Re: [obm-l] trt_pe
desculpa não vi os 4algarismos distintos :(Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em 19/09/06, Italo<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: ué a resposta é 1 Menor número de 5algarismos 1. Maior número de 4algarismos . 1- = 1 E 1 é primo Ítalo elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Se X é o menor número natural que tem cinco algarismos e Y é o maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a diferença X - Y é um número: divisível por 4 múltiplo de 6 maior que 150 quadrado perfeito primoAcho que seria x =1 e Y = 9876 cuja diferença dá 124 que édivisivel por 4,estou certo? ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Primos (era: trt_pe)
On Tue, Sep 19, 2006 at 11:21:12PM -0300, J. Renan wrote: Caro Ítalo Acho que a afirmação de que 1 é primo pode causar alguns distúrbios nessa lista (imagina se começarem um debate sobre isso!) Número primo: Número primo é um número inteiro que tem exatamente quatro http://pt.wikipedia.org/wiki/Divisordivisores. (wikipédia) Mais a frente na mesma página lemos: Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos. Não sei até onde está certo e até onde está errado, uma vez que a wikipédia é uma enciclopédia livre. Sei, entretanto, que este tema é controverso. Discordo com a sua resolução, uma vez que os algarismos tem que ser distintos. Mas assumindo que ela estivesse certa, a alternativa correta deveria ser Quadrado Perfeito. Afinal, a raiz de 1 é um número inteiro. Corrijam-me se cometi algum engano nesse comentário Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo Está tudo certo. Atualmente ninguém mais considera 1 como um número primo. Por outro lado, isto nem sempre foi assim: se você olhar em tabelas de primos (na biblioteca do IMPA há pelo menos duas) o número 1 aparece como primo. Note que esta é uma destas questões de convenção, como discutir se 0 é natural. Por outro lado, eu considero a definição acima estranha, artificial e um pouco pedante. Esta história de quatro divisores, por exemplo, vem de considerar divisores *negativos*, o que eu acho despropositado. E contar -7 como um primo diferente de 7 é uma péssima idéia, estraga a fatoração única. Achei a página em inglês melhor, o autor já começa dizendo que estamos falando de *naturais* e que um primo é um *natural* com dois divisores *naturais*. Confiram: http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_numbers Em teoria de números o conceito de primo é muito importante e pode ser generalizado de mais de uma forma. Por exemplo, em outros anéis é importante esturar ideais primos. Também é importante estudar certas métricas em Q cujo completamento dá um corpo como R ou Q_p, o corpo dos p-ádicos. Sob alguns destes pontos de vista existe UM primo além de 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..., que às vezes é chamado de 0, às vezes de -1 e às vezes de infinito. Mas nunca ouvi falar de uma situação em que fosse interessante contar 7 e -7 como primos distintos. Isto me lembra uma questão de vestibular. A questão era assim: Quantos divisores tem o número 24? (a) 8 (b) 16 (cde) qualquer outra coisa A questão não deixava claro se deveríamos ou não contar divisores negativos. Por um lado, muitos livros didáticos mencionam divisores negativos (e parecem se orgulhar muito disso): isto favorece a opção (b). Por outro lado, eu aposto que se você passar esta questão para matemáticos profissionais a maioria vai responder (a). A questão foi anulada, o que eu acho acertadíssimo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equação Modular
O Produto das raizes da equação|x²-5x+5|=1 é:a) 4b) 6c) 24d) 10e) n.r.a
Re: [obm-l] Primos (era: trt_pe)
