[obm-l] RESPOSTAS PRECIPITADAS!
Turma! Segundo um colega de Faculdade, que também escorregou no óleo, afirmou que o motivo de tantas abstrações é devido à enunciados bastante conhecidos com suas tradicionais perguntas, tipo: o vidro que continha inicialmente apenas óleo, ficou com mais água ou o de água com mais óleo? Vejam outros probleminhas que nos perseguem desde os tempos de colegial... Um trem sai diàriamente de A para B. O mesmo ocorre no sentido contrário. A distância é percorrida em 6 dias. Se um trem sair de A, quantos trens vindos de B ele irá ultrapassar antes de lá chegar? Resp: Nenhum trem, já que não passou à frente de nenhum deles... Mas, se vocês viajassem num desses trens, quantos encontrariam correndo em sentido oposto, não incluindo o que tivesse chegado quando eu partisse e o que tivesse partido quando eu chegasse? Resp: Inacreditavelmente, todos erram novamente... Dois volumes de uma obra estão ordenadamente na estante, sendo o 1º com 50 folhas e o 2º com 70. Quantas páginas impressas estão entre a primeira folha do 1º volume e a primeira do 2º volume? Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1º dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? Divirtam-se! _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] A MISTERIOSA LEI DAS MÉDIAS!
Um estudo dos salários do corpo docente de tempo integral na Upper Wabash Tech mostra que o salário mediano das professoras é consideravelmente inferior ao salário mediano dos professores. Uma investigação posterior mostra que os salários medianos para professores de tempo integral de ambos os sexos são aproximadamente os mesmos em cada departamento da universidade. Explique como salários iguais em cada departamento podem resultar em maior salário mediano global para os homens. A idade média de certa família é 30 anos e de outra é 22 anos. Se a média das idades médias das famílias vale 26 anos e a idade média do total de pessoas vale 25 anos, qual a média mais precisa se estamos interessado em saber se as famílias de uma certa cidade são jovens ou não? Pedro na classe A e Paulo na classe B conseguiram a mesma nota. Ambas as classes têm o mesmo tamanho. A média na classe A foi 75 ao passo que na classe B foi 60. Logo, a melhor posição é a de: A propósito, se você está respondendo a um teste com várias questões, como deve distribuir o tempo dedicado às respostas para obter a maior pontuação possível? Abraços! _ Você sabia que com o seu MSN Messenger você faz ligações de PC-papa- PC, grátis e para qualquer lugar do mundo? É só acessar http://imagine-msn.com/messenger/default2.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Teoremas Inúteis????
Hah mais 2 criterios interessantes: sendo b a base e pum numero natural tal b = p^q + 1, onde qehum inteiro positivo,entao n eh divisivel por p se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisivel por p. Fazendo q=1 e p = b-1, vemos que,em toda base b1, n eh divisivel por b-1 se, e somente se, a soma de seus algarismos o for. Disto decorrem, na base 10, os famosos criterios de divisibilidade por 3 e por 9. Sendo b a base e pum numero natural tal b = p^q - 1, onde qehum inteiro positivo,entao n eh divisivel por p se, e somente se, a soma de seus algarismos de ordem impar menos a soma de seus algarismos de ordem par fordivisivel por p. Fazendo q=1 e p = b+1, vemos que,em toda base b1, n eh divisivel por b+1 se, e somente se, o citado criterio vigorar.Disto decorre, na base 10, os famosos criterio de divisibilidade por 11. Isso nao eh perda de tempo nao, eh muito interessante, embora em teoria dos numeros eu esteja na primeira infancia. Artur. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Rhilbert RiveraEnviada em: sábado, 4 de fevereiro de 2006 06:21Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Teoremas Inúteis Amigos da lista, pensei, enunciei e demonstrei alguns "teoremas" sobre critérios de divisibilidade numa base b. Gostaria de saber primeiro se já existe alguma coisa escrita dessa forma e onde posso encontrare depois se há alguma utilidade em enunciar as coisas do jeito que eu fiz ou se só estou falando muito e não dizendo nada de interessante. Obrigado pela paciência e pelas críticas. Seguem dois teoremas (T1 e T2 e os respectivos corolários) T1 - Seja n um número expresso numa base b e d um divisor da base. Então d|n se, e somente se, o algarismo das unidades de n é um múltiplo de d. C1- Um número natural qualquer expresso em um sistema de numeração de base b é múltiplo da base desse sistema de numeração se, e somente se, o algarismo das unidades desse número for igual a zero. T2- Sejam m e n números naturais tais que a base b seja b = m.n. Há então apenas m algarismos que ao ocuparem a 1ª ordem de grandeza de um número natural k escrito na base b tornam n|k. C2 -Em um sistema de numeração cuja base é um número par e m é sua metade, um número natural n, epresso nesse sistema é múltiplo de m se, e somente s, o algarismo das unidades de n for igual a zero ou m. Vou parar com esses dois. É claro que não posso falar em unidades, dezenas, centenas, etc. para outras bases diferentes de dez,por isso considero da seguinte maneira: unidade (ou primeira ordem de grandeza), segunda ordem de grandeza, terceira ordem de grandeza e assim por diante. [[ ]]'s Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta Acesse e inscreva-se agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Uma Curva Interessante
Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B. NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa e Yb Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Espaços Métricos
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo compacto K C ou igual M, então X é fechado do espaço M (inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual a) - Sobre o conjunto não vazio M, considere uma métrica qualquer d e também a métrica (x,y) ---d'--- d(x,y)/(1+d(x,y)). Mostre que uma sequência em M é de Cauchy com relação a d se e somente se ela for de Cauchy com relação a d'. Obrigado Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdades
A segunda parece a equação de uma hipérbole. __Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Prezado Paulo. O problema eh estranho: um corpo submetido exclusivamente ao seu peso descreve uma trajetória retilínea, se a velocidade inicial for vertical ou nula, ou parabólica se a velocidade inicial for inclinada. Pode esclarecer? E por falar nisso, curva lembra poligonal e polignal nao te lembra nada ? (Desculpe a "forçada") Viva. WilnerPaulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal,Alguem me propos o seguinte problema :"Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitaciona! l da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B."NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa eYb Ya. Tambem suponha que :distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb)Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces.Um Abraco a TodosPaulo Santa Rita3,1414,070206_Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Caro Paulo, tem certeza d que o tempo é realmente o máximo. Porque se for mínimo já eh um problema bem conhecido. vide http://www.icmc.sc.usp.br/~szani/bra/bra.html.Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal,Alguem me propos o seguinte problema :"Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B."NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa eYb Ya. Tambem suponha que :distancia entre A e B L (Xb - Xa) + (Ya - Yb)Parece ! ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces.Um Abraco a TodosPaulo Santa Rita3,1414,070206_Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Oi Paulo: Oi Pessoal: Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, mais quase mesmo, horizontal e o restante do comprimento caindo abruptamente até B. Como nesse primeiro trecho a inclinação pode ser tão pequena quanto se queira, o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode ser arbitrariamente grande. Logo, não existe a curva do tempo máximo. Abraços, Wagner. -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Uma Curva Interessante Date: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B. NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa e Yb Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Olá Eu creio que não é possível que exista tal trajetória Eduardo, pois como estamos lidando com o campo gravitacional terrestre (neste caso suposto constante), deveríamos ter uma trajetória obedecendo à equação de uma parábola, porém ao mesmo tempo ocorre o problema de que a direção do campo gravitacional não foi especificada, de tal maneira que não sabemos como a parábola estará inclinada no diagrama cartesiano especifado no problema. Notemos então que podemos ter diversas parábolas de comprimento L, e que passem pelos pontos A e B, dependendo da direção do campo gravitacional, porém para uma única direção do campo gravitacional teremos duas parábolas de comprimento L que passam por A e B. Para encontrar qual par de parábolas precisamos dentre todas elas, precisamos especificar a direção do campo gravitacional que torne o tempo máximo. Eu acredito que por aí deva sair a resolução. Eu notei isso quando tentei resolver as seguintes equações: yA = axA^2 + bxA + c yB = axB^2 + bxB + c y = ax^2 + bx + c e encontrei um valor absurdo para a: a = 0 daí eu imaginei, depois de algum tempo que o meu erro foi em ter considerado que a parábola está na direção especificada por este diagrama cartesiano (e minha hipótese no momento é de que não é). Agora eu estou tentando descobrir a direção deste campo gravitacional. Se alguém tiver uma idéia para ajudar por favor envie logo. From: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Uma Curva Interessante Date: Tue, 07 Feb 2006 22:06:36 -0200 Oi Paulo: Oi Pessoal: Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, mais quase mesmo, horizontal e o restante do comprimento caindo abruptamente até B. Como nesse primeiro trecho a inclinação pode ser tão pequena quanto se queira, o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode ser arbitrariamente grande. Logo, não existe a curva do tempo máximo. Abraços, Wagner. -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Uma Curva Interessante Date: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B. NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa e Yb Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos números
(Eslovênia-2000) Determine todos os inteiros n para os quais o valor da expressão abaixo é inteira. [25/2+(25/2-n)^(1/2)]^1/2 + [25/2-(625/4)^(1/2)-n]abraçosViníciusMeireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Trigonometria(dificil!!!)
