[obm-l] UM PROBLEMA ARDILOSO!
Ok! Marcelo, Eduardo e demais colegas! Sem dúvida, este é um dos problemas geométricos mais pegajoso que conheço. Vejam na íntegra a solução de um eminente matemático... Seja SABC a pirâmide com as hipóteses do problema, sendo S o topo e ABC a base. Se traçarmos as alturas BD1 e CD2 respectivamente dos triângulos ASB e ASC relativos ao lado AS temos que D1=D2=D e o ângulo BDC é igual a 90° (ângulo entre as faces laterais). Seja SP a altura do triângulo ASB relativo ao lado AB (apótema da pirâmide) e DH a altura do triângulo isósceles BDC. Observamos que DH é também bissetriz do ângulo BDC. Temos que AB=2AP. Considerando o triângulo SAP, verifica-se que AP=AS cos DAP. Então temos que AB=2*2 cos DAP. Considerando agora o triângulo BAD concluimos que sen DAP=BD/AB ou DAP=arc sen BD/AB. Finalmente considerando o triângulo BDH obtemos sen BDH=sen45°=BH/BD e então BD=BH/sen45°=AB/2sen45°, pois AB=2BH. Destas considerações concluimos que AB=4cosDAP=4cos(arc senBD/AB)=4cos(arc sen 1/2sen45°)=4cos (arc sen 1/2^(1/2))=4 cos (arc sen 2^(1/2)/2)=4 cos45°=4*2^(1/2)/2=2*2^(1/2). Então o comprimento do lado da base é 2*2^(1/2)cm. Bom, agora é só montar o quebra-cabeça (figura). E para deleite dos colegas, vejam outro problema igualmente espinhoso... Dados o ponto P e duas circunferências, traçar por P uma reta eqüidistante das duas circunferências e que as deixa em semi-planos opostos. Quais são as posições relativas do ponto e das circunferências para que o problema tenha solução? A solução, quando existe, é única? Se deixarmos de lado a condição: que as deixa em semiplanos opostos, o problema terá novas soluções? Quantas? Sempre? Abraços! _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] problema
Determine a e b, de modo que -3 e 2 sejam raízes da equação ax^2 - bx + (a + b + 2) = 0. ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Arranjo e combinações
Acho que na primeira questão esta faltando o número de bolas que vai retirar da urna.Com isso , vou resolver a segunda que a primeira é igual. Em uma urna com 4 vermelhas e 6 brancas retira-se 5 itens um a um, de quantas maneiras posso retirar esses 5 sendo que pelo menos uma bola seja branca? Bom , se ele quer que pelo menos uma das bolas seja branca , isso significa que vc pode retirar : 1B+4V 2B+3V 3B+2V 4B+1V 5B+0V Mas como retira-se uma de cada vez,as maneiras possiveis de se retirar o primeiro caso,que será igual aos outros , é: 5.4.3.2.1 = 120 Então 5. 120 = 600 []'s Luiz H. Barbosa MSN :[EMAIL PROTECTED]
[obm-l] DECISÕES INTELIGENTES!
Jorge e demais amigos da lista, No problema do carro acho que a melhor soluçaoé adquirir um novo, principalmente quando se sabe que a tendencia é que em pouco tempo ele volte a apresentar algum novo problema, e nesse processo voce teria gasto dinheiro suficiente para pagar uma significativa parcela do carro novo. Um dado interessante é que alguns donos de automóveis adotam a postura de trocarseu carro todo ano, pagando apenas a diferença, assim evitam gastos com desgate e conserto de peças, além da perda de tempo e pagamento de IPVA. Na questão das empresas aéreas, é que esses setores assim como o de sondas de petróleo, por ex., são setores cujo investimento inicial é extremamente alto, e assim é mais fácil suportar alguns periodos de prejuizo, do que "fechar" e reabrir novamente em um período mais favorável. No problema do show, a questão poderia ser reformulada da seguinte maneira: É melhor ir a um show que vale 50 pagando 75 ou ir a um show que vale 75 pagando 100? No primeiro show estamos pagando 50% a mais, no segundo (100/3)%. Assim é melhor ver o Pearl Jam. Na questão da Milk, o consultor deve avaliar o gasto de se implementar ou não tal politica,para faze-locobra x reais.Ou seja x reais, se a politica otima for de implementar ou não. Assim não vejo muita necessidade de incluir tais custos, uma vez que o gerente da empresa sabe a priori desse custo, que ocorre mesmo que se nao se decida produzir tal achocolatado. []s Turma! Ainda sobre os custos incorridos (afundados), sabemos racionalmente que são irrelevantes para a tomada de decisão, e no entanto eles nos oprimem a mente, levando-nos a decisões desatinadas. Quanto à sua relevância numa lista matemática, não temos como refutá-lo diante