Re: [obm-l] inequação
Srs, (partindo do pressuposto que o módulo de um número negativo é o número positivo correspondente Para qualquer x 0 x - 1 + x - 2 x + 5 resolvendo x 8 Para x = 0 1 + 2 5 que atende a inequação Para x 0 |-x - 1| = x +1 | -x - 2| = x + 2 | x + 1 + x + 2 |x + 5| 2x + 3 |x + 5| p -x = -1 2x + 3 4 Falso p -x = -2 2 x + 3 3 Falso P -x = -5 2x + 3 0 Falso portanto é falso para qualquer x 0 resposta x = 0 e x 8 at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RESOLUÇÕES ATÍPICAS!
Olá, Pessoal! Gostaria da ajuda dos colegas nesta sofisticada inclusão da moeda. Enquanto o Ralph...,vejam algumas resoluções engenhosas e inéditas de problemas bastante conhecidos. Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. E quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 54 anos. Quais as idades? Quando eu tinha a idade que você tem agora, a diferença, é óbvio, era duas vezes maior, ou igual a duas diferenças, em relação à idade que eu tenho hoje. Se eu tenho hoje justamente o dobro da quantidade de anos que você tinha naquela época, então podemos dizer que a minha idade vale quatro diferenças e que a sua é igual a três diferenças. Quando você tiver a minha idade, eu terei cinco diferenças, uma a mais do que hoje, enquanto você terá quatro diferenças. Como sabemos que a soma das nossas idades nessa época será 54, basta dividir 54 por nove (cinco mais quatro) para saber que uma diferença vale seis. Agora é só fazer as contas: você tem hoje três diferenças, o que dá 18 anos, e eu tenho quatro diferenças, ou 24 anos. Um menino tem coelhos e galinhas no quintal. Contando ele acha dezoito cabeças e 56 patas. Quantos coelhos e quantas galinhas existem no quintal? Vamos imaginar um tipo de animal com seis patas e duas cabeças. O coelho-mais-galinha. Assim, existem no quintal: 56 patas / 6 patas de cada um = 9 coelhos-mais-galinhas e quebrados que equivalem a 2. Como cada um tem duas cabeças, são 9 * 2 = 18 cabeças. Sobram então: 18 - 8 = 0 cabeça no quintal. Mas 9 * 6 = 54. O que quer dizer que os 9 coelho-mais-galinhas juntos têm 54 patas. Sobram por isso: 56 - 54 = 2 patas no quintal, que são os quebrados que sobraram da primeira divisão. Depois de achar isso, já se pode esquecer os quebrados. Vamos agora imaginar um outro tipo de animal que é o coelho de quem se retira uma galinha. O coelho-sem-galinha. Este animal tem: 1 cabeça - 1 cabeça = 0 cabeça4 patas - 2 patas = 2 patas. Então as 2 patas que sobraram no quintal são do coelho-sem-galinha. Existem no quintal: 9 coelho-mais-galinhas + 1 coelho-sem-galinha. Aí, a gente tira os coelhos das galinhas e as galinhas dos coelhos para conseguir 9 coelhos + 9 galinhas + 1 coelho - 1 galinha: 09 coelhos + 1 coelho = 10 coelhos. 9 galinhas - 1 galinha = 8 galinhas. Logo, existem 10 coelhos e 8 galinhas no quintal. Para recomprar um objeto vinte reais mais caro tive que tomar emprestado dez reais do próprio vendedor. Por quanto terei que revender a ele para ficar quite? Abraços! _ Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do seu MSN Messenger. http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
Uma
condicao que garante diferenciabilidade em um ponto x de R^n eh: uma das
derivadas parciais existe em x (nao precisa existir numa vizinhanca de x); as
demaisderivadas parciaisexistem e sao continuas em uma vizinhanca de
x.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de GustavoEnviada
em: terça-feira, 2 de maio de 2006 08:59Para:
obm-lAssunto: [obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade
de uma função
Encontrei esta questão em um outro forum:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=0851
Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém poderia me
dar alguma luz.
Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak -
Calculus on Manifolds).
Seja f: R^{2} - R.
As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto (a,b).
APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
Então
f é diferenciável em (a,b).
Em todos os livros que estudei, lembro apenas de ter visto este
resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram continuas no
ponto de interesse.
[]'s
RES: [obm-l] OBM Nivel Universitario 2a. fase - 2005
Eu nao sei bem o que estah sendo disctutido, mas a serie Soma (1/n) eh DIVERGENTE. Eha a famosa serie harmonica Artur a serie soma(1/n) e convergente, possui um maximo em n=1 e um minimo em n=00 que e 0, e nao possui pontos de divergencias. a serie soma 1/an tambem e convergente, e deve ser analisada da seguinte maneira 1/a(n+1) = (an)^2005/((an)^2006)+1), tem um valor maximo em 1/a1=1 e converge para zero, notar que an^2006+1 converge mais rapidamente que an^2005, como as duas funçoes sao convergentes, nao possuem descontinuidades, da teoria de series a soma 1/n*1/an tambem vai convergir. Problema 6 ars=(ir +js)!/ir!js!
[obm-l] Questão sobre módulo
Senhores, se algum de vocês puder me ajudar com a questão abaixo fico imensamente grato. Determine a para que a inequação 3-x² | x - a | tenha pelo menos uma solução negativa Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma funç ão
Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 2 May 2006 08:58:45 -0300
Assunto:
[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
Encontrei esta questão em um outro forum:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=0851
Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém poderia me dar alguma luz.
Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak - Calculus on Manifolds).
Seja f: R^{2} - R.
As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto (a,b).
APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
Então
f é diferenciável em (a,b).
Em todos os livros que estudei, lembro apenas de ter visto este resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram continuas no ponto de interesse.
[]'s
[obm-l] Re: Condição (mais geral) para di ferenciabilidade de uma função
Olá Artur,
Quando li a mensagem do Gustavo pensei que se tratava de uma particularidade do R^{2} não ser necessário queTODAS as Derivadas parciais fossem contínuas no ponto de interesse.
Muito interessante este resultado que você postou. No livro de análise que tenho (Bartle - The elements of Real Analysis) ele demonstra apenas o resultado quando TODAS as derivadas parciais existem em uma vizinhança e são continuas no ponto.
Tentei aplicar a técnica do Bartle (teorema 39.9 página 355 - na segunda edição) para o resultado mais geral que você falou mas não tive sucesso.
Poderia me ajudar a demonstrar esse resultado mais geral que você postou?
Tem alguma referência para ele (de preferência online)?
Obrigado por qualquer dica.
Uma condicao que garante diferenciabilidade em um ponto x de R^n eh: uma das derivadas parciais existe em x (nao precisa existir numa vizinhanca de x); as demaisderivadas parciaisexistem e sao continuas em uma vizinhanca de x.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de GustavoEnviada em: terça-feira, 2 de maio de 2006 08:59Para: obm-lAssunto: [obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
Encontrei esta questão em um outro forum:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=0851
Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém poderia me dar alguma luz.
Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak - Calculus on Manifolds).
Seja f: R^{2} - R.
As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto (a,b).
APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
Então
f é diferenciável em (a,b).
Em todos os livros que estudei, lembro apenas de ter visto este resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram continuas no ponto de interesse.
[]'s
[obm-l] OBM N�vel U, problemas 5 e 6 da segunda fase 2005.
Oi gente,
Na época da prova o Gugu e eu discutimos os problemas
5 e 6 da prova. Aí vão as soluções. A solução da 5 é
do Gugu. A 6 tem uma solução do Gugu e outra minha,
baseada em idéias que li no Proofs From The Book e que
também apareceram na OPM de alguns anos atrás.
Espero que estejam legíveis.
