[obm-l] CONCEITOS GEOMÉTRICOS!
Ok! Renan e demais colegas! Vale salientar que tanto o ENEM como a OBMEP exploram questões relacionadas à escalas aritméticas. Ainda existem inúmeros artigos geométricos em aberto na lista, principalmente problemas esféricos. Talvez pelo fato da Geometria ter sido a primeira aventura da mente humana, ou seja, começamos a escalada pela parte mais difícil... Dado um cone de raio R e de altura H, determinar a quantidade X, de que devemos diminuir a altura e aumentar o raio, para que o volume não mude. Qual é o prisma máximo que se pode tirar de uma pirâmide por meio de uma seção paralela à base e planos normais à base? Calcular os lados de um triângulo em função das três medianas e sobre que lado devo inscrever um maior quadrado? Entre todos os paralelepípedos retângulos isoperímetros, qual é aquele que tem o volume máximo? A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre quantos ângulos retos? A propósito, quantas são as maneiras que podemos determinar um plano? Abraços! _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] MADE IN CEARÁ!
Turma! Recentemente, ao assistir uma matéria na TV GLOBO sobre Papel Higiênico, fiquei estupefato por três motivos: primeiro pela abordagem de um assunto em rede nacional nada higiênico; segundo, porque fomos enganados durante toda uma vida quanto à metragem real especificada no produto e terceiro e mais chocante foi o método arcaico utilizado pelo INMETRO para tal medição. Uma vergonha para um país que inventou a torneira inteligente e está prestes a se tornar uma nova Arábia Saudita dos biocombustíveis e melhor ainda, sem conflitos religiosos. O Nordeste, através do NUTEC-UFC, tem lugar marcado neste cenário futurista, a começar pelos fantásticos e impressionantes painéis eletrônicos subliminares com direito à campanhas milionárias da Skol Beats e divulgação pelo Netscape. Temos potencial para produzir o já difundido biodiesel, que aliás, já se encontra disponível nos postos BR, assim como o bioquerosene, produto que promete revolucionar a aviação comercial mundial, segundo o técnico da Boeing, Danny Hatfielde. A título de curiosidade, vale salientar que o autor das pesquisas tecbio, o engenheiro químico cearense, Expedito Parente vem fazendo diferença desde a década de 80 ao publicar um artigo sobre receitas típicas quando afirmou que a maneira mais eficiente de neutralizarmos o sal da carne-de-sol à ferver é colocarmos mais sal na água. Incrível, não! É combater fogo com fogo. Inacreditável!...Agora, quanto ao método correto da medição do papel, basta lembrarmos do problema doméstico do genial Paulo César P. Carvalho... O fabricante indica que o comprimento total da fita para vídeo é 246 metros. Por outro lado, medindo-se o raio do carretel vazio encontra-se 1,2cm. Sabendo-se que o tempo gasto para avançar 100 voltas aumenta de aproximadamente 66 segundos a cada 100 voltas, calcular a espessura da fita e o número real de voltas correspondentes ao número 1902 indicado pelo contador ao final da fita. ...e as pequisas continuam em céu de brigadeiro com a fruticultura de pinha, sapoti e mamão sem caroços, manga sem fiapos, abacaxi em gomos, etc... Afinal! como será o processo de germinação destas frutas sem sementes? Estranho, não! Um brinde à todos pelo sucesso do nosso vinho nordestino, que já representa 20% de toda exportação nacional e uma boa digestão tutti-frutti... Viva o semi-árido! _ Acompanhe os desfiles do evento São Paulo Fashion Week. http://www.msn.com.br/diversao/spfw/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinômios
Bom dia! Preciso de Ajuda: Um Polinômio P(X) tal que: P(x) + x . P(2 - x) = x² +3 Calcular P(x), sabendo que P(x) = ax + b Obrigado! Leandro
RE: [obm-l] Polin�mios
P(x) = -x + 3 From: Leandro A [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 5 Sep 2006 10:07:34 -0300 (Hora oficial do Brasil) Bom dia! Preciso de Ajuda: Um Polinômio P(X) tal que: P(x) + x . P(2 - x) = x² +3 Calcular P(x), sabendo que P(x) = ax + b Obrigado! Leandro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Converge?
