente para + oo ou - oo. Logo, se uma de suas subseqs convergir, a seq. original mnao pode ir para + ou - oo e, portamto, converge. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Raphael SantosEnviada em: quarta-feira, 14 de dezembro de 2005 00:39Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Questão de analise Boa noite Preciso de ajuda na seguinte questão. Prove que se uma seqüência monótona tem uma subseqüência convergente, então a seqüência é, ela própria, convergente. Raphael Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] quest�es de olim internacional
Para o outro, note que n^4 - 4n^3 + 14n^2 - 20n + 10 = (n^2 - 2n + 5)^2 - 15. Então, sendo x = n^2 - 2n + 5 e y^2 = n^4 - 4n^3 + 14n^2 - 20n + 10, y^2 = x^2 - 15 = (x-y)(x+y) = 15. Logo, considerando que x e y são inteiros positivos, temos (x-y = 1 e x+y = 15) ou (x-y=3 e x+y=5). No primeiro caso, obtemos x = 8 e no segundo, x = 4. Substituindo em x = n^2 - 2n + 5 obtemos as únicas soluções n = 3, -1, 1. Nesse caso, demos sorte. E se fosse n^4-4n^3+14n^2-19n+10? Aí é só ver que, na maioria dos casos, (n^2-2n+5)^2 n^4-4n^3+14n^2-19n+10 (n^2-2n+6)^2 e então, nesses casos, n^4-4n^3+14n^2-19n+10 não é quadrado perfeito. []'s Shine --- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote: Na questão 74, faça y=x^2-3x-2 e obtenha o seguinte sistema de equações: .y=x^2-3x-2 .x=y^2-3y-2 E agora subtraia as duas equações. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros primos
On 13/12/05, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: 2^0 O enunciado diz onde a e b são inteiros positivos. 0 não é positivo... Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questões de olim internacional
Legal!
RE: [obm-l] numeros primos
pessoal, falei bobeira... sao inteiros nao negativos, ou seja, a e b podem ser nulos... assim, para a=1 e b=o, p=3^a - 2^b seria igual a 2. fui testando aqui e consegui representar ateh o numero 29, seria 31 o menor primo que nao eh expresso dessa forma? From: Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] numeros primos Date: Tue, 13 Dec 2005 13:31:05 -0200 preciso de ajuda com essa questão: Qual o menor número primo P que NAO pode ser representado na forma 3^a - 2^b (em módulo) ? onde a e b são inteiros positivos. por favor, apresentem a resolucao! valeu _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros primos
31 acho q nao hein... veja: 3^0 - 2^5 = -31 q em modulo eh 31. Abraços - Original Message - From: Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, December 14, 2005 1:39 PM Subject: RE: [obm-l] numeros primos pessoal, falei bobeira... sao inteiros nao negativos, ou seja, a e b podem ser nulos... assim, para a=1 e b=o, p=3^a - 2^b seria igual a 2. fui testando aqui e consegui representar ateh o numero 29, seria 31 o menor primo que nao eh expresso dessa forma? From: Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] numeros primos Date: Tue, 13 Dec 2005 13:31:05 -0200 preciso de ajuda com essa questão: Qual o menor número primo P que NAO pode ser representado na forma 3^a - 2^b (em módulo) ? onde a e b são inteiros positivos. por favor, apresentem a resolucao! valeu _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ainda sobre Teoria dos Números
Pessoal, uma deficiencia que sempre tive foi em Teoria dos numeros. Como acho que nunca e' tarde para aprender, sera' que voces poderiam me indicar uma boa bibliografia neste tema? Abracos desde ja', Leonardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Alguns problemas de Teoria de Numeros