[]'s
Shine
- Forwarded message from [EMAIL PROTECTED] -
Date: Mon, 24 Oct 2005 19:22:26 -0200
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: OBMU
To: Yuri Lima [EMAIL PROTECTED]
Oi Yuri,
Vamos lá:
5) Escreva x^(-x)=e^(-x.ln(x))=soma(n=0 a
infinito)((-x.ln(x))^n/n!). É só provar agora que
Integral(0 a 1)((x.ln(x))^n dx)=(-1)^n.n!/(n+1)^(n+1),
o que eu deixo para você fazer (qualquer problema me
avise).
6) Tem que provar que, se P_r(x)=Binomial(x+r,r),
então um polinômio do tipo f(x)=Soma(j=1 a
m)c_j.P_r_j(x), onde r_1r_2...r_m não pode ter m
raízes naturais distintas, se não for identicamente
nulo.
Para isso, provaremos por indução que para um tal
polinômio f(x), se c_m0, não existem i_1i_2...i_m
naturais com (-1)^(m-k).f(i_k)=0 para todo k=m. Para
m=1 isso é óbvio, pois f(x)0 sempre. Para r=s,
P_s(x)=P_r(x).P_(s-r)(x+r)/Binomial(s,r), e logo,
dividindo tudo por P_r_1(x), podemos supor r_1=0. A
partir daí, a indução se faz aplicando o operador M
(de menos) a f(x), dado por Mf(x)=f(x+1)-f(x).
Temos, para r=0, MP_r(x)=0 e, para r=1,
MP_r(x)=P_(r-1)(x+1). Detalhes com você.
Oi Gugu,
Antes, algumas definições.
Considere o reticulado Z^2. Defina caminho entre
dois pontos P e Q de Z^2 como uma seqüência de pontos
do reticulado, cada um igual ao anterior mais (0,-1)
ou (1,0), com o primeiro termo igual a P e o último
igual a Q. Defina sistema de caminhos sem interseção
ligando dois subconjuntos X a Y de Z^2, cada um com n
elementos, como um conjunto de n caminhos disjuntos,
cada um ligando um ponto de X e um ponto de Y.
Afirmação. Se A = (a_{rs}) é a matriz do problema
6 da OBM (lembrando que sua entrada a_{rs} é {i_r +
j_s\choose i_r}), então det(A) é igual ao número de
sistemas de caminhos sem interseção ligando X =
{(0,i_1),(0,i_2),...,(0,i_n)} a Y =
{(j_1,0),(j_2,0),...,(j_n,0)}.
Note que a partir desse resultado o problema 6
agora se torna imediato, já que não é difícil achar um
sistema de caminhos sem interseção ligando X a Y (faça
uma figura e veja!).
Demonstração da afirmação: Pela definição de
determinante, det(A) é a soma de n! termos, cada um
igual a sgn(p)a_{1p(1)}...a_{np(n)}, sendo p uma
permutação de (1,2,...,n). Considerando que a_{rs} =
{i_r + j_s\choose i_r}, esse termo sem o sinal é igual
ao número de maneiras de n caminhos ligarem os pares
de pontos (0,i_k) a (j_{p(k)},0), intersectando ou
não. Em particular, todos os nossos sistemas de
caminhos sem interseção estão sendo contados quando p
é a identidade (não é difícil provar que se p não é a
identidade então dois caminhos se intersectam; é só
fazer uma figura e usar continuidade). Então os
sistemas de caminhos sem interseção aparecem com o
sinal positivo no determinante.
Os sistemas de caminhos com alguma interseção se
anulam no determinante: considere a interseção que
está mais à esquerda (ou seja, com abscissa mínima);
caso haja mais de uma, tome a que está mais para baixo
(com ordenada mínima). Suponha que a interseção seja
entre os caminhos ligando os pares (0,i_l), (j_m,0) e
(0,i_p), (j_q,0). Esse sistema de caminhos está sendo
contado numa parcela do determinante com dois fatores
iguais a a_{lm} e a_{pq}. Acontece que podemos obter
uma sistema de caminhos com as mesmas arestas com os
mesmos caminhos, exceto que trocamos os caminhos
ligando os pares (0,i_l), (j_m,0) e (0,i_p), (j_q,0)
pelos que ligam os pares (0,i_l), (j_q,0) e (0,i_p),
(j_m,0). Mas esse sistema de caminhos está sendo
contado numa outra parcela do determinante, com todos
os fatores iguais, exceto os termos a_{lm} e a_{pq}
que são substituídos por a_{lq} e a_{pm}. Mas o sinal
da permutação está trocado nessa parcela, já que
fizemos uma inversão, então esse sistema de caminhos
aparece cortado. Note que a escolha dessa inversão não
tem ponto fixo e é bijetiva, logo *todos* os caminhos
com interseção se anulam no determinante, e o
resultado segue, já que tal inversão não se aplica a
sistemas de caminhos sem interseção.