Olá, Gostaria de saber se a integral definida de dx/x no intervalo [-1, 1] diverge ou converge e porque. O livro Stewart, se não me engano o nome é esse, diz que a integral diverge. Eu acho que ela converge e é igual a zero devido à simetria, mas não tenho o ferramental para provar ou disprovar isso. Estou curioso sobre o assunto... Essa dúvida surgiu de um exemplo do Stewart que calcula integral de dx/(x - 1) no intervalo [0, 3]. Eu levantei a possibilidade de considerar que a integral nos intervalos [0,1) e (1,2] se anula, assim podendo considerar apenas o intervalo [2,3]. Como disse, no livro consta que a integral é divergente. Bruno Bonagura = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Gabarito Segunda Fase OBM
O gabarito da Segunda Fase da OBM não devreia sair hoje? O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re:[obm-l] polinomio irredutivel
Oi, Luis:
Eu fiz o seguinte:
Sejaf(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x +p,
onde p é um primo ímpar.
Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x].
Os coeficientes de x^(p-1) e x^(p-2) em f(x+1) são facilmente calculáveis.
O coeficiente de x^(p-k) para3 = k = p é igual a:
SOMA(j=1...k) j*Binom(p-j,k-j) =
k*SOMA(j=1...k) Binom(p-j,k-j) - SOMA(j=1...k) (k-j)*Binom(p-j,k-j) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*SOMA(j=1...k-1) Binom(p-j,k-j-1) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*Binom(p,k-2) =
Binom(p+1,k-1) =
múltiplo de p, pois p divide (p+1)! mas não divide (k-1)!*(p-k+2)! se3 = k = p, o que bate com o artigo (ainda bem!)
***
Critério de Eisenstein generalizado:
Seja f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n um polinômio de Z[x].
Suponha que exista um primo p tal que:
1) p divide a_0, a_1, ..., a_(k-1) mas não divide a_k (1 = k = n)
e
2) p^2 não divide a_0
Então f(x) tem um fator irredutível de grau = k.
Suponhamos que f(x) = g(x)*h(x), com:
g(x) = b_0 + b_1x + ... + b_rx^r
e
h(x) = c_0 + c_1x + ... + c_sx^s
onde r = 0, s =0 e r + s = n.
a_0 = b_0*c_0.
Como p divide a_0 mas p^2 não divide, podemos supor spdg que p divide b_0 mas não divide c_0.
Como p não divide a_k, p não pode dividir todos os coeficientes de g(x).
Seja j o menor inteiro positivo tal que p não divide b_j.
Repare que, nesse caso, grau(g(x)) = j.
Se i j, então:
a_i = b_0*c_i + b_1*c_(i-1) + ... + b_(i-1)*c_1 + b_i*c_0
(se i r, então b_i = 0. Idem para os c_i)
Como p divide b_0, ..., b_i, concluímos que p divide a_i.
Logo, i k.
Por outro lado,
a_j = b_0*c_j + b_1*c_(j-1) + ... + b_(j-1)*c_1 + b_j*c_0.
Como p divide b_0, , b_(j-1) mas não divide b_j*c_0, concluímos que p não divide a_j.
Assim, j = k e, portanto, grau(g(x)) = k.
Ou seja, f(x) tem um fator irredutível de grau = k.
O critério de Eisenstein tradicional é obtido quando k = n.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Fri, 01 Sep 2006 20:45:51 +
Assunto:
[obm-l] polinomio irredutivel
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
(Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções
geométricas?
===
N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois
mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa.
Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números
construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q.
Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar
uma passagem. Depois coloco aqui.
%%
Retomando o email. O problema (*)
Seja p=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} +
+ x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q
é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh
e Lang.
A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} =
= x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1
e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} =
=[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x
é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p.
Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico
Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o
problema 1681, An Irreducible Polynomial.
Seja p=3 um primo. Prove que o polinômio
x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p
é irredutível em Z[x].
Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because
f(+-1) 0 and f(+-p) 0, it follows from the rational root theorem
that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem).
Since (usando a mesma idéia do problema (*))
f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} =
\frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} ,
we have
f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} =
x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k ,
where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0=k=p-3.
Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é.
Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra
simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café,
continua. Hum
Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa
a n~ao divide X
Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0=k=p-3 , and p^2 \not| a_0 , (OK)
it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1)
has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x].
N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como
chegar na conclus~ao do at least?
However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did,
the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible
in Z[x]. (OK, em Q[x] também).
===
Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui.
===
Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais
curta do que esta?