Considere n = sum(i=0..k, a_i * 10^i). n mod 9 = sum(i=0..k, (a_i*10^i) mod 9) mod 9 = sum(i=0..k, (a_i*1^i) mod 9) mod 9 = sum(i=0..k, a_i mod 9) mod 9. Então o resto da divisao de n por 9 é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos de n. Generalize esse resultado facilmente para ver que o resto da divisão de um número por 9 é igual ao resto da divisão da soma de seus pedaços por 9. Abraço BrunoOn 12/14/05, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu não entendi porque você quebrou o primeiro em soma de seus componentes. Por que isso? Bruno França dos Reis wrote: 1) 723548923452346857398473659 mod 9 = 72 + 3 + 54 + 8 + 9 + 23 + 45 + 23 + 468 + 5 + 7 + 3 + 9 + 847 + 36 + 5 + 9 mod 9 = 3 + 8 + 23 + 23 + 5 + 7 + 3 + 847 + 5 mod 9 = 2 + 1 + 3 + 3 + 1 + 5 mod 9 = 15 mod 9 = 6 2) n^7 - n = (n^6 - 1)n = (n^3 + 1)(n^3-1)n É fácil ver que isso é sempre um número par, pois se n o for, acabou. Se não, n não será, bem como n^3, e então n^3+-1 será. Tomando a expressão mod 3, temos 3 casos: n = 0 mod 3: Então a expressão é divisível por 3 n = 1 mod 3: n^3 - 1 = 1^3 - 1 = 0 mod 3 Então novamente a expressão é div. por 3 n = -1 mod 3: n^3 + 1 = (-1) Logo a expr. é div por 3 sempre. Agora mod 7: n = 0 mod 7, trivial n = +-1 mod 7 == n^3 -+1 = 0 mod 7 n = +-2 mod 7 == n^3 -+ 1 = 0 mod 7 n = +-3 mod 7 == n^3 +- 1 = 0 mod 7 Logo o número n^7 - n é sempre divisível por 2, 3, e 7. Logo é sempre múltiplo de 42. 3) 13^143 + 6^15 mod 7 = (-1)^143 + (-1)^15 = -2 = 5 mod 7. (-2)^33 = (-2)^(11*3) = ((-2)^3)^11 = (-8)^11 = -1 = 6 mod 7. Portanto o resto da divisão é 6. 4) Esse aqui braçal a resolução, é só armar a multiplicação e ir fazendo conta. Dá 153846: 4 * 153846 = 615384 5) a) 7 | 2^n - 1, n = ? Quero 2^n - 1 = 0 mod 7 == 2^n = 1 mod 7 Tomando n 3 nenhum satisfaz (0 satisfaz, mas 0 é natural? depende da convenção). Tomemos então n = 3. Satisfaz. Se n 3, podemos escrever k = n-3, e então 2^n = 2^k * 2^3 = 2^k * 1 = 2^k mod 7. Vemos k 3 não satisfaz (0 satisfaz, blablabla). Tomando k = 3, satisfaz. Vemos então que todos os números multiplos de 3 satisfazem, e apenas estes. 2^3a = (2^3)^a = 1^a = 1 mod 7 2^(3a+1) = 2 mod 7 2^(3a+2) = 4 mod 7 b) Temos então que (i) n = 3a == 2^n mod 7 =1 == 2^n + 1 mod 7 = 2 (ii) n = 3a+1 == 2^n mod 7 = 2 == 2^n + 1 mod 7 = 3 (ii) n = 3a+2 == 2^n mod 7 =4 == 2^n + 1 mod 7 = 5 o que mostra que nunca será 2^n + 1 múltiplo de 7. Vou almoçar, depois brinco com os outros. Abraço, Bruno On 12/14/05, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Segue alguns problemas de Teoria de Números. 1. Determine o resto da divisão de 723548923452346857398473659 por 9. 2. Mostra que para qualquer n, o número n^7 - n é múltiplo de 42. 3. Determina o resto da divisão de (13^143 + 6^15)^33 por 7. 4. (OIM-1962) Encontre o menor número natural n tal que: (a) o algarismo das unidades é 6; (b) se apagarmos esse 6 e o pusermos antes dos outros dígitos, o novo número é o quádruplo do número original. 5. (OIM-1964) (a) Encontra todos os inteiros positivos n tais que 2^n - 1 é múltiplo de 7. (b) Mostra que não há nenhum inteiro positivo n para o qual 2^n + 1 é divisível por 7. 