[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
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u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1]
+
c_22 [e_2 (x) e^2]
-
Esse (x) entre os vetores e_1 e e^1, e_1 e e^2, etc significa qual
operação entre vetores?
Pode dar um exemplo?
Esse (x) denota produto direto tensorial. Andei pesquisando um pouco
e descobri que produto direto tensorial não é a mesma coisa que produto
direto.
Um espaço produto ( obtido por produto direto de espaços)
nada mais é do que um produto cartesiano de espaços, que por sua vez
pode ser equipado com uma métrica que induz uma topologia
(topologia produto):
http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product
Por exemplo: Se você pegar duas cópias de R por exemplo, uma
com base e_1 e outra com base e_2 e fizer um produto direto (comum)
vai obter um espaço com base (e_1,e_2). Note que a dimensão é
a soma das dimensões. O espaço obtido
dessa forma é o mesmo que você obteria se fizesse a soma direta
dos dois espaços.
Agora, o produto direto*tensorial* é diferente. A dimensão no
caso, é o *produto* das dimensões:
http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceTensorProduct.html
Quando você multiplica tensorialmente dois espaços vetoriais
você gera um novo espaço vetorial, cuja base consiste de elementos
da forma e_i (x) e^j (note que o subscrito é usado para vetores linha
e o superscrito para vetores coluna). O número de elemnentos da
nova base, é claro, é igual à dimensão do espaço produto gerado.
http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProductClassical.html
Os c_ij são obtido de qual maneira usual?
São obtidos da mesma forma que vc obteria se multiplicasse dois
polinômios. Vou tentar construir um exemplo:
v = a^1 e_1 + a^2 e_2
w = a_1 e^1 + a_2 e^2
Aqui você pode pensar em v como um
vetor coluna e w como um vetor linha.
O que acontece quando vc multiplica um
vetor coluna (covariante -- subscritos) por um vetor linha
(contravariante -- superscritos) ? Vc obtém uma matriz (tensor):
v (x) w = [ a_1 ] [a^1 a^2] = [ a^1a_1 a_1a^2 ]
[ a_2 ] [ a^2a_2 a^2a_2 ]
Agora veja: A entidade que vc obteve não é mais um
vetor e a dimensão dessa entidade é 4. Isto é vc pode
escrever:
[ a^1a_1 a_1a^2 ] = a^1a_1[1 0] + a_1a^2[0 1] +
[ a^2a_2 a^2a_2 ] [ 0 0][ 0 0]
a^2a_2 [0 0] + a^2a^2 [0 0]
[ 1 0] [ 0 1]
ou, mais resumidamente:
v (x) u = a^1a_1 e_1(x)e^1 + a_1a^2 e^1(x)e_2 +
a^2a_1 e_1(x)e^1 + a^2a_2 e^2(x)e_2
v (x)u = somatório_{ij} a_i a^j e ^i _j
onde e^i _j = e^i (x) e_j é a base do tensor (também chamado
de delta de Kroenecker). Veja que neste exemplo,
cada delta de Kroenecker
é uma 'matriz' em que todos números são zero, exceto um dos
números (que é 1). Note que v é um tensor de rank (1,0)
isto é, um vetor coluna e w é um tensor de rank (0,1), isto é,
um vetor linha. O resultado é um tensor de rank (1,1), isto é
uma matriz bidimensional.
http://planetmath.org/encyclopedia/CharacteristicArray.html
Agora, fique esperto, pois nosso amigo Einstein, costuma suprimir as
somatórias
quando vc faz a soma sobre um mesmo índice.
http://mathworld.wolfram.com/EinsteinSummation.html
Note que é possível generalizar essa idéia para n dimensões.
Como vc sabe delta_{ij} em dimensão 2 poderia ser escrita
como:
delta_{ij} = [1 0]
[0 1] isto é, se i=j o elemento vale 1, senão vale 0.
