Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica
On Wed, Sep 20, 2006, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] said: Tudo aquilo que nos orgulha e com o que somos tentados a dizer que somos superiores aos nossos antepassados, tem uma mesma e unica origem : o pensamento ! Pensar parece ser a fonte básica de todas as grandes conquistas e superacoes humanas. Assim, o exercicio do pensamento deve ser, a priori, o nosso principal mister e aquilo no que devemos investir para que os nossos posteros facam cada vez melhor. O pensamento portanto, é de fato valorizado em todo mundo. As pessoas que aprimoram o pensamento são bem vistas, são respeitadas e admiradas pela grande maiorida das pessoas, pois muito podem fazer por todos (e por elas mesmas). Note-se que isso não é só uma questão moral. É também uma questão financeira. Os trabalhos que mais pagam são aqueles mais complexos, que exigem pensamento, lógica formal, capacidade de análise e interpretação, criatividade e profundidade de pensamento. E como se aprimora o pensamento? A rainha das ciências, que é a matemática, é aquela que potencialmente mais pode nos afiar a mente neste sentido. Com um trabalho diário, dedicação, amor e sobretudo paciência, pode-se impressionar. É como um jardineiro que todo dia cuida de seu jardim: Se ele for bem cuidado atrairá para si a atenção sem esforço algum. O pensamento e sua aprimoração, por vias do aumento da profundidade deste, é uma dádiva do ser humano que não deve ser jamais desprezada. E o que se ganha com isso? Se ganha respeito, satisfação de espírito e imortalização dos memes (idéias) criados que, da mesma forma que os genes, são IMORTAIS. As pessoas passam, mas os genes e os memes ficam. Isso vale mais que dinheiro, pois o dinheiro não traz consigo a imortalidade. Muitas pessoas dizem que é melhor ser respeitado simplesmente como pessoas, por um pequeno, do que ter puramente seu nome escrito na história. Mas é sempre possível conseguir AS DUAS COISAS. Beijamim Frankilin além de grande cientista foi também um grande político. Poincaré por exemplo é apenas um sobrenome. Mas Poincaré, mesmo tendo vivido pouco, fez sua vida valer a pena. Muita gente não diz que ninguém se interessa por quem foi Poincaré, os amigos que ele tinha ou como ele era e que além disso muitas pessoas o maldizem por ter criado a topologia. Mas essas pessoas estão sem a devida noção da importância que ele teve para matemática e para evolução da humanidade. Não sabem bem o que estão dizendo. ESSES ARGUMENTOS SÃO INÚTEIS: Se analisados a fundo NÃO CONVENCEM NINGUÉM. Quem sabe da importância da matemática, além de se interessar pelo trabalho deste matemático (Poincaré), irá também em parte se interessar por sua história, simplesmente para saber como ele conseguiu evoluir tanto. Que estratégias ele usou e porque as utilizou. Não posso falar pelos outros, mas marticularmente, gostaria de conhecer cada pessoa que participa dessa lista pessoalmente e saber um pouco de sua história. A história das pessoas É relevante. Esse talento impar de pensar e as estratégias que as pessoas usam para aprimorá-lo não podem ser jamais desprezadas: desprezar essas coisas é desprezar a si mesmo como ser humano. É deixar dormente o talento que pode ser despertado para se tornar melhor. Será que vale a pena aplicar a lei do menor esforço deixando esse talento dormir, sendo que com o passar do tempo tudo converge para o caos? Definitivamente não! Precisamos EVITAR caos e para que isto aconteça é preciso gastar energia da forma mais produtiva que nos é permitida: O pesamento. É isso aí pessoal. Vamos nos empenhar e mostrar que somos capazes de resolver os desafios propostos. Vale a pena! Grande abraço a todos! Ronaldo Em todos sentidos, as Olimpiadas de Matematica são louvaveis ! Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1754,200906 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problemas de Olimpiadas Date: Wed, 20 Sep 2006 20:10:53 + Ola Pessoal, ( escreverei sem usar acentos ) Mantendo a tradicao desta nossa lista, que, conforme diz a pagina da OBM no endereco http://www.obm.org.br/frameset-lista.htm foi concebida originalmente para a discussao de problemas olimpicos e nao para a solucao dos trivialissimos problemas de vestibulares e/ou de concursos, seguem abaixo 5 problemas das Olimpiadas Russas. Estes problemas sao direcionados sobretudo aos nossos estudantes olimpicos do fim do nivel fundamental ( antiga 7/8 series ). PROBLEMA 1) Dois jogadores escolhem, alternadamente, o sinal de um dos números 1, 2, 3, ... 20. Desde que o sinal de um número foi escolhido, ele não poderá ser modificado. Após todos os números terem recebido sinal, é efetuado a soma algébrica dos números e, a seguir, tomado o valor absoluto desta soma. O primeiro jogador procura minimizar o valor absoluto da soma,
[obm-l] mais um do trtpe
olá pessoal da lista - realizei a resolução da questão que se segue, pelo emprego da probabilidade. Gostaria de saber como fazer a resolução da mesma por (equação diofantina). desde já agradeço!!! Das moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se as quantidades de moedas de cada valor são iguais, de quantos modos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usando-se exatamente 12 dessas moedas? ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica
Oi Gandhi ! O seu texto ( e o do colega Saulo tambem ) e maravilhoso. Ele e uma descricao perfeita das minhas conviccoes e apenas confirma a bela alma que sem duvida voce tem. Nao vou me alongar muito senao o nosso carissimo Prof Nicolau vai puxar a nossa orelha pelo fato de nao estarmos abordando problemas matematicos, mas te digo que ficaria muito feliz de conhecer pessoas com o seu estilo. Voce disse que estava na Alemanha, certo ? Se estiver em Gottingen, de um abraco no Marcelo Protazio. Ele esta terminando o Doutorado la em Matematica Aplicada ( Bio-Matematica ). Um Abracao pra voce Paulo santa Rita 5,1006,210906 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica Date: Thu, 21 Sep 2006 12:25:26 - On Wed, Sep 20, 2006, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] said: Tudo aquilo que nos orgulha e com o que somos tentados a dizer que somos superiores aos nossos antepassados, tem uma mesma e unica origem : o pensamento ! Pensar parece ser a fonte básica de todas as grandes conquistas e superacoes humanas. Assim, o exercicio do pensamento deve ser, a priori, o nosso principal mister e aquilo no que devemos investir para que os nossos posteros facam cada vez melhor. O pensamento portanto, é de fato valorizado em todo mundo. As pessoas que aprimoram o pensamento são bem vistas, são respeitadas e admiradas pela grande maiorida das pessoas, pois muito podem fazer por todos (e por elas mesmas). Note-se que isso não é só uma questão moral. É também uma questão financeira. Os trabalhos que mais pagam são aqueles mais complexos, que exigem pensamento, lógica formal, capacidade de análise e interpretação, criatividade e profundidade de pensamento. E como se aprimora o pensamento? A rainha das ciências, que é a matemática, é aquela que potencialmente mais pode nos afiar a mente neste sentido. Com um trabalho diário, dedicação, amor e sobretudo paciência, pode-se impressionar. É como um jardineiro que todo dia cuida de seu jardim: Se ele for bem cuidado atrairá para si a atenção sem esforço algum. O pensamento e sua aprimoração, por vias do aumento da profundidade deste, é uma dádiva do ser humano que não deve ser jamais desprezada. E o que se ganha com isso? Se ganha respeito, satisfação de espírito e imortalização dos memes (idéias) criados que, da mesma forma que os genes, são IMORTAIS. As pessoas passam, mas os genes e os memes ficam. Isso vale mais que dinheiro, pois o dinheiro não traz consigo a imortalidade. Muitas pessoas dizem que é melhor ser respeitado simplesmente como pessoas, por um pequeno, do que ter puramente seu nome escrito na história. Mas é sempre possível conseguir AS DUAS