Que tal?
[]'s
Shine
__
Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005
http://mail.yahoo.com
This message was sent using IMP, the Internet
Messaging Program.
__
Do You Yahoo!?
Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around
http://mail.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Questão sobre módulo
Acho que dá pra resolver plotando ambos os lados da desigualdade num gráfico- vê se resolve... 2006/5/2, Diego Alex [EMAIL PROTECTED]: Senhores, se algum de vocês puder me ajudar com a questão abaixo ficoimensamente grato.Determine apara que a inequação 3-x² | x - a | tenha pelo menos uma solução negativaObrigado=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Questão sobre módulo
Mensagem Original: Data: 11:15:38 02/05/2006 De: Diego Alex [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Questão sobre módulo Senhores, se algum de vocês puder me ajudar com a questão abaixo fico imensamente grato. Determine a para que a inequação 3-x² | x - a | tenha pelo menos uma solução negativa Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O valor de x negativo será somado à a então 2 22 3 - (-x) x + a mas -x = x 2 3 - xx + a temos que para x = -1 3 - 1 x + a 2 1 + a a terá que ser menor ou igual a zero at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Papers Originais.
Para as pessoas interessadas em ler os trabalhos originais de matemáticos, A wikipedia costuma colocar na seção de referência algumas citações à papers orginiais. Aqui vai umexemplo de como acessar, digamos um paper de Poincaré: 1)Digite Jules Henri Poincaré no Google. 2) Clique na resultado da pesquisa retornado que contém a palavra "Wikipedia" 3) Vá para a parte de baixo da página (references). 4)Clique no link em azul (o paper será baixado). Salve o paper. Suponha agora que você queira pesquisar em um paper que está sendo citado no paper que você salvou: 1) Selecione nome a referência completa do paper que você está interessado. Ex: Lorentz, H. A. (1904) "Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less Than That of Light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669-78. Cole isso no Google. 2) Irá aparecer a janela "Google Acadêmico". Clique em um dos links (neste caso aparece um livro com uma coleção de papers). Muitas vezes (não todas, é possível obter os originais).
[obm-l] PROBLEMA GEO
Srs Qual é o ângulo formado pela mediana e a altura referentes à hipotenusa? obrigado Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
Estou enviando aqui
uma provapara a diferenciabilidade de f: D-R em um ponto
interior c de seu dominio D contido em R^n.
Hipoteses que
garaentem a diferenciabilidade de f em c: Uma das derivadas parciais de f existe
em c e as demais existem e sao continuas em uma bola aberta (ou em uma
vizinhanca qualquer) centrada emc.
Observe que, com
relacao a uma das derivadas, tudo o quese admite eh a sua existencia em c.
Nao eh preciso assumir que a mesma exista em uma vizinhanca de c.Jah para
as demais, admite-se nao apenas a existencia, mas tambem a continuidade, em uma
bola aberta de centro em c.
Basta considerar o
caso de R^2, pois a extensão para R^n eh imediata. Basta "ziguezaguear" um pouco
mais na bola aberta de centro em c
Para simplificar, podemos, sem perda de
generalidade, supor que c = (0,0)
(bastatransladar paraa origem o ponto em questão. Isto, na
realidade, soh simplifica a notacao, porque o esforco cerebraleh
exatamente o mesmo). Suponhamos que f_1 exista em (0,0) e que
f_2 seja continua em (0,0) e exista numa bola aberta B centrada na
origem.Seh10 e
h_20 tem valor absoluto suficientemente pequeno para que (h1,h2) esteja
em B, entao f(h1,h2) - f(0,0) = f(h1,h2) - f(h1,0) + f(h1,0) - f(0,0) (Eq.