E se fosse
delta_{ijk} ? Primeiro seria uma matriz
tridimensional. Onde estariam os números 1 ?
Ora, onde i=j=k ou seja, na diagonal principal da
matrix 3x3.
Agora como seria delta_{ij}^{k} ? Note que agora temos
um cubo e um cubo tem 3 diagonais principais. Em qual
delas estariam os números 1?
Realmente não entendi.
Um exemplo realtivamente fácil de entender são as formas quadráticas
que são definidas a partir de tensores também mas que
no final das contas dão valores escalares:
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticForm.html
Um elipsóide, por exemplo, pode ser definido a partir de uma
forma quadrática:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
(tá em deutch, mas a idéia matemática e as equações dá para entender).
Note que a forma geométrica do elipsóide é *independente*
do sistema de coordenadas escolhido. Isso é uma característica de objetos
definidos a partir de tensores.
Mas existe um sistema de coordenadas no qual a matriz é diagonal.
Outras quádricas podem ser definidas por formas quadráticas e de
fato suas formas são invariantes por transformações de coordenadas.
Hmmm o que isso tem a ver com mecânica ?
Euler consegue descrever a rotação de um corpo rígido arbitrário
usando uma coisa chamada Elipsóide de Inércia.
Como vc deve saber, o momento de inércia
RES: [obm-l] 3 problemas antigos [sol. do segundo]
Soh corrigindo: S_n eh a sequecia das somas parciais e nao a soma das
sequencia parciais Ah!!!
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: sexta-feira, 12 de maio de 2006 00:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] 3 problemas antigos [sol. do segundo]
Grande Paulo,
Vamos tentarSeja S_n a soma das sequencias
parciais e a_n. Aplicando-se indutivamente a condicao
dada para a sequencia, temos que:
a_1 = a_2 + a_3 -- a_1 = S_3 - S_1
a_1 + a_2 = a_2 + a_3 +a_4 + a_5 --- a_1 = a_3 +
a_4 + a_5 --- a_1 = S_5 - S_2.
Por inducao sobre n, vemos que, para todo n=1, vigora
a desigualdade a_1 = S_(2n+1) - S_n.
Considerando que a_10 e lembrando o criterio de
Cauchy para convergencia de sequencias, temos
Abracos
Artur
--- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
wrote:
SUGESTAO : O Carissimo Artur, que gosta muito de
Analise, tambem poderia dar
uma DICA para o terceiro
3) Sendo a_n uma sequência de números positivos ,
tais que
a_n = a_{2n} + a_{2n+1} ,
prove que
lim_{n - +infinito} a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n
diverge.
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RES: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros
Acho que eh isso sim. Essa demonstracao eh incrivelmente mais simples do que a que eu vi, que utilizava o conceito de norma 2-adica. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: quinta-feira, 11 de maio de 2006 21:15 Para: obm-l Assunto: Re:[obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 11 May 2006 16:38:26 -0300 Assunto: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros Alguem conhece este teorema? Suponhamos que P seja um polinomio do grau n com coeficientes inteiros e tenha um numero impar de coeficientes impares, incluindo, dentre estes ultimos, os coeficientes do termo independente e do termo dominante. Entao, P nao tem raizes a + b*i nas quais a e b sejam ambos racionais. O que implica que P nao admite raizes reais racionais. Eu vi um esquema da demonstracao, nao entendi tudo. No caso especifico de n=2 a demosntracao eh simples. Artur Suponhamos que (a + bi)/c seja uma raiz de p(x), com a, b e c inteiros, c 0 e mdc(a,b,c) = 1 (se mdc(a,b,c) 1, poderiamos cancelar este fator comum de a, b e c). Nesse caso, (a - bi)/c tambem eh raiz == p(x) eh divisivel por c^2x^2 - 2acx + (a^2+b^2) (em Z[x]) Como o coeficiente lider e o termo independente de p(x) sao impares, temos que c^2 e a^2+b^2 sao impares, pois sao fatores do coeficiente lider e do termo independente, respectivamente. A condicao nos coeficientes significa que se z eh um inteiro impar, entao p(z) tambem eh impar. Em particular p(1) eh impar. p(1) = c^2 - 2ac + (a^2+b^2) = impar - par + impar = par == contradicao Logo, p(x) nao admite raizes em Q(i). Acho que eh isso. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Rotação em torno d e um eixo arbitrário.