COISAS. Beijamim Frankilin além de grande cientista foi também um grande político. Poincaré por exemplo é apenas um sobrenome. Mas Poincaré, mesmo tendo vivido pouco, fez sua vida valer a pena. Muita gente não diz que ninguém se interessa por quem foi Poincaré, os amigos que ele tinha ou como ele era e que além disso muitas pessoas o maldizem por ter criado a topologia. Mas essas pessoas estão sem a devida noção da importância que ele teve para matemática e para evolução da humanidade. Não sabem bem o que estão dizendo. ESSES ARGUMENTOS SÃO INÚTEIS: Se analisados a fundo NÃO CONVENCEM NINGUÉM. Quem sabe da importância da matemática, além de se interessar pelo trabalho deste matemático (Poincaré), irá também em parte se interessar por sua história, simplesmente para saber como ele conseguiu evoluir tanto. Que estratégias ele usou e porque as utilizou. Não posso falar pelos outros, mas marticularmente, gostaria de conhecer cada pessoa que participa dessa lista pessoalmente e saber um pouco de sua história. A história das pessoas É relevante. Esse talento impar de pensar e as estratégias que as pessoas usam para aprimorá-lo não podem ser jamais desprezadas: desprezar essas coisas é desprezar a si mesmo como ser humano. É deixar dormente o talento que pode ser despertado para se tornar melhor. Será que vale a pena aplicar a lei do menor esforço deixando esse talento dormir, sendo que com o passar do tempo tudo converge para o caos? Definitivamente não! Precisamos EVITAR caos e para que isto aconteça é preciso gastar energia da forma mais produtiva que nos é permitida: O pesamento. É isso aí pessoal. Vamos nos empenhar e mostrar que somos capazes de resolver os desafios propostos. Vale a pena! Grande abraço a todos! Ronaldo Em todos sentidos, as Olimpiadas de Matematica são louvaveis ! Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1754,200906 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problemas de Olimpiadas Date: Wed, 20 Sep 2006 20:10:53 + Ola Pessoal, ( escreverei sem usar acentos ) Mantendo a tradicao desta nossa lista, que, conforme diz a pagina da OBM
Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica
On Thu, Sep 21, 2006, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] said: Oi Gandhi ! O seu texto ( e o do colega Saulo tambem ) e maravilhoso. Ele e uma descricao perfeita das minhas conviccoes e apenas confirma a bela alma que sem duvida voce tem. Nao vou me alongar muito senao o nosso carissimo Prof Nicolau vai puxar a nossa orelha pelo fato de nao estarmos abordando problemas matematicos, mas te digo que ficaria muito feliz de conhecer pessoas com o seu estilo. Voce disse que estava na Alemanha, certo ? Se estiver em Gottingen, de um abraco no Marcelo Protazio. Ele esta terminando o Doutorado la em Matematica Aplicada ( Bio-Matematica ). Oi Paulo, muito obrigado. Estava na Coréia do Sul fazendo um treinamento na LG Electronics. Sou formado em engenharia de computação e atualmente estou exercendo minha profissão pois preciso de ganhar algum dinheiro. Posso dizer 'a todos dessa lista que *NUNCA* me arrependi de ter estudado matemática e o que me arrependo é de não saber mais. Atualmente faço doutorado em biofísica e tento preencher a matemática que me falta. Participo pouco da lista por falta de tempo, mas não fujo a um bom desafio. Meu interesse real por ela começou quando conheci Herbert Cesar Gonçalves, um conterrâneo Monte-Altense genial que trouxe medalha para o Brasil em 1987. O Ralph Teixeira com certeza o conhece pois está junto com ele entre os premiados. Vale a pena mencioná-lo nesta lista: http://www.obm.org.br/premiosobm1986.htm http://www.obm.org.br/ibero2.htm (1987) Eu tive o imenso prazer de conhecê-lo pessoalmente. E parte de minha dedicação 'a ciência se deve a ele e ao pai dele (o brilhante professor Wilson Júlio Gonçalves). Para finalizar, devo dizer para toda pessoa, sem NENHUMA exceção, que é preciso ACREDITAR que se pode fazer muito. Esse é o primeiro passo. O segundo é a