1).Como f_2 existe em B, podemos aplicar o Teorema do Valor Medio (caso
unidimensional) para obter um ponto p no segmento de reta unindo (h1,0) e (h1,
h2) que satisfaca a f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(p)*h2. Assim, podemos escrever
f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(0,0)*h2 + [f_2(p) - f_2(0,0)]*h2 .Como f_1 existe
em (0,0), temos que f(h1,0) - f(0,0) = f_1(0,0)*h1 + o(h1), sendo que o(h1)/h1
tende a zero quando h1 vai para zero.Considerando agora a continuidade de
f_2 em (0,0), notamos que, se (h1,h2) - (0,0), entao g(h1,h2) =[f_2(p) -
f_2(0,0)] - 0 (considerando que p depende de h1 e de h2). Substituindo-se na
Eq.1 e rearranjando-se as parcelas, chegamos a que que f(h1,h2) - f(0,0)
=f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(h1) + g(h1,h2)*h2 = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2
+ |(h1,h2)|* v(h1,h2), sendo v(h1,h2) = [o(h1) + g(h1,h2)*h2]/|(h1,h2)| =
o(h1)/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)| = (o(h1)/h1)*(h1/|(h1,h2)| +
g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)| .Mas como|h1|/|(h1,h2| e |h2|/|(h1,h2)|
permanecem limitadas quando (h1, h2) - (0,0), inferimos que v(h1,h2)
-0. Usando a notacao o, isto significa que f(h1,h2) - f(0,0) = f_1(0,0)*h1 +
f_2(0,0)*h2 + |(h1,h2)|* o(|(h1,h2)|) = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + |h| * o(|h|
.,Concluimos, assim, quef eh
diferenciavel em(0,0),
andsua derivada eh a funcao
linear que leva (h1, h2) ao real f_1(0,0)*h1 +
f_2(0,0)*h2.
A condicao
citada eh suficiente, mas nao necessaria, para garantir a
diferenciabilidade.
Artur
[obm-l] OBRIGADA
AMIGOS OBRIGADA PELA AJUDA DOS EXERCICIOS. GRATA, MÁRCIA
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Condiçã o (mais geral) para diferenciabilidade de uma funç ão
Com
relação a este assunto que o Alencar levantou, eh interessante observar que a
condicao que citei e que garante a diferenciabilidade, ainda hojenao
parece ser muito conhecida. A maioria dos livros - destacando-se o do a grande
Bartle (infelizmente falecido em 2003) - e, creio eu, tambem odo Rudin, assumen
continuidade de todas as derivadas parciais em uma bola aberta contendoo ponto
em questão. Entretanto, Apostol, em seu livro Real Analysis, mostra que que, com
relacao a uma das derivadas parciais , basta assumir a existencia unica e
exclusivamente no ponto.
Talvez
a condicao mais geral tenha passado desapercebida a outros autores, embora
Apostol não afirme ter sido ele o 1o a perceber que a diferenciabilidade eh
garantida em condicoes menos rigidas e não alegue qualquer originalidade de sua
prova.Com relação ao livro do Erlon, eu não conheco
ainda.
Um
fato curioso: Em 2002 eu citei este resultado, que vi no livro do Apostol, na
lista internacional sci.math . O grande David Ulrich, da universidade de
Oklahoma, um top dog mundial da Análise, comentou que não conhecia a
conclusão.Disse "Eu não conhecia este resultado, mas eh de fato verdade e
facil de provar" E deu a prova dele, muito parecida com a do Apostol. Pra ele
era imediato...Mas ateh entao ele nao sabia.