olá,Sabemos que a(senx)(seny) + b(cosx)(cosy)=0 Z= 1/[a(senx)^2+b(cosx)^2] + 1/[a(seny)^2+b(cosy)^2] mostre qZ independe de x e y.abraços,Vinícius Meireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Caro Wagner, ainda não tentei resolver o problema, mas tenho a impressão que ele pode estar bem posto, sim, pois a curva deve ter comprimento fixo L. Parece-me que esse fato faz com que seu argumento não se aplique, não? Se eu estiver correto, parece interessante essa braquistócrona inversa. Leonardo Maia On 2/7/06, Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Paulo:Oi Pessoal:Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, maisquase mesmo, horizontal e o restante do comprimentocaindo abruptamente até B. Como nesse primeiro trechoa inclinação pode ser tão pequena quanto se queira, o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode serarbitrariamente grande.Logo, não existe a curva do tempo máximo.Abraços,Wagner.--From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Uma Curva InteressanteDate: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B. NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa e Yb Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse:http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] teoria dos números
Tem certeza q eh isso?O segundo termo entre colchetes eh 25/2-(625/4)^(1/2)-n = 25/2 - 25/2 -n = -n ... isso nao me parece olimpiada..On 2/7/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: (Eslovênia-2000) Determine todos os inteiros n para os quais o valor da expressão abaixo é inteira. [25/2+(25/2-n)^(1/2)]^1/2 + [25/2-(625/4)^(1/2)-n]abraços ViníciusMeireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Trigonometria(dificil!!!)
Ola, para mostrarmos que Z independe de x e y, basta o derivarmos em relação a x e a y e verificar que da 0. diff(Z, x) = derivada de Z em relacao a x diff(Z, x) = - [ 2a(senx)(cosx) - 2b(senx)(cosx) ] / [ a(senx)^2 + b(cosx)^2 ]^2 diff(Z, x) = - 2 [ (senx)(cosx)(a - b) ] / [a(senx)^2 + b(cosx)^2 ]^2 diff(Z, y) = - 2 [ (seny)(cosy)(a - b) ] / [a(seny)^2 + b(cosy)^2 ]^2 se a = b, então, esta provado que Z independe de x e y. assim, diff(Z, x) e diff(Z, y) serão 0 apenas se x e yserem iguais a k*pi/2, considerando a diferente de b vms usar a igualdade: a(senx)(seny) + b(cosx)(cosy) = 0 vms resolver em x se cosx = 0, entao: a(senx)(seny) = 0, porem, se cosx=0, |senx| = 1, assim, seny = 0 neste caso, x = pi/2 + k*pi, e, y = k*pi ... satisfez nossas condições para que as derivadas deêm 0. analisando os casos em q senx=0, seny=0 e cosy=0, verificamos que todos satisfazem nossas condições. se ninguem for 0...vms dividir por (cosx)(cosy), entao: (tgx)(tgy) = -(b/a) tgx = A tgy = B vms substituir em Z: Z= 1/[a(senx)^2+b(cosx)^2] + 1/[a(seny)^2+b(cosy)^2] Z = (secx)^2 / [a(tgx)^2 + b] + (secy)^2 / [a(tgy)^2 + b] Z = [(tgx)^2 + 1] / [a(tgx)^2 + b] + [(tgy)^2 + 1] / [a(tgy)^2 + b] Z = [A^2 + 1]/ [aA^2 + b] + [B^2 + 1]/ [aB^2 + b] vms manipular o primeiro termo de Z, substituindo A = -(b/a)(1/B) [A^2 + 1]/ [aA^2 + b] = [1 + (b/a)^2 (1/B)^2] / [a (b/a)^2 (1/B)^2 + b] = [(aB)^2 + b^2] / [ ab (b + aB^2) ] voltando, temos: Z = [(aB^2 + b^2] / [ab (b + aB^2)] + [B^2 + 1] / [aB^2 + b] igualando os denominadores e simplificando, temos: Z = (a+b)/(ab) logo, Z independe de x e y. abraços, Salhab - Original Message - From: vinicius aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 07, 2006 11:04 PM Subject: [obm-l] Trigonometria(dificil!!!) olá, Sabemos que a(senx)(seny) + b(cosx)(cosy)=0 Z= 1/[a(senx)^2+b(cosx)^2] + 1/[a(seny)^2+b(cosy)^2] mostre qZ independe de x e y. abraços, Vinícius Meireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