persistência. Acreditar não é racional, mas ajuda bastante. É preciso correr atrás do sonho, lutar para mantê-lo vivo. É preciso também fazer isso com humildade, nunca desprezar os pequenos problemas como forma de ganhar insight nos grandes: As crianças crescem porque são pequenas.Eu acredito muito nisso! Um abração p/ vc também. Ronaldo Luiz Alonso. Um Abracao pra voce Paulo santa Rita 5,1006,210906 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica Date: Thu, 21 Sep 2006 12:25:26 - On Wed, Sep 20, 2006, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] said: Tudo aquilo que nos orgulha e com o que somos tentados a dizer que somos superiores aos nossos antepassados, tem uma mesma e unica origem : o pensamento ! Pensar parece ser a fonte básica de todas as grandes conquistas e superacoes humanas. Assim, o exercicio do pensamento deve ser, a priori, o nosso principal mister e aquilo no que devemos investir para que os nossos posteros facam cada vez melhor. O pensamento portanto, é de fato valorizado em todo mundo. As pessoas que aprimoram o pensamento são bem vistas, são respeitadas e admiradas pela grande maiorida das pessoas, pois muito podem fazer por todos (e por elas mesmas). Note-se que isso não é só uma questão moral. É também uma questão financeira. Os trabalhos que mais pagam são aqueles mais complexos, que exigem pensamento, lógica formal, capacidade de análise e interpretação, criatividade e profundidade de pensamento. E como se aprimora o pensamento? A rainha das ciências, que é a matemática, é aquela que potencialmente mais pode nos afiar a mente neste sentido. Com um trabalho diário, dedicação, amor e sobretudo paciência, pode-se impressionar. É como um jardineiro que todo dia cuida de seu jardim: Se ele for bem cuidado atrairá para si a atenção sem esforço algum. O pensamento e sua aprimoração, por vias do aumento da profundidade deste, é uma dádiva do ser humano que não deve ser jamais desprezada. E o que se ganha com isso? Se ganha respeito, satisfação de espírito e imortalização dos memes (idéias) criados que, da mesma forma que os genes, são IMORTAIS. As pessoas passam, mas os genes e os memes ficam. Isso vale mais que dinheiro, pois o dinheiro não traz consigo a imortalidade. Muitas pessoas dizem que é melhor ser respeitado simplesmente como pessoas, por um pequeno, do que ter puramente seu nome escrito na história. Mas é sempre possível conseguir AS DUAS COISAS. Beijamim Frankilin além de grande cientista foi também um grande político. Poincaré por exemplo é apenas um sobrenome. Mas Poincaré, mesmo tendo vivido pouco, fez sua vida valer a pena. Muita gente não diz que ninguém se interessa por quem foi Poincaré, os amigos que ele tinha ou como ele era e que além disso muitas pessoas o maldizem por ter criado a topologia. Mas essas pessoas estão sem a devida noção da importância que ele teve para matemática e para evolução da
Re: [obm-l] Conjunto com interior vazi9o
Artur,
Estudei analise já algum e não me recordo bem. Mas penso que não é possível enumerar os irracionais.
Arismar.
Em 19/09/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Este problema tem uma solucao simples, mas eu gostaria de saberse alguem tem uma prova diferente da que encontrei.
Seja (r_n, n=1,2,3...) uma enumeracao qualquer dos irracionais e seja I_n o intervalo dado por I_n = (r_n - 1/n^2 , r_n + 1/n^2). Sendo D = { x em R | x pertence a uma infinidade de intervalos I_n}, entao D tem interior vazio.
Eu encontrei esta solucao simples porque eu conhecia uma conclusao correlata.
Artur
RES: [obm-l] Conjunto com interior vazi9o
Foi um
erro de digitacao. Era enumerar os racionais. De fato, os irracionais nao sao
enumeraveis.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Arismar
SousaEnviada em: quinta-feira, 21 de setembro de 2006
14:06Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l]
Conjunto com interior vazi9o
Artur,
Estudei analise já algum e não me recordo bem. Mas penso que não é
possível enumerar os irracionais.