Aqueles que como eu jah pesquisaram diversos livros de Analise,
provavelmente jah notaram - o que confunde um tanto os leitores - que as
hipoteses assumidas pelos autores com relacao a diversos teoremas nao sao
exatamente as mesmas. Exemplos: teorema de Taylor (algumas vezes se
admitem continuidaes nao necessarias), teorema do valor medio para o caso
n-dimensional , n1, e, ateh mesmo, o teorema fundamental do calculo
integral. Naqueles teoremas sob integracao e diferianciacao envolvendo um
parametro, como a formula de Leibiniz, frequentemente encontram-se hipoteses nao
exatamente iguais.E, na análise no R^n, aqueles teoremas sobre
permutacao na ordem em que se realizam as derivdas parciais tambem sao
frequentemente apresentados com hipoteses que variam de autor para
autor.
l
Artur
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem
original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 2 de maio de 2006
12:23Para: obm-lAssunto: [obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais
geral) para diferenciabilidade de uma função
Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular
a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l"
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 2 May 2006
08:58:45 -0300
Assunto:
[obm-l] Condição
(mais geral) para diferenciabilidade de uma
função
Encontrei esta questão em um outro forum:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=0851
Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém
poderia me dar alguma luz.
Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak
- Calculus on Manifolds).
Seja f: R^{2} - R.
As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto
(a,b).
APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
Então
f é diferenciável em (a,b).
Em todos os livros que estudei, lembro apenas de ter visto
este resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram
continuas no ponto de interesse.
[]'s
[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabi lidade de uma função - uma correcao
na outra mensagem eu acabeicitando as condicoes para diferenciabilidade de modo mais rigido do que o necessario. Foi um equivoco, conforme pode-se perceber na prova que postei. Retificando: Condicao para diferenciabilidade de f em um ponto interior c de seu dominio: uma das derivadas parciais existe em c; as demais existem em uma bola aberta de centro em c e sao continuas em c. Estas ultimas nao tem que ser continuas em toda a bola aberta. Me confundi. Artur
Re:[obm-l] PROBLEMA GEO
arcsen(1 - 2b^2/a^2), onde a = hipotenusa e b = cateto menor De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 02 May 2006 14:51:41 -0300 Assunto: [obm-l] PROBLEMA GEO Srs Qual é o ângulo formado pela mediana e a altura referentes à hipotenusa? obrigado Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
2) Vejamos o caso o caso a^p - a. Temos que o primo p= 5 eh impar, e desta forma p-1 eh par. Assim, p-1 = 2p' para algum inteiro positivo p'. Temos que a^p - a = a(a^(p-1) -1) = a(a^(2p') - 1) = a(a^p' + 1)(a^p' - 1). Se a for par, entao eh imediato que a^p - a eh par. Se a for impar, entao a^p'eh impar e os numeros (a^p' + 1) e (a^p' - 1) sao ambos pares. Logo, tambem neste caso a^p - a eh par, sendo inclusive multiplo de 4. Se a for multiplo de 3, entao eh imediato que a^p - a eh tambem multiplo de 3. Se a nao for multiplo de 3, temos 2 casos: se a for par, a^p' eh par. Logo, um dos numeros (a^p' + 1) ou (a^p -1) eh multiplo de 3 (para todo numero par n que nao seja multiplo de 3, n-1 ou n +1 eh multiplo de 3). Isto nos mostra que a^p - a eh multiplo de 3. Se a nao for multiplo de 3 e for impar, entao a^p' eh um impar nao multiplo de 3. Entao, dentre os numeros pares (a^p' + 1) e (a^p' - 1) um deles eh necessariamente multiplo de 3 (se n eh um impar nao multiplo de 3, entao um dos pares n-1 e n+1 eh sempre multiplo de 3). Chegamos assim aa conclusao de que, nas condicoes dadas, a^p - a eh sempre par e multiplo de 3, logo eh multiplo de 6. Pelo pequeno teorema de Fermat, temos ainda que a^p = a (mod p). Logo a^p - a eh multiplo de p. E como para o primo p temos p 3, segue-se, em virtude da conclusao anterior, que a^p - a eh multiplo de 6p, ou seja, 6p divide a^p - p, conforme afirmado. O outro deve ter um saida semelhante, depois vemos se dah pra sair. De uma conferida, meu conhecimento de teoria dos numeros eh muito limitado. Artur Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 divisores. 2) Seja p 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- b^p . a são divisíveis por 6p, para todos a0, com ab. 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode escrever p = y^2 - x^2, com x e y positivos, de modo único. Obrigado = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA GEO