Com relação aos 4 nrs distintos peço novamente desculpas pela minha falta de atenção :) provavelmente uma de minhas maiores falhas matemáticas...Ítalo "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Tue, Sep 19, 2006 at 11:21:12PM -0300, J. Renan wrote: Caro Ítalo Acho que a afirmação de que 1 é primo pode causar alguns distúrbios nessa lista (imagina se começarem um debate sobre isso!) Número primo: "Número primo é um número inteiro que tem exatamente quatro divisores." (wikipédia) Mais a frente na mesma página lemos: "Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos." Não sei até onde está certo e até onde está errado, uma vez que a wikipédia é uma enciclopédia livre. Sei, entretanto, que este tema é controverso. Discordo com a sua resolução, uma vez que os algarismos tem que ser distintos. Mas assumindo que ela estivesse certa, a alternativa correta deveria ser "Quadrado Perfeito". Afinal, a raiz de 1 é um número inteiro. Corrijam-me se cometi algum engano nesse comentário Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primoEstá tudo certo. Atualmente ninguém mais considera 1 como um número primo.Por outro lado, isto nem sempre foi assim: se você olhar em tabelas de primos(na biblioteca do IMPA há pelo menos duas) o número 1 aparece como primo.Note que esta é uma destas questões de convenção, como discutir se 0 é natural.Por outro lado, eu considero a definição acima estranha, artificiale um pouco pedante. Esta história de quatro divisores, por exemplo,vem de considerar divisores *negativos*, o que eu acho despropositado.E contar -7 como um primo diferente de 7 é uma péssima idéia, estragaa fatoração única. Achei a página em inglês melhor, o autor já começadizendo que estamos falando de *naturais* e que um primo é um *natural*com dois divisores *naturais*. Confiram:http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_numbersEm teoria de números o conceito de primo é muito importante e pode sergeneralizado de mais de uma forma. Por exemplo, em outros anéis éimportante esturar ideais primos. Também é importante estudar certasmétricas em Q cujo completamento dá um corpo como R ou Q_p, o corpodos p-ádicos. Sob alguns destes pontos de vista existe UM primo alémde 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..., que às vezes é chamado de 0, às vezes de -1e às vezes de infinito. Mas nunca ouvi falar de uma situação em que fosseinteressante contar 7 e -7 como primos distintos.Isto me lembra uma questão de vestibular. A questão era assim:Quantos divisores tem o número 24?(a) 8(b) 16(cde) qualquer outra coisaA questão não deixava claro se deveríamos ou não contar divisores negativos.Por um lado, muitos livros didáticos mencionam divisores negativos(e parecem se orgulhar muito disso): isto favorece a opção (b).Por outro lado, eu aposto que se você passar esta questão paramatemáticos profissionais a maioria vai responder (a).A questão foi anulada, o que eu acho acertadíssimo.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Conjunto com interior vazio correcao
Oi, Artur:
Muito provavelmente, esta é a solução que você encontrou, mas aqui vai, de qualquer jeito...
A idéia é mostrar que, dado qualquer intervalo aberto (a,b), existe x nesse intervalotal que x não está em D. Logo, D não poderá conter nenhum intervalo aberto e, portanto, terá interior vazio.
Inicialmente, observe que a soma dos comprimentos dos I_n é limitada (de fato, SOMA(n=1) m(I_n) = Pi^2/3, mas o valor desse limite não influi na demonstração).
Agora, tomek em N tal que SOMA(nk) m(I_n) b - a.
Isso quer dizer que os intervalos I_n com n k não podem cobrir o intervalo (a,b) e, portanto, deve existir x em (a,b) que não está contido em nenhum deles.
Logo, x estará contido em, no máximo, k intervalos (I_1, I_2, ..., I_k) e, portanto x não pertence a D.
O mesmo argumento funciona para qualquer sequencia (I_n) de intervalos tais que SOMA(n=1) m(I_n) infinito.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 19 Sep 2006 14:07:20 -0700 (PDT)
Assunto:
Re: [obm-l] Conjunto com interior vazio correcao
Ah, eu quis dizer enumeracao dos RACIONAIS, nao dos
irracionais. Mas, na realidade, a conclusao se mantem
se (r_n) for qualquer sequencia de reais.
Artur
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
Este problema tem uma solucao simples, mas eu
gostaria de saber se alguem
tem uma prova diferente da que encontrei.