Arismar.
Em 19/09/06, Artur
Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Este problema tem uma solucao simples, mas eu gostaria de
saberse alguem tem uma prova diferente da que encontrei.
Seja (r_n, n=1,2,3...) uma enumeracao qualquer dos
irracionais e seja I_n o intervalo dado por I_n = (r_n - 1/n^2 , r_n +
1/n^2). Sendo D = { x em R | x pertence a uma infinidade de intervalos I_n},
entao D tem interior vazio.
Eu encontrei esta solucao simples porque eu conhecia uma
conclusao correlata.
Artur
Re: [obm-l] Olimpiadas de Matematica
Olá Paulo, desculpe mas não posso concordar com diversas partes do que vc fala abaixo.Não consigo entender, a menos que pense que seja arrogância. Qual a finalidade de comparar as olimpiadas de matemática com as Olimpiadas (a proposito correr 100m em 10s, é algo bastante espetacular). O que ganhamos comparando as olimpiadas matemáticas com a olimpiada da Fisica? Ao contrário deveriamos incentivá-las. Além disso, não concordo de maneira alguma com esta visão misantropa da teoria evolutiva (nem sempre os mais evoluidos são os melhores). Principalmente esta teoria evolutiva histórica. Sinceramente não iria te responder, mas como tantos te responderam... me senti compelido. Vamos tentar nos ater em nosso simples e maravilhosos problemas de matemática. O que tenho somente palavras para elogiá-lo. Adorei o problema a respeito do foco da parábola. São realmente problemas desta categoria ou mais avançados que devem ser apresentado nesta lista. A proposito o que significa este número 4,1754,200906 que acompanha a sua assinatura?abraçosJones Colombo On 9/20/06, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Pessoal,Escrevi algo sobre as Olimpiadas de Matematica e estou passando pra vocesQue nós, seres humanos, já experimentamos progressos significativos enotáveis é evidente em face sobretudo das conquistas científicas e tecnológicas que podemos enumerar, algo que nos assegura que caminhamos apassos firmes em alguma direcao,muito provavelmente evolutiva ... Agora,seja qual for o fim que nos espera, bom ou mal, já podemos dizer que os frutos do pensamento se não são indubitavelmente bons, são sem duvidasurpreendentes e notaveis ...Tudo aquilo que nos orgulha e com o que somos tentados a dizer que somossuperiores aos nossos antepassados,tem uma mesma e unica origem : o pensamento ! Pensar parece ser a fonte básica de todas as grandes conquistase superacoes humanas. Assim, o exercicio do pensamento deve ser, a priori, onosso principal mister e aquilo no que devemos investir para que os nossos posteros facam cada vez melhor.As Olimpiadas Cientificas e, em particular, as Olimpiadas de Matematica sealinham inegavelmente nesta vertente ...Elas são, neste sentido,muitomais importantes para o progresso da humanidade que as Olimpiadas Fisicas que ocorrem de quatro em quatro anos e que fazem tanto sucesso nos diversospaises.O que voce espera do atual campeao olimpico do 100 metros ?E sensatoesperar que ele vai fazer alguma coisa significativa que ira beneficiar, direta ou indiretamente, toda a humanidade ? Eu espero dele exatamente o queele já mostrou que e capaz de fazer bem : correr ! O que voce espera dosjovens de todo o mundo o mundo que estao participando das Olimpiadas Cientificas ? E sensato esperar que ele vai fazer alguma coisa significativaque ira beneficiar, direta ou indiretamente, toda a humanidade ? Sim, esensato. Se alem da habilidade intelectual que ele já demonstrou ter tiver tambem uma boa orientacao moral, não e pouco provavel que ele aplique a suainteligencia criativa na solucao inusitada de algum grande problema.Em todos sentidos, as Olimpiadas de Matematica são louvaveis ! Um Abraco a todosPaulo Santa Rita4,1754,200906
[obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta
Boa noite
Estou estudando um pouco de teoria de medidas, ainda estou bem no começo. Vi
uma afirmaçao e não consegui provar, nem encontrei a prova (talvez esteja fora
de meu alcance): Se A é um conjunto de R^n com medida de Lebesgue positiva,
entao A - A = {x - y | x e y estao em A} contem uma bola aberta de centro na
origem.