de alguns nobéis de economia terem sidos matemáticos... Tres meses atrás, seu carro, com oito anos de uso, repentinamente precisou de um conserto sério no motor. Ante a decisão de gastar US$ 3 mil ou desistir do carro e comprar um novo, você preferiu fazer o conserto. Entretanto, no momento, a transmissão está com problemas, e repará-la custará outros US$ 1500. Como alternativa, você poderia vender o veículo, no estado em que se encontra, por US$ 1 mil e comprar um novo. Sabe que o carro provavelmente exigirá outros consertos dispendiosos no futuro, embora torça para que isso não ocorra tão cedo. O que faz você? No início dos anos 90 a maioria das empresas aéreas apresentava grandes prejuízos. A American Airlines registrou um prejuízo de US$ 475 milhões em 1992, a Delta, um prejuízo de US$ 565 milhões e a USAir, US$ 601milhões. No entanto, apesar das perdas, estas empresas aéreas contnuaram a vender bilhetes e a transportar passageiros. A princípio, esta decisão parece surpreendente: se estavam perdendo dinheiro com seus vôos, porque os proprietários das empresas aéreas não encerraram a sua atividade? Ontem ofereceram-lhe inesperadamente um bilhete para um concerto dos Rolling Stones, agendado para 1 de Abril. O preço de mercado desse bilhete é de 75 dólres, mas o máximo pelo qual você conseguiria vendê-lo é 50 dólares. Hoje, acaba de descobrir que Pearl Jam vai dar um concerto na mesma noite e os bilhetes ainda estão a venda por 75 dólares. Se tivesse sabido, antes da vinda de Pearl Jam, teria sem dúvida alguma comprado o bilhete para o ir ver, e não os Rolling Stones. Verdadeiro ou Falso: Se você é um maximizador da racionalidade, deve ir ao concerto de Pearl Jam. Justifique. Suponha que a General Milk Company contrate um consultor financeiro para auxiliar na avaliação de lançar ou não uma nova linha de leite achocolatado. Quando o consultor entrega o relatório, a General Milk faz objeções à análise por não incluir os honorários do consultor como um custo do projeto do leite achocolatado. Afinal! quem está certo? Divirtam-se! _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DIVERSÃO INTELIGENTE!
No problema das moedas, temos o seguinte espaço amostral: kk, kc, ckk, ckc, cc e portanto Beatriz e Nicole tem a mesma prob. de ganhar (2/5) e Isabele 1/5. []s ...e para relaxarmos nesta última semana de férias, nada melhor que um bom jogo...Aproveitem! Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram alternadamente 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha que inicialmente tem 1000 palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha. Quantos palitos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial de modo a assegurar sua vitória? Fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda, Beatriz ganha o jogo se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o segundo coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem os lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s) possuem menos chances de ganhar o jogo? A e B jogam uma Super Batalha Naval. Cada um tem um tabuleiro n*n. A coloca barcos em seu tabuleiro (pelo menos um mas não se sabe quantos). Cada barco ocupa as n casas de uma linha ou de uma coluna e os barcos não podem se superpor nem ter um lado comum. B marca m casas (representando tiros) em seu tabuleiro. Depois que B marcou as m casas. A diz quais dentre elas correspondem a posições ocupadas por barcos. B ganha se, a seguir, descobre quais são as posições de todos os barcos de A. Determine o menor valor de m para o qual B pode garantir sua vitória. Divirtam-se! _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] quest�o do concurso de Caxias ( gabarito errado? )
O gabarito entao esta errado!!! A segunda é mesmo x^2 + y^2 = 49. --- [EMAIL PROTECTED] wrote: A segunda circunferência é mesmo x^2 + y^2 = 49 ou é x^2 + y^2 = 9? Se for x^2 + y^2 = 9, o gabarito está certo. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] 2 probleminhas