Seja (r_n, n=1,2,3...) uma enumeracao qualquer dos
irracionais e seja I_n o
intervalo dado por I_n = (r_n - 1/n^2 , r_n +
1/n^2). Sendo D = { x em R | x
pertence a uma infinidade de intervalos I_n}, entao
D tem interior vazio.
Eu encontrei esta solucao simples porque eu conhecia
uma conclusao
correlata.
Artur
RES: [obm-l] Conjunto com interior vazio correcao
Eh
isso mesmo. Foi exatamente essa prova que eu encontrei para mostrar a alguns
estudantes que ainda não conhecem teoria de medidas.Para quem jah conhece
um pouquinho, isso eh consequencia imediata de um teorema mais geral que diz:
Seja (X, M , m)um espaco de medidas e seja (E_n) uma sequencia de
conjuntos mensuraveis tal que Soma (n =1) m(E_n)
oo.Entao, quase todo x de X pertence a um numero finito de
conjuntos E_n, o que o mesmo que dizer que m(D) =0.Particularizando-se
para o caso X = R, M = sigma-algebra de Lebesgue e m = medida de Lebesgue e
observando-se que, neste caso, m(D) =0 implica interior vazio, a conclusao
eh imediata.
Alias,
mesmo sem falar em medidas, esta prova eh tipicamente teoria de medidas, ainda
que quem a apresente nao saiba diso.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 20 de setembro de 2006
13:09Para: obm-lAssunto: Re: [obm-l] Conjunto com
interior vazio correcao
Oi, Artur:
Muito provavelmente, esta é a solução que você encontrou, mas aqui vai,
de qualquer jeito...
A idéia é mostrar que, dado qualquer intervalo aberto (a,b), existe x
nesse intervalotal que x não está em D. Logo, D não poderá conter nenhum
intervalo aberto e, portanto, terá interior vazio.
Inicialmente, observe que a soma dos comprimentos dos I_n é limitada (de
fato, SOMA(n=1) m(I_n) = Pi^2/3, mas o valor desse limite não influi na
demonstração).
Agora, tomek em N tal que SOMA(nk) m(I_n) b - a.
Isso quer dizer que os intervalos I_n com n k não podem cobrir o
intervalo (a,b) e, portanto, deve existir x em (a,b) que não está contido em
nenhum deles.
Logo, x estará contido em, no máximo, k intervalos (I_1, I_2, ..., I_k)
e, portanto x não pertence a D.
O mesmo argumento funciona para qualquer sequencia (I_n) de intervalos
tais que SOMA(n=1) m(I_n) infinito.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 19 Sep 2006
14:07:20 -0700 (PDT)
Assunto:
Re: [obm-l]
Conjunto com interior vazio correcao
Ah, eu quis dizer enumeracao dos RACIONAIS, nao dos
irracionais. Mas, na realidade, a conclusao se mantem
se (r_n) for qualquer sequencia de reais.
Artur
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
Este problema tem uma solucao simples, mas eu
gostaria de saber se alguem
tem uma prova diferente da que encontrei.
Seja (r_n, n=1,2,3...) uma enumeracao qualquer dos
irracionais e seja I_n o
intervalo dado por I_n = (r_n - 1/n^2 , r_n +
1/n^2). Sendo D = { x em R | x
pertence a uma infinidade de intervalos I_n}, entao
D tem interior vazio.
Eu encontrei esta solucao simples porque eu conhecia
uma conclusao
correlata.
