Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Ola Eduardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu li algumas mensagens referentes a este tema e vou tentar esclarecer algumas. Desde ja adianto que nao sou o autor da questao, apenas recebi o problema e estando sem tempo para pensar numa nova questao isolada decidi repassar para voces. Segue que nao conheco todos os detalhes... 1) Sei que se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) o campo gravitacional e uniforme, tem a direcao do eixo OY e esta orientado e cima para baixo, isto e, e como se o eixo OX fosse a superficie do nosso planeta. 2) Como o corpo esta, a principio, em repouso no ponto A quando e solto e, alem disso, Xb Xa e Yb Ya, segue que ele escorrega pela curva y=f(x) que queremos determinar e que passa por A e B. Note que o principio de conversacao da energia garante que a velocidade so depende da distancia vertical percorrida 3) Como o comprimento do escorregador ( o pedaco da curva y=f(x) entre A e B ) e constante e ( igual a L ) maior que a distancia entre A e B, podemos supor que E SEMPRE POSSIVEL criar um pequeno pedaco inicial QUASE HORIZONTAL de forma a retardar o movimento, forjando assim um tempo total de percuros tao grande quanto desejarmos, o que faria o problema ser sem solucao. Por esta razao, exige-se que y=f(x) seja convexa entre A e B, isto e, se a e b estao no intervalo fechado [Xa,Xb] entao : [ ( f(a)+f(b) )/2 ] f((a+b)/2) 4) No enunciado original o autor falava : Sejam A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) tais que Xa Xb e Ya Yb. Dentre todas a funcoes convexas y=f(x) que passam por A e B tais que : Integral(Xa ate Xb) raiz_quadrada (1 + (f'(x))^2) = L Encontre aquela sobre a qual um corpo largado em repouso no ponto A deslizaria em tempo maximo ate B foi eu, Paulo Santa Rita, que esqueci de citar a palavra convexa e eliminei a integral simplesmente colocando comprimento L 5) Se o problema estiver bem colocado, ele tem o sabor da novidade, pois sabemos que o arco de cicloide ( baquistocrona ? ) e uma curva de tempo minimo que foi muito estudada pelos Matematicos do seculo XVII/XVIII. 6) Quando ao problema da poligonal implicitamente citado pelo Eduardo, eu confesso que nao me lembro totalmente dele, mas vou tentar reproduzi-lo abaixo : Considerem o seguinte problema : Seja P uma linha poligonal de vértices consecutivos V0, V1, ..., Vn tal que os comprimentos dos seus lados L1, L2, ..., Ln ( Li e o lado obtido ligando Vi-1 a Vi , i=1,2,...,N ) sejam respectivamente proporcionais aos números 1, 2, ..., N e todos os seus angulos-externos sejam iguais a um angulo medindo 2pi/N radianos ( pi=3,1415... ). Tracando-se o segmento de reta ligando V0 a Vn, calcular a area da figura fechada formada. Eu visualizo tres maneiras de faze-lo. Aqui vai a que me parece mais curta ( vou resumir os calculos muito triviais ) : IMAGINE um poligono regular convexo Q ( POLIGONO DE BASE ) de N lados, de vértices W0, W1, ..., Wn ( W0=Wn ), centro C1 e cujos lados M1, M2, ..., Mn ( Mi é o lado obtido ligando Wi-1 a Wi, i=1,2,...,N ) tem todos a medida de L1 e foram construídos de forma que M1 coincide com L1. Tal poligono será referenciado como POLIGONO DE BASE. Sejam |L1| = L ( medida de L1 ) e R o raio do circulo que circunscreve o poligono Q, doravante chamado CIRCULO DE BASE. Claramente que R=V1C1. Agora, prolongando V1C1 de um segmento C1C2 tal que C1C2=V1C1 e ligando C2 a V2, teremos que : 1) O ângulo ANG(C1,V1,V2)=ANG(C1,V1,V0), pois sao angulos da base de dois triangulos isosceles congruentes. 2) V1V2=2*V1V0 por construcao da linha poligonal P 3) V1C2=2*V1C1 pela construcao que fizemos acima. Segue que o triangulo TRI(V1,V2,C2) e semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) e a razao de semelhanca e 2, vale dizer, a area do triangulo TRI(V1,V2,C2) e 4 vezes a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). Mais ainda : o angulo ANG(V0,C1,C2), sendo angulo externo do triangulo TRI(V0,C1,V1), tem medida igual a de um ângulo interno do poligono Q Prolongando V2C2 de um segmento C2C3 tal que C2C3=V1C1 e ligando C3 a V3, por razoes analogas ao caso visto acima seguira que o triangulo TRI(V2,V3,C3) e semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) e a razao de semelhanca e 3, vale dizer, a area do triangulo TRI(V2,V3,C3) e 9 vezes a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). E, igualmente, o ângulo ANG(C1,C2,C3) tera medida igual a de um ângulo interno do poligono Q. Podemos prosseguir, repetindo o estrutura geral do raciocinio acima para todos os demais lados da linha poligonal P, isto é, Prolongamos ViCi de um segmento CiCi+1 tal que CiCi+1=V1C1 e ligamos Ci+1 a Vi ( i=3,4,...,N-1) : o triangulo TRI(Vi,Vi+1,Ci+1) sera semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) e a razao de semelhanca e i, vale dizer, a area do triangulo TRI(Vi,Vi+1,Ci+1) e i^2 vezes a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). E, igualmente, o ângulo ANG(Ci-1,Ci,Ci+1) tera medida igual a de um ângulo interno do poligono Q Note que assim cobrimos toda a regiao cuja area procuramos, surgindo no centro da
[obm-l] uma relação desconhecida
ola pessoal da Lista! será que alguem poderia me dizer se conhece a relação que se segue: numa equação vale: a^2 + b^2 = S + 2*P ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] uma relação desconhecida
Bem, suponho que S = a + b e P = a*b. Porém nesse caso a relação não é válida, basta tomar a = 2, b = 5.Explique melhor quem é S e quem é P.abçs...Em 08/02/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: ola pessoal da Lista!será que alguem poderia me dizer se conhece a relaçãoque se segue:numa equação vale: a^2 + b^2 = S + 2*P___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.http://br.yahoo.com/homepageset.html= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- DenissonVocê nasce sem pedir mas morre sem querer.Aproveite esse intervalo!