[]'s
Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Polinômios
como ax + b + x ( a(2 - x) + b ) = x*2 + 3 dai temos que: ax + b + 2ax - ax*2 + bx = x*2 + 3 dai vem que pela igualdade de polinomios a = -1 e b =3 temos então P(x) = -x + 3, ok
[obm-l] Besouros no quadrado
Em cada vertice de um quadrado de lado de lado 1 temos um besouro que voa com uma velocidade constante de 1m/s atras do seguinte de modo que a direcao da sua velocidade sepre está voltada para o besouro do vertice seguinte. quanto tempo eles demoram pra se encontrar?? Deu pra entender?? gostei desse problema e gostaria de posta-lo pra ver outras solucoes.valeu. _ Acompanhe os desfiles do evento São Paulo Fashion Week. http://www.msn.com.br/diversao/spfw/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teorema de Ceva
Estou tentando provar a recíproca do teorema de Ceva, alguém pode me ajudar? Grato desde já. -- __ Now you can search for products and services http://search.mail.com Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Converge?
Acho que pela definicao usual de convergencia esta integral não existe. Eh facil ver que a integral de -1 a 0 eh -oo e que a integral de 0 a 1 eh oo. Asssim, não existe a integral. Quando se diz que uma integral impropria diverge, então o que se significa eh que vai para -oo ou oo, que não é o caso em [1, 1]. A integral de uma f num intervalo [a, b] que tenha por ponto interior um elemento c no qual haja uma singularidade, eh definida por .que contenha uma singularidade, como o zero no seu caso, eh definida por Int(a, c) f(x) dx - Int(c, b) f(x) dx, que existe se e somente se ambas as integrais existirem. Temos que Int(a, c) f(x) dx = lim (h -0) Int (a, c-h) f(x) dx e Int(b, c) f(x) dx = lim (h -0) Int (c+h, b)) f(x) dx, se estes limites existirem. Ao dizer que converge para zero em virtude da simetria da funcao, vc na realidade estah se referindo ao chamado valor principal de Cauchy. Se f eh definida em um intervalo [a, b] e c esta em (a, b), entao o valor valor principal de Cauchy eh defindo por VPC = lim (h - 0) (Int(a, c-h) f(x) dx + Int(c+h, b) f(x) dx), desde que este limite exista. Eh facil ver que se a integral de f existe para todo h em [a, c-h] e em [c+h, b], entao o VPC existe e indepente de qual ponto c se tenha tomado. No caso de funcoes impares que satisfacam a esta condicao em intervalos do tipo [-a, a], temos, como no seu caso, que VPC = 0. Interessante que a existencia do VPC em [a, b] nao implica a que a integral convirja ou sequer exista em [a, b]. Mas se a integral convergir, então o VPC existe e igual-se ao da integral. Espero ter ajudado e não complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Bonagura Enviada em: terça-feira, 5 de setembro de 2006 12:02 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Converge? Olá, Gostaria de saber se a integral definida de dx/x no intervalo [-1, 1] diverge ou converge e porque. O livro Stewart, se não me engano o nome é esse, diz que a integral diverge. Eu acho que ela converge e é igual a zero devido à simetria, mas não tenho o ferramental para provar ou disprovar isso. Estou curioso sobre o assunto... Essa dúvida surgiu de um exemplo do Stewart que calcula integral de dx/(x - 1) no intervalo [0, 3]. Eu levantei a possibilidade de considerar que a integral nos intervalos [0,1) e (1,2] se anula, assim podendo considerar apenas o intervalo [2,3]. Como disse, no livro consta que a integral é divergente. Bruno Bonagura = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equação
Por gentileza, Se a e b são duas raízes, situadas no intervalo [0,2pi], da equação sen x - cos x = m e se b-a =(pi/2), quais são os possíveis valores de m. Obrigado mais uma vez
Re: [obm-l] Gabarito Segunda Fase OBM
Pois é, mas infelizmente só colocaram a prova no site! Em 05/09/06, Rafael Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: O gabarito da Segunda Fase da OBM não devreia sair hoje? O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Besouros no quadrado