Artur
Re: [obm-l] Equação Modular
Bruna|x^2-5x+5| =x^2-5x+5 , se x^2-5x+5 0 -x^2+5x-5, se x^2-5x+5 0Resolvendo x^2-5x+5=1 vem x=1 ou x=4 (I) Resolvendo -x^2+5x-5=1 vem x=2 ou x=3 (II)As soluções (I) são raízes da equação se e somente se x^2-5x+5 0, o que decorre da própria equação. (x^2-5x+5=10)As soluções (II) são raízes da equação se e somente se x^2-5x+5 0, o que também decorre da própria equação. ( -x^2+5x-5=1 = x^2-5x+5 = -1 0 )Assim, o conjunto verdade é V = { 1,2,3,4}O produto das raízes será: 1x2x3x4 = 24Alternativa CAbraços. Hugo.Bruna Carvalho
[EMAIL PROTECTED] escreveu: O Produto das raizes da equação|x²-5x+5|=1 é:a) 4b) 6c) 24d) 10e) n.r.a
Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Problemas de Olimpiadas
Ola Pessoal, ( escreverei sem usar acentos ) Mantendo a tradicao desta nossa lista, que, conforme diz a pagina da OBM no endereco http://www.obm.org.br/frameset-lista.htm foi concebida originalmente para a discussao de problemas olimpicos e nao para a solucao dos trivialissimos problemas de vestibulares e/ou de concursos, seguem abaixo 5 problemas das Olimpiadas Russas. Estes problemas sao direcionados sobretudo aos nossos estudantes olimpicos do fim do nivel fundamental ( antiga 7/8 series ). PROBLEMA 1) Dois jogadores escolhem, alternadamente, o sinal de um dos números 1, 2, 3, ... 20. Desde que o sinal de um número foi escolhido, ele não poderá ser modificado. Após todos os números terem recebido sinal, é efetuado a soma algébrica dos números e, a seguir, tomado o valor absoluto desta soma. O primeiro jogador procura minimizar o valor absoluto da soma, enquanto que o segundo jogador procura maximiza-lo. Como pode ser o resultado final, supondo-se que cada jogador joga com perfeição ? PROBLEMA 2) Os dígitos de um número natural são reordenados e o número resultante é acrescido ao número original. Prove que a resposta não pode ser um número formado apenas com o algarismo nove. Prove também que se a resposta for 10^10, então o número original é divisível por 10. PROBLEMA 3) Prove que existe um número divisível por 5^1000 que não tem dígito zero. PROBLEMA 4 ) Três vértices KLM de um losango KLMN são pontos respectivamente dos lados AB, BC e CD de um quadrado de lado unitário. Encontre a área do conjunto de todos os possíveis valores do vértice N. PROBLEMA 5 ) Um número natural K tem a propriedade de que se K divide N, então o número obtido N pela reversão de seus dígitos é também divisível por K. Prove que K é um divisor de 99 ( Reversão dos dígitos de N significa que o primeiro dígiton passa a ser o último, o segundo passa a ser o penúltimo e assim sucessivamente ) Mais problemas de Olimpiadas Russas em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um Abracao a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1701,200906 _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação Modular
Se x²-5x+5=1 == x²-5x+4=0 e o produto das raizes é 4.Se x²-5x+5=-1 == x²-5x+6|=0 e o produto é 6.Assim, considerando-se as quatro raizes temos o produto 4*6=24[]'sBruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: O Produto das raizes da equação|x²-5x+5|=1 é:a) 4b) 6c) 24d) 10e) n.r.a Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Equação Modular
x2 – 5x + 5 = 1 ou x2 – 5x + 5 = -1 raízes: 1 e 4 raízes: 2 e 3 produto das raízes: 1*4*2*3= 24 Resposta: letra c 2006/9/20, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]: O Produto das raizes da equação|x²-5x+5|=1 é:a) 4b) 6c) 24d) 10e) n.r.a -- Publicidade obrigatória: www.flogao.com.br/simaopedroFiquem na paz!
[obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinh a numa parábola)
Paulo Santa Rita escreveu em Mon, 26 Jun 2006 07:09:17 -0700 Um fato notavel e talvez surpreendente sobre a parabola Y=X^2 pode ser descoberto resolvendo a seguinte questao: IMAGINE que a parabola Y=X^2 rola sem deslizar sobre o exiso dos X, tanto para a direita como para a esquerda. Qual o lugar geometrico descrito pelo foco da parabola ? Costumo dar uma espiada nos problemas da lista que ainda estão em aberto, mas quando encontro algum do Paulo, uma espiada só não é suficiente... O problema foi colocado, como é usual,como uma parábola que rola, mas, como ela não pode dar uma volta preferí pensar numa parábola basculante e a imaginação me remeteu ao gingado malemolente de uma bela mulata, no bom estilo de Arí Barroso. A dedução está no anéxo da mensagem (devido ao desenho), onde concluímos que a trajetória do foco é uma catenária. De fato, como lá escreví, aparece uma propriedade interessante: considerando-se a parábola de equação Y=(p/2).X^2, a normal num ponto de ordenada Y intersepta o eixo de simetria à uma distância p/2 + Y do foco. Seria esse mesmo o fato ao qual você se referiu Paulo? Na dedução utilizei uma propriedade muito conhecida e usada, tanto em Desenho, para traçar a tangente e/ou a normal, quanto na Física, em óptica geométrica (lentes)ou em espelhos (ou antenas) parabólicas, como exemplos: A normal é bissetriz do ângulo entre uma paralela ao eixo (que passa pelo ponto P da parábola) e a reta que une P ao foco. Como a parábola não desliza a abcissa do ponto de apoio ou de tangência ao eixo dos x, referido à posição inicial do vértice (quando o eixo dos y é o eixo de simetria), é o comprimento do arco, do vértice ao ponto P, s , obtido pela integração de sqrt[1+(dY/dX)^2].dX que nos forneceS = p/2[ln(sec t + tg t) + sec t. tg t , onde tg t = dY/dX = X/p. Obtemos as equações paramétricas; x = p/2.ln(sec t + tg t) e y = p/2.sec t, ou eliminando t, y = p/2.cosh(2x/p) Abraços Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Olimpiadas de Matematica
Ola Pessoal, Escrevi algo sobre as Olimpiadas de Matematica e estou passando pra voces Que nós, seres humanos, já experimentamos progressos significativos e notáveis é evidente em face sobretudo das conquistas científicas e tecnológicas que podemos enumerar, algo que nos assegura que caminhamos a passos firmes em alguma direcao, muito provavelmente evolutiva ... Agora, seja qual for o fim que nos espera, bom ou mal, já podemos dizer que os frutos do pensamento se não são indubitavelmente bons, são sem duvida surpreendentes e notaveis ... Tudo aquilo que nos orgulha e com o que somos tentados a dizer que somos superiores aos nossos antepassados, tem uma mesma e unica origem : o pensamento ! Pensar parece ser a fonte básica de todas as grandes conquistas e superacoes humanas. Assim, o exercicio do pensamento deve ser, a priori, o nosso principal mister e aquilo no que devemos investir para que os nossos posteros facam cada vez melhor. As Olimpiadas Cientificas e, em particular, as Olimpiadas de Matematica se alinham inegavelmente nesta vertente ... Elas são, neste sentido, muito mais importantes para o progresso da humanidade que as Olimpiadas Fisicas que ocorrem de quatro em quatro anos e que fazem tanto sucesso nos diversos paises. O que voce espera do atual campeao olimpico do 100 metros ? E sensato esperar que ele vai fazer alguma coisa significativa que ira beneficiar, direta ou indiretamente, toda a humanidade ? Eu espero dele exatamente o que ele já mostrou que e capaz de fazer bem : correr ! O que voce espera dos jovens de todo o mundo o mundo que estao participando das Olimpiadas Cientificas ? E sensato esperar que ele vai fazer alguma coisa significativa que ira beneficiar, direta ou indiretamente, toda a humanidade ? Sim, e sensato. Se alem da habilidade intelectual que ele já demonstrou ter tiver tambem uma boa orientacao moral, não e pouco provavel que ele aplique a sua inteligencia criativa na solucao inusitada de algum grande problema. Em todos sentidos, as Olimpiadas de Matematica são louvaveis ! Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1754,200906 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problemas de Olimpiadas Date: Wed, 20 Sep 2006 20:10:53 + Ola Pessoal, ( escreverei sem usar acentos ) Mantendo a tradicao desta nossa lista, que, conforme diz a pagina da OBM no endereco http://www.obm.org.br/frameset-lista.htm foi concebida originalmente para a discussao de problemas olimpicos e nao para a solucao dos trivialissimos problemas de vestibulares e/ou de concursos, seguem abaixo 5 problemas das Olimpiadas Russas. Estes problemas sao direcionados sobretudo aos nossos estudantes olimpicos do fim do nivel fundamental ( antiga 7/8 series ). PROBLEMA 1) Dois jogadores escolhem, alternadamente, o sinal de um dos números 1, 2, 3, ... 20. Desde que o sinal de um número foi escolhido, ele não poderá ser modificado. Após todos os números terem recebido sinal, é efetuado a soma algébrica dos números e, a seguir, tomado o valor absoluto desta soma. O primeiro jogador procura minimizar o valor absoluto da soma, enquanto que o segundo jogador procura maximiza-lo. Como pode ser o resultado final, supondo-se que cada jogador joga com perfeição ? PROBLEMA 2) Os dígitos de um número natural são reordenados e o número resultante é acrescido ao número original. Prove que a resposta não pode ser um número formado apenas com o algarismo nove. Prove também que se a resposta for 10^10, então o número original é divisível por 10. PROBLEMA 3) Prove que existe um número divisível por 5^1000 que não tem dígito zero. PROBLEMA 4 ) Três vértices KLM de um losango KLMN são pontos respectivamente dos lados AB, BC e CD de um quadrado de lado unitário. Encontre a área do conjunto de todos os possíveis valores do vértice N. PROBLEMA 5 ) Um número natural K tem a propriedade de que se K divide N, então o número obtido N pela reversão de seus dígitos é também divisível por K. Prove que K é um divisor de 99 ( Reversão dos dígitos de N significa que o primeiro dígiton passa a ser o último, o segundo passa a ser o penúltimo e assim sucessivamente ) Mais problemas de Olimpiadas Russas em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um Abracao a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1701,200906 _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Insta-le agora o Windows Live Messenger http://get.live.com/messenger/overview
[obm-l] RE: [obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola)
Ola Eduardo, A sua resposta esta correta : parabens ! Eu so proponho problemas que ja foram resolvidos por algum matematico do passado e cuja solucao me pareceu interessante e podem ser resolvidos aqui sem conhecimentos mais profundos e com criatividade OU problemas que eu mesmo descobri e que ja resolvi. E claro que tambem ja publiquei conjecturas, mas muito poucas. No caso particular desde problema, eu estava lendo um dos livros da obra completa do Euler e me deparei com ele : e bonito, e simples e nao envolve matematica avancada. Por isso publiquei. Alias, e lendo as obras originais de um grande Matematico que voce aprende ao vivo quanta intuicao, erros e falsas suposicoes estes caras produzem antes de gerarem os belos resultados que conhecemos... Constatei a mesma coisa quando li a memoria original do Galois e alguma coisa do Lagrange. Muitas vezes algumas pessoas pedem solucoes. Se for pequena e facil de explicar eu ainda tento fazer, mas quando e longa, em geral nao dispomos de tanto tempo para parar e ficar escrevendo. Mas as sugestoes que dou sao honestas, mesmo que nao sejam muito claras. Aqui um problema que descobri, na mesma linha do do Euler mas um pouco mais dificil : PROBLEMA ) Sejam A e B dois pontos do plano cartesiano nao alinhados verticalmente. Considere todas as curvas que passam por A e B e que, neste intervalo, sejam convexas ( barriga pra baixo ) neste intervalo e tenham o mesmo comprimento L. IMAGINE que soltamos um corpo puntiforme de massa M do ponto ( A ou B ) de maior ordenada e que este corpoe desliza sem atrito ate o outro ponto, submetido