Olá , vou responder essas questões , pois quando comecei estudando pro Colégio Naval , tive umas duvidas parecidas e sempre um cara aqui na lista me respondia com muita boa vontade .Se não me engano o nome dele era Rafael Cinoto,não tenho certeza do Rafael (também faz tanto tempo , acho que em 2000 ..hehe ) ,mas sei que era Cinoto .Alguém sabe onde que ele foi parar? Vamos as questões: 1)Determine a de modo que a diferença entre as raízes da equação x^2+ ax + 40 = 0, seja 6. Escreva x1 = [-b + sqrt(D)]/2a e x2 = [-b- sqrt(D)]/2a Então: x1-x2 = [sqrt(D)]/a x2-x1 = -[sqrt(D)]/a |x1-x2|=[sqrt(D)]/a , sendo D o determiante de baskara. dai é só vc jogar os valores e fazer as contas. Determine o valor de p na equação x^2 - 7x + p = 0, de modo que a soma dos inversos das raízes seja 7-10. Nesse problema basta vc partir do que quer: (1/x1) + (1/x2) = (x1+x2)/(x1.x2) = SOMA/PRODUTO Agora como vc sabe a relação entre a soma e produto com a,b e c vc faz! Vou aproveitar e colocar uns problemas parecidos com esses para vc resolver: Dica:Tente partir da relação pedida pelo problema , igual a segunda questão que vc mandou. 1)Se a e b são raízes da equação x^2 - 19x + 92 =0 o valor de a^2 + b^2 é : 2)Se m e n são raízes da equação x^2 + x + 1 = 0 o valor de m^-2 + n^-2 é : 3)Se p e q são raízes da equação x^2 + x + 92 = 0 o valor de p^3 + q^3 é : 4)Se r e s são as raízes da equação x^2 - [sqrt(5)]x + 1 = 0 o valor de r^8 + s^8 : Todos eles são do livro Problemas Selecionados de Matemática , que é muito raro de se encontrar.O meu mesmo é xerox!!!Mas vc pode consegui-lo com alguém aqui da lista ou se for do Rio e tiver alguém com acesso à biblioteca do impa, pq la tem. []'s Luiz H. Barbosa MSN : [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Arranjo e combinações
Tem razão desculpe, Em uma urna tenho 10 bolas brancas e 6 pretas De quantas formas diferente posso retirar uma a uma de maneira q eu pegue pelo menos 4 pretas? Vou tirar 7 bolas Obrigado MauZ Luiz H. Barbosa escreveu: Acho que na primeira questão esta faltando o número de bolas que vai retirar da urna.Com isso , vou resolver a segunda que a primeira é igual. Em uma urna com 4 vermelhas e 6 brancas retira-se 5 itens um a um, de quantas maneiras posso retirar esses 5 sendo que pelo menos uma bola seja branca? Bom , se ele quer que pelo menos uma das bolas seja branca , isso significa que vc pode retirar : 1B+4V 2B+3V 3B+2V 4B+1V 5B+0V Mas como retira-se uma de cada vez,as maneiras possiveis de se retirar o primeiro caso,que será igual aos outros , é: 5.4.3.2.1 = 120 Então 5. 120 = 600 []'s Luiz H. Barbosa MSN :[EMAIL PROTECTED] Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra http://mail.terra.com.br/. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 16/01/2006 / Versão: 4.4.00/4675 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] exercicio trigonometria
estou com um exercicio que ta me dando dor de cabeça, pois ja resolvi por dois metodos,e cada metodo da uma resposta diferente,o exercicio é: Encontrar todos os valores inteiro de n para f(x)=cosnx.sen5x/n, ter periodo 3pi; por favor se poder enviar a soluçao para ,eu agradeço. obrigado Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] exercicio trigonometria
estou com um exercicio que ta me dando dor de cabeça, pois ja resolvi por dois metodos,e cada metodo da uma resposta diferente,o exercicio é: Encontrar todos os valores inteiro de n para f(x)=cosnx.sen5x/n, ter periodo 3pi; por favor se poder enviar a soluçao para ,eu agradeço. obrigado Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
RE: [obm-l] problema
Soma: -3+2=-1 = b/a=-1 Produto: -3.2=-6 = (a+b+2)/a=-6 b=-a (i) a+b+2=-6a (ii) i em ii: a-a+2=-6a 6a=-2 = a=-1/3 b=-a = b=1/3 From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] problema Date: Tue, 17 Jan 2006 13:35:50 + (GMT) Determine a e b, de modo que -3 e 2 sejam raízes da equação ax^2 - bx + (a + b + 2) = 0. ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercicio trigonometria
f e periodica entao existe t0 tal q f(x) = f(x+t), fazendo x=0 , temos f(0) = f(t) - f(3pi) = 0 logo cos(3pin)sen15pi/n = 0 como cos(3pin) 0 temos sen15pi/n = 0 -- 15pi/n=kpi k inteiro. Logo n deve ser divisor de 15. n ={+-1,+-3,+-5,+-15}[]'sDaniloAndre Rodrigues Ribeiro [EMAIL PROTECTED] escreveu:estou com um exercicio que ta me dando dor de cabeça, pois ja resolvi por dois metodos,e cada metodo da uma resposta diferente,o exercicio é: Encontrar todos os valores inteiro de n para f(x)=cosnx.sen5x/n, ter periodo 3pi; por favor se poder enviar a soluçao para ,eu agradeço. obrigado Yahoo! doc!
e lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
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[obm-l] Trigonometria
Determine os valores de x e y que satisfazem as equacoes:x + y =pi/5 sen^2 x + sen^2 y = 1 - cospi/5 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] exercicio trigonometria
falae André..f(x)=cosnx.sen5x/nfaça x=0 = f(x)=0Bem, como o período é 3pi, f(3pi)=0cos(n*3pi).sen(5*3pi/n)=0ora, cos(n*3pi) nunca é 0logo, sen(15pi/n)=0, e n pode ser - (1,-1,3,-3,5,-5,15,-15)bem, caso queira propor os métodos que utilizou seria bom para podermos discuti-los.abração Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] questao
Olá . Por favor, gostaria da ajuda de alguem para o seguinte problema: Num paralelogramo de área 1 são traçadas retas que unem cada vértice com o ponto médio de cada lado não adjacente a ele. As oito retas traçadas determinam um octógono no interior do paralelogramo. Calcule a área do octógono.
Re:[obm-l] exercicio trigonometria
vinicius, acabei de resolve-la tbem.. e vendo sua solucao, vejo que esqueci dos negativos.. rs! mas tudo bem.. sobre sua solucao.. eu nao concordo totalmente.. pq deste modo, vc garantiu que pra esses valores, f(0) = f(3pi), mas assim.. f(0) = f(3pi) nao implica que f(x) = f(x + 3pi), para qquer x. entendeu? nao garante que a funcao ira ser periodica... aguardo sua opiniao, um abraço, Salhab falae André.. f(x)=cosnx.sen5x/n faça x=0 = f(x)=0 Bem, como o período é 3pi, f(3pi)=0 cos(n*3pi).sen(5*3pi/n)=0 ora, cos(n*3pi) nunca é 0 logo, sen(15pi/n)=0, e n pode ser - (1,-1,3,-3,5,-5,15,-15) bem, caso queira propor os métodos que utilizou seria bom para podermos discuti-los. abração - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] exercicio trigonometria
Olá, bem.. resolvi do seguinte modo: se f(x) tem periodo 3pi, entao: f(x) = f(x + 3pi) cos(nx) sen(5x/n) = cos(nx + 3n*pi) sen(5x/n + 15pi/n) cos(nx) sen(5x/n) = (-1)^n * cos(nx) sen (5x/n + 15pi/n) cos(nx) [ sen(5x/n) + (-1)^(n+1) sen(5x/n + 15pi/n) ] = 0 Agora vamos analisar: cos(nx) = 0, para todo X... nao existe N inteiro! Logo: sen(5x/n) + (-1)^(n+1) sen(5x/n + 15pi/n) = 0, para todo x Entao, devemos ter n múltiplo de 15, para que defasemos 5x/n de um multiplo de pi, buscando fazer a equacao valer para todo x. n=1: sen(5x) + sen(5x+15pi) = sen(5x) - sen(5x) = 0 (OK!) n=3: sen(5x/3) + sen(5x/3 + 5pi) = sen(5x/3) - sen(5x/3) = 0 (OK!) n=5: sen(x) + sen(x+3pi) = sen(x) - sen(x) = 0 (OK!) n=15: sen(x/3) + sen(x/3 + pi) = sen(x/3) - sen(x/3) = 0 (OK!) Logo, os valores inteiros de N para que f(x) tenha periodo 3pi são 1, 3, 5 e 15. Um abraço, Salhab estou com um exercicio que ta me dando dor de cabeça, pois ja resolvi por dois metodos,e cada metodo da uma resposta diferente,o exercicio é: Encontrar todos os valores inteiro de n para f(x)=cosnx.sen5x/n, ter periodo 3pi; por favor se poder enviar a soluçao para ,eu agradeço. obrigado - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