Primeiro é muito útil lembrar que todo triângulo retângulo é inscritível em uma circunferência e sua hipotenusa é o diâmetro desta circunferência.Dai, decorre que sua mediana vale a metade da hipotenusa, pois esta, é o raio da circunferência.Logo, suponha o triângulo ABC de hipotenusa BC, AM mediana relativa a hipotenusa BC e AH altura relativa a esta hipotenusa.Chamando ABC=b, ACB=c o ângulo HAB será c e HAC=b como AM=MC então MAC=c e ai acabou pois HAM = HAC - MAC = |b-c|. O módulo é necessário pois b pode ser menor que c.Dito isso, podemos afirmar que num triângulo retângulo o ângulo formado pela altura relativa a hipotenusa e sua mediana vale o módulo da diferença dos ângulos da base.Abraços Cleber[EMAIL PROTECTED] escreveu: SrsQual é o ângulo formado pela mediana e a altura referentes àhipotenusa?obrigadoSarmentoAqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade,ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedarsua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis oDiscador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar.Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assineOi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique emhttp://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] Soma dos quadrados dos divisores
Aqui vai um que está dando trabalho: Ache todos os pares de inteiros positivos consecutivos cujas respectivas somas dos quadrados dos divisores positivos são iguais. Por inspeção, eu achei 6 e 7 (1^2 +2^2 +3^2 + 6^2 = 1^2 + 7^2) mas não consegui achar outras nem provar que esta é a única solução. []s, Claudio.
[obm-l] Re:
Essa questão é de física. Separando o movimento em horizontal e vertical temos um movimento uniforme na horizontal e um movimento uniformemente variado na vertical. Horizontal: Vzerox = x / t Vertical: Vy = Vzeroy – gt O movimento é simétrico, pois descreve uma parábola, então basta considerarmos até o ponto mais alto onde Vy=0. Substitua Vzerox=V cos (a) e Vzeroy= V sen (a) e elimine t nas equações. Temos o resultado: V^2 * cos (a) * sen (a) = x*g x = V^2/g * cos (a) sen (a) Bom, agora se você não fez cálculo 1 o exercício termina aqui e voce fala que cos (a) * sen (a) deve ser máximo quando a = 45º (faça tentativas com senos e cossenos fáceis) Se voce sabe cálculo maximize a função x(a) = V^2/g * cos(a) * sen(a) (V e g são constantes dadas no problema. dx/da = V^2/g * (cos^2(a) – sen^2 (a)) = 0 donde cos^2 (a) = sen^2(a) ; cos(a)=sen(a) e como estamos entre 0 e 90 graus, a=45º tomara que ajude abraços!!!
Re: [obm-l] Quest�es do Livro do Hefez
Temos que a^p. b - b^p . a = a^p . b - a b + a b - b^p . a = b(a^p - a) - a(b^p - b). No exercicio anterior , vimos que os termos entre parenteses sao multiplos de 6p. Assim, existem inteiros positivos r e s tais que a^p. b - b^p . a = 6p.r.b - 6p.s.a = 6p(r.b - s.a). Como os termos da expressao sao todos inteiros, temos um multiplo de 6p, comprovando-se a afirmacao. No exe4rcicio anterior, para provar que a expressao era multipla de 3, nao era preciso, na realidae, fazer aquelas consideracoes sobre pares e impares. Bastava observar que, dentre 3 naturais consecutivos, hah sempre um multiplo de 3. Abracos Artur Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 divisores. 2) Seja p 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- b^p . a são divisíveis por 6p, para todos a0, com ab. 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode escrever p = y^2 - x^2, com x e y positivos, de modo único. Obrigado __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