Oi, Mario, Você vai gostar de dar uma olhada nesta página, especialmente o gerador de espirais. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FourTurtles.shtml Abraços, Nehab At 15:49 5/9/2006, you wrote: Em cada vertice de um quadrado de lado de lado 1 temos um besouro que voa com uma velocidade constante de 1m/s atras do seguinte de modo que a direcao da sua velocidade sepre está voltada para o besouro do vertice seguinte. quanto tempo eles demoram pra se encontrar?? Deu pra entender?? gostei desse problema e gostaria de posta-lo pra ver outras solucoes.valeu. _ Acompanhe os desfiles do evento São Paulo Fashion Week. http://www.msn.com.br/diversao/spfw/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] gabaritos
Caros(as) amigos(as) da OBM, Estamos com alguns problemas na rede. Por este motivo só consegui disponibilizar as provas e o gabarito do Nível Universitário no site da OBM hoje pela tarde. Prometo que tão pronto como seja possível os gabaritos dos níveis 1, 2 e 3 estarão no ar. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] polinomio irredutivel
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Muito bom. Vou imprimir e olhar com calma sua explicaç~ao. Vou colocá-la no apêndice que ficará mais completo com ela. Acho que a soluç~ao do artigo poderia dar alguma dica de como chegar (ou onde encontrar) a tal generalizaç~ao. Obrigado. []'s Luís From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re:[obm-l] polinomio irredutivel Date: Tue, 5 Sep 2006 14:53:06 -0300 Oi, Luis: Eu fiz o seguinte: Seja f(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x + p, onde p é um primo ímpar. Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x]. [.] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Maneiras de pintar um cubo
Boa noite a todos. Pediram-me que eu resolvesse o seguinte problema: Um cubo deve ser pintado, cada face de uma cor, utilizando-se exatamente 5 cores, sendo que as únicas faces da mesma cor devem ser opostas. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito? Como certos problemas de contagem ainda so (infelizmente) enigmáticos para mim, gostaria de expor minha tentativa de soluo para a considerao e correes de todos vocs. (Minha soluo) Fixamos uma face qualquer do cubo e a pintamos de uma cor, o que pode ser feito de 5 maneiras diferentes. Agora, pintamos a face oposta que foi fixada, o que só pode ser feito de uma maneira (usando a mesma cor utilizada anteriormente). Em seguida, temos 4 faces para serem pintadas e temos 4 cores disponíveis. Para executar essa tarefa temos (4 1)! = 6 maneiras diferentes, já que essas faces podem ser giradas em torno do eixo que passa pelos centros das duas primeiras faces pintadas. No total temos 5 x 6 = 30 maneiras diferentes de pintar o cubo nas condies propostas. Aguardo comentários. []s, Márcio. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ===
[obm-l] Re: [obm-l] equação
Olá, note que: senx - cosx = sqrt(2) / sqrt(2) * [senx - cosx] = sqrt(2) * [ senx * cos45 - sen45 * cosx ] = sqrt(2) * sen ( x - 45 ) logo: senx - cosx = m ... sqrt(2) * sen ( x - 45 ) = m . sen( x - 45 ) = m/sqrt(2) primeiramente, temos que ter: -1 = m / sqrt(2) = 1 -sqrt(2) = m = sqrt(2) se m = 0, entao: sen( x - 45 ) = 0 x - 45 = k * 180 .. x - pi/4 = k * pi x = [1 + 4k] pi/4 k=0 ... x = pi/4 k=1 ... x = 5pi/4 5pi/4 - pi/4 = pi ... logo, nao vale b-a = pi/2 se m 0, entao, se0 = alfa = pi/2 ... temos: x - 45 = alfa ... x = 45 + alfa x - 45 =180 - alfa ... x = 45 + 180 - alfa (45+ 180 -alfa) - (45 + alfa) = 180 - 2alfa = 90 ... alfa = 45!! logo: m/sqrt(2) = sen(45) = sen(135) m = 1 se m 0, entao, se 0 = alfa = pi/2 ... temos: x - 45 = 180 + alfa ... x = 45 + 180 + alfa x - 45 = 360 - alfa ... x = 45 + 360 - alfa (45 + 360 - alfa) - (45 + 180 + alfa) = 90 180 - 2alfa = 90 ... alfa = 45!! logo: m/sqrt(2) = sen(225) = sen(315) ... m = -1 assim, os possiveis valores de m são: 1 e -1. abracos, Salhab - Original Message - From: ilhadepaqueta To: obm-l Sent: Tuesday, September 05, 2006 6:02 PM Subject: [obm-l] equação Por gentileza, Se a e b são duas raízes, situadas no intervalo [0,2pi], da equação sen x - cos x = m e se b-a =(pi/2), quais são os possíveis valores de m. Obrigado mais uma vez No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/438 - Release Date: 5/9/2006