[obm-l] Volume de Sólido
Olá pessoal da lista!!! Qual o volume do sólido formado pelos vetores A(2,4,1), B(3,1,1) e C(1,3,5)? (a) 30 (b) 35 (c) 35/2 (d) 44 (e) 21 Abraços -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] uma relação desconheci da
O certo é: a^2 + b^2 = S^2 - 2*P Você jatentou perguntar ao seu professor? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 8 Feb 2006 11:57:34 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] uma relação desconhecida ola pessoal da Lista! será que alguem poderia me dizer se conhece a relação que se segue: numa equação vale: a^2 + b^2 = S + 2*P ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
Acho queo argumento do Wagner se aplica desde que L distancia entre os dois pontos, pois o segmento quase horizontal pode ser arbitrariamente curto. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 7 Feb 2006 21:39:15 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Uma Curva InteressanteCaro Wagner, ainda não tentei resolver o problema, mas tenho a impressão que ele pode estar "bem posto", sim, pois a curva deve ter comprimento fixo L. Parece-me que esse fato faz com que seu argumento não se aplique, não? Se eu estiver correto, parece interessante essa "braquistócrona inversa".Leonardo Maia On 2/7/06, Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Paulo:Oi Pessoal:Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, maisquase mesmo, horizontal e o restante do comprimentocaindo "abruptamente" até B. Como nesse primeiro trechoa inclinação pode ser tão pequena quanto se queira, o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode serarbitrariamente grande.Logo, não existe a curva do tempo máximo.Abraços,Wagner.--From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Uma Curva InteressanteDate: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM Ola Pessoal, Alguem me propos o seguinte problema : "Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para ir de A para B." NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb Xa e Yb Ya. Tambem suponha que : distancia entre A e BL (Xb - Xa) + (Ya - Yb) Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra pensar nele, estou passando pra voces. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1414,070206 _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse:http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] Proposicoes
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Prove os teoremas abaixo. a) Se A = B entao A uniao B = A inter B; b)Se A contem B enao (A-B) uniao B = A; c)Se A contido C e B contido C e A uniao B = C e A inter B =vazio entao B=C-AComo provo issousando somente implicações matematicas. Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Volume de Sólido
Faça o produto misto: |A*B.C| = |(3,1,-10) . (1,3,5)| = |3+3-50| = 44, se eu não errei em conta. Abraço BrunoOn 2/8/06, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal da lista!!!Qual o volume do sólido formado pelos vetores A(2,4,1), B(3,1,1) e C(1,3,5)?(a) 30(b) 35(c) 35/2(d) 44(e) 21Abraços--Henrique= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Proposicoes
a)
Se A = B, então: x E A = x E B
A uniao B = {x / x E A ou x E B} = {x / x E A ou x
E A } ja que x E B = x E A
assim: A uniao B = {x / x E A }
A inter B = {x / x E A e x E B} = { x / x E A e x E
A } = {x / x E A}
Assim, A uniao B = A inter B.
b)
A contem B, entao: x E B = x E A, ou, x !E B
= x !E A
A - B = {x / x E A e x E compl(B) }
(compl = complemento)
A - B = A inter compl(B)
(A - B) uniao B = { x / (x E A e x E compl(B)) ou x
E B } = { x / (x E A ou x E B) e (x E compl(B) ou x E B) }
mas x E compl(B) ou x E B é U
(universo)
e x E A ou x E B = x E A ou x E A, ja que x E B
= x E A, entao: x E A ou x E B = x E A
entao:
(A - B) uniao B = { x / (x E A) e (x E U)
}
mas U é universo, entao, x E A e x E U = x E
A
logo: (A - B)uniao B = { x / x E A } =
A
c)
A contido C, entao: x E A = x E C
B contido C, entao: x E B = x E C
A uniao B = C, entao: x E A ou x E B = x E C
A inter B = vazio, entao: nao existe x, talque x E A e x E B
x E compl(A) = x !E A (!E = nao
pertence)
x E C e x !E A = (x E A ou x E B) e x !E A = (x E A e x !E A) ou (x E B
e x !E A)
mas x E A e x !E A é vazio...
e x E B e x !E A, mas, nao existe x, talque x E A e x E B, entao, x E A
= x !E A..
assim, x E B e x !E A = x E B
logo:
C - A = { x / x E B} = B
existem metodos mais faceis de se provar isso .. mas por implicacoes
matematicas, acho que seria assim.
abraços,
Salhab
- Original Message -
From:
Klaus
Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, February 08, 2006 8:13
PM
Subject: [obm-l] Proposicoes
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Prove os teoremas abaixo.
a) Se A = B entao A uniao B = A inter B;
b)Se A contem B enao (A-B) uniao B = A;
c)Se A contido C e B contido C e A uniao B = C e A inter B =vazio
entao B=C-A
Como provo issousando somente implicações matematicas.
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