6. Um cesto tem capacidade para 300 ovos mas não está totalmente cheio. Se retirarmos os ovos 2 de cada vez, no final sobra 1; se forem 3 de cada vez, sobram 2; se forem 4 de cada vez, sobram 3; se forem 5 de cada vez, sobram 4; se forem 6 de cada vez, sobram 5; se forem 7 de cada vez, o cesto fica vazio. Quantos ovos estão no cesto? 7. Determina um número inteiro cujos restos na divisão por 3, 5 e 7 são respectivamente 2, 3 e 2. 8. Mostra que todo o inteiro da forma 3k + 2 tem um factor primo da mesma forma. 9. Mostra que todo o número primo da forma 3k + 1 é da forma 6t + 1. 10. Indica quantos números de 4 algarismos, com os últimos três iguais, são divisíveis por 8. 11. Mostra que o algarismo das unidades de n, n2, n3, : : :, se repetem de 4 em 4. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Questão de analise =20?=
Artur, valeu pela ajuda RaphaelArtur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Isto eh consequencia dos seguintes fatos: Se uma sequencia diverge propriamente para +oo ou - oo, entao o mesmo se verifica para todas as suas subsequencias. Logo, se uma sequencia contem uma subseq. que nao diverge propriamente para + ou - oo, entao a seq. toda nao diverge propriamente.Sequencias monotonicas ou convergem ou divergem propriamente para + oo ou - oo. Logo, se uma de suas subseqs conver! gir, a seq. original mnao pode ir para + ou - oo e, portamto, converge.Artur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Raphael SantosEnviada em: quarta-feira, 14 de dezembro de 2005 00:39Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Questão de analise Boa noite Preciso de ajuda na seguinte questão.Prove que se uma seqüência monótona tem uma subseqüência convergente, então a seqüência é, ela própria, convergente.Raphael Yah! oo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Ainda sobre Teoria dos Números
on 14.12.05 15:08, Leonardo de Almeida Matos Moraes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, uma deficiencia que sempre tive foi em Teoria dos numeros. Como acho que nunca e' tarde para aprender, sera' que voces poderiam me indicar uma boa bibliografia neste tema? Abracos desde ja', Leonardo. De uma olhada em: http://www.numbertheory.org/ntw/lecture_notes.html ou entao: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/notes.html []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DESIGUALDADE
Prove que se a, b,c sao lado de um triangulo entao :a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) ¡Ü 3abc Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] numero de digitos
pessoal me ajudem com essa questão por favor... quantos algarismos tem a parte não periodica da dizima 1/966875? desde ja obrigado _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DESIGUALDADE
Faça a seguinte mudança de variáveis a=px, b=py e c=pz, onde p é o semiperímetro do triângulo e agora teremos que mostrar que
2x^2(1-x)+2y^2(1-y)+2z^2(1-z)=3xyz - 2(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3)=3xyz -
2[(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz]-2(x^3+y^3+z^3)+6xyz=9xyz -
2[4-2xy-2xz-2yz]-2[x^3+y^3+z^3-3xyz]=9xyz -
8-4xy-4xz-4yz-2{(x+y+z)[(x+y+z)^2-3xy-3xz-3yz]}=9xyz -
8-4xy-4xz-4yz-16+12xy+12xz+12yz=9xyz -
8xy+8xz+8yz-8=9xyz - -y^2+(2-9/8xz)y+(xz-1)=0.
Observe que as duas raízes dessa equação são na realidade degeneradas em 0 e 1 e como essa parábola tem concavidade negativa assume valores positivos entre as raízes. Lebrando que 0y1. (E assim está demonstrado!)