unicamente ao campo gravitacional uniforme g. suposto constante e vertical em todos os pontos. Ao longo de que curva Y=f(X) o tempo para ir de um ponto ao outro sera maximo ? Eu batizei esta curva de MAXTOCRONA. Se nao cometi nenhum erro e um ARCO DE EVOLUTA DO CIRCULO. Como provar isso ? Considere, a principio, o caso em que a curva Y=f(X) sao dois segmento de reta e preste atencao no angulo que elas devem forma. Passe para tres segmento e assim sucessivamente. Isso vai fazer voce suspeitar da Evoluta. Suponha que e a evoluta e faca a prova ( Detalhe : na abordagem desta questao terminei descobrindo novas propriedades da cicloide ) O problema nao e dificil, mas a solucao e bastante trabalhosa Um Abracao pra voce ! Vamos recuperar o espirito olimpico desta nossa tao cara lista Paulo Santa Rita 4,2157,200906 From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola) Date: Wed, 20 Sep 2006 20:41:28 + (GMT) Paulo Santa Rita escreveu em Mon, 26 Jun 2006 07:09:17 -0700 Um fato notavel e talvez surpreendente sobre a parabola Y=X^2 pode ser descoberto resolvendo a seguinte questao: IMAGINE que a parabola Y=X^2 rola sem deslizar sobre o exiso dos X, tanto para a direita como para a esquerda. Qual o lugar geometrico descrito pelo foco da parabola ? Costumo dar uma espiada nos problemas da lista que ainda estão em aberto, mas quando encontro algum do Paulo, uma espiada só não é suficiente... O problema foi colocado, como é usual,como uma parábola que rola, mas, como ela não pode dar uma volta preferí pensar numa parábola basculante e a imaginação me remeteu ao gingado malemolente de uma bela mulata, no bom estilo de Arí Barroso. A dedução está no anéxo da mensagem (devido ao desenho), onde concluímos que a trajetória do foco é uma catenária. De fato, como lá escreví, aparece uma propriedade interessante: considerando-se a parábola de equação Y=(p/2).X^2, a normal num ponto de ordenada Y intersepta o eixo de simetria à uma distância p/2 + Y do foco. Seria esse mesmo o fato ao qual você se referiu Paulo? Na dedução utilizei uma propriedade muito conhecida e usada, tanto em Desenho, para traçar a tangente e/ou a normal, quanto na Física, em óptica geométrica (lentes)ou em espelhos (ou antenas) parabólicas, como exemplos: A normal é bissetriz do ângulo entre uma paralela ao eixo (que passa pelo ponto P da parábola) e a reta que une P ao foco. Como a parábola não desliza a abcissa do ponto de apoio ou de tangência ao eixo dos x, referido à posição inicial do vértice (quando o eixo dos y é o eixo de simetria), é o comprimento do arco, do vértice ao ponto P, s , obtido pela integração de sqrt[1+(dY/dX)^2].dXque nos fornece S = p/2[ln(sec t + tg t) + sec t. tg t , onde tg t = dY/dX = X/p. Obtemos as equações paramétricas; x = p/2.ln(sec t + tg t) e y = p/2.sec t, ou eliminando t, y = p/2.cosh(2x/p) Abraços - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/
Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica
que voce espera dos jovens de todo o mundo o mundo que estao participando das Olimpiadas Cientificas ? E sensato esperar que ele vai fazer alguma coisa significativa que ira beneficiar, direta ou indiretamente, toda a humanidade ? Sim, e sensato. Se alem da habilidade intelectual que ele já demonstrou ter tiver tambem uma boa orientacao moral, não e pouco provavel que ele aplique a sua inteligencia criativa na solucao inusitada de algum grande problema. Rapaz, concordo plenamente contigo. Eu estou muito feliz de ter encontrado essa lista de discussão de matemática, as vezes já me sentia sozinho e hoje infezlimente tenho pouco tempo disponível, devido à correria de estudar em 2 universidades ao mesmo tempo. E realmente os alunos que participam de matemática contribuem muito para humanidade, só ver as descobertas recentes, noticías pela TV e outras fontes. E claro não esquecer que hoje muitos que foram ex-alunos de OBM hoje são excelentes professores nas escolas em que dão aula, exemplo para mim: Luciano G. M. Castro, e outros . Abraços á todos. E viva a Matemática! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