Alguem conhece esta demonstração? Exige conhcimentos muito avançados? Eu sei
que ela e usada para demonstrar que existem conjuntos não mensuraveis em R^n.
Esta demonstracao tambem eh muito complicada?
Também ouvi dizer que conjuntos nâo mensuráveis so podem ser obtidos com o
axioma da escolha. Isso é verdade? Se for, isto significa que conjuntos não
mensuráveis existem em tese, virtualmente, mas não tem exstência, assim, real,
concreta? (real aqui no sentido que a palavra tem no uso diário, não no sentido
de número real).
Obrigada.
Sandra
___
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Me ajudem... por favor!!!!
Gostaria de pedir aos colegas que me ajudem a resolver os problemas abaixo, tratam-se das questões da Olimpíada de Matemática do Grande ABC de 2005 (nivel 1 e 2). Como não foi diponibilizado os gabaritos, não sei se a resposta encontrada está correta. 1) Um trem recebeu certo número de passageiros na 1a estação. Na 2a estação, entraram 100 passageiros e ninguém desceu. Na 3a estação, desceram 400 passageiros e subiram 200 passageiros. Na 4a estação, desceram 2/3 dos passageiros que estavam no trem. Se na 5a estação todos os 300 passageiros desembarcaram, então com quantos passageiros o trem partiu da 1a estação?2) João, Maria e José são os 3 filhos de Paulo, que adora formular probleminhas de matemática. Um dia, Paulo encontrou Daniel, um velho amigo bom em matemática, que não via desde que era solteiro. Papo vai, papo vem, e Daniel perguntou sobre os filhos de Paulo. Paulo respondeu: - Antes de falar sobre eles, e para não perder o costume, vamos ver se você consegue descobrir suas idades. Lá vão as dicas: a) Tenho 3 filhos. b) Os dois mais novos são gêmeos. c) O mínimo múltiplo comum de suas idades é 84. d) Quando meu primeiro filho nasceu eu já tinha mais de 17 anos. e) Lembre-se de que eu só tenho 30 anos! Daniel respondeu corretamente as idades dos filhos baseando-se unicamente nas dicas dadas. Qual foi a resposta de Daniel? Justifique.3) Se o mínimo múltiplo comum entre os números 12, 7 e x é 84, então determine os possíveis valores do número natural x.4) Alexandre e Rodrigo estavam brincando com palitos de sorvete. De repente Alexandre resolveu fazer uma brincadeira matemática com Rodrigo. Ele disse a Rodrigo: - Pegue 7 palitos de sorvete distribua esses palitos nessas duas caixas amarela e vermelha. Multiplique por 2 o número de palitos que você colocou na caixa amarela e multiplique por 3 o número de palitos que você colocou na caixa vermelha. Some os resultados das duas multiplicações anteriores. Alexandre perguntou então a Rodrigo: - Qual o resultado obtido na soma? Rodrigo respondeu: - O resultado foi 19. Através dessa informação, Alexandre adivinhou quantos palitos Rodrigo colocou em cada caixa. a) Qual foi a quantidade de palitos que Rodrigo colocou em cada caixa? b) Mostre algebricamente como Alexandre chegou no resultado.5)João calculou a soma de alguns números naturais de três dígitos, obtendo 914 como resultado. Ao conferir as contas, percebeu que havia invertido o algarismo das unidades com o algarismo das dezenas em uma das parcelas. Refez, então, a soma e obteve como valor correto 968. Quais são os dois últimos dígitos possíveis da parcela que João digitou errado?Abraço Silvio O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