Ojesed: Obrigado, funcionou !! Baixei o código em JAVA que tinha nesta página, fiz uma versão em C++ e anexei ao meu fonte. Assim se algum dia algum programador da lista precisaré só pedir que eu forneço o fonte. Essa história de rotação em torno de um eixo tem a ver com quartenions (que foram uma criação de Hamilton). Para quem tiver curiosidade basta olhar: http://www.cs.utexas.edu/users/fussell/courses/cs384g/quaternions.pdf - Original Message - From: Ojesed Mirror To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 11, 2006 11:18 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Rotação em torno de um eixo arbitrário. boa sorte... - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 11, 2006 8:58 PM Subject: [obm-l] Rotação em torno de um eixo arbitrário. Achei... mas é confuso ...: http://www.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.392 / Virus Database: 268.5.6/337 - Release Date: 11/5/2006
[obm-l] Ajuda com o Maple
Onde consigo informações sobre utilização do Maple 10? Algum tutorial, apostila... Abraços ao pessoal da lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda com o Maple
Mensagem Original: Data: 18:58:07 12/05/2006 De: Pierry Ângelo Pereira [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda com o Maple Onde consigo informações sobre utilização do Maple 10? Algum tutorial, apostila... Abraços ao pessoal da lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Amigo, se vc pudesse me ajudar ficaria grato. Onde consigo o Maple? Tem algun site pra baixar ele? Infezlimente não sei onde vc arrumar tutorial e apostila, aguardo resposta dos amigos da LIsta. Abraço. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda com o Maple
Um livro muito bom sobre o Maple foi editado pela SBM, chama-se Introdução à Computação Algébrica com o Maple de Lenimar Nunes de Andrade. Comprei direto da SBM, custou umas 40 pratas, já com as despesas de envio. Esse livro vale mesmo a pena ter. Vc vai ver que o Maple é um programa fácil de lidar. Abraço, João Luís - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 12, 2006 8:52 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda com o Maple Mensagem Original: Data: 18:58:07 12/05/2006 De: Pierry Ângelo Pereira [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda com o Maple Onde consigo informações sobre utilização do Maple 10? Algum tutorial, apostila... Abraços ao pessoal da lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Amigo, se vc pudesse me ajudar ficaria grato. Onde consigo o Maple? Tem algun site pra baixar ele? Infezlimente não sei onde vc arrumar tutorial e apostila, aguardo resposta dos amigos da LIsta. Abraço. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda com o Maple
On 5/12/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Mensagem Original: Data: 18:58:07 12/05/2006 De: Pierry Ângelo Pereira [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda com o Maple Onde consigo informações sobre utilização do Maple 10? Algum tutorial, apostila... O manual do Maple 10 pode ser encontrado aqui ó: http://www.maplesoft.com/products/maple/manuals/ O software é proprietário; pra comprar, siga as recomendações no site da maplesoft - ou use o emule. s. -- Savio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda com o Maple
Obrigado pela dica João Luís Gomes Guimarães, mas acho que vou procurar algo que seja gratuito, ando meio quebrado ultimamente. Olá Sjdmc, você vai conseguir o Maple através da rede Bittorrent, caso não saiba o que é isso e como funciona, leia: http://www.infowester.com/bittorrent.php após ler isto baixe o arquivo torrent do Maple 10 e é só alegria. Torrent do Maple: http://www.mininova.org/tor/86651 Um Abraço, Pierry Ângelo Pereira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
