Re: [obm-l] permutacap caotica..
Vinicius, veja o livro Analise Combinatoria e Probabilidade dos autores Augusto Cesar Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto de Carvalho, Pedro Fernandez. SBM. JúniorEm 11/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR não possuem nenhuma letra em sua posição original? Alguem poderia aproveitar e me explicar como funciona essa tal de permutacao caotica?de onde veio, como deduzo a formula e talz... vlw! vinicius Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Problema da média aritimética
Acho que a solução é bem mais simples, Peter. Se a média aritimética vale 16,1... (2+n)/2 = 16,1 e (1 + (n-1) )/2 = 16,1 Daí se tira que n = 31 ou 32. Mas (1+2+3+...+k-1)+(k+1+...+n)=16,1*(n-1). Logo, 16,1*(n-1) é inteiro. 16,1*(32-1) = 499,1 16,1*(31-1) = 483. n = 31 Agora... (1+2+3+...+k-1)+(k+1+...+n)=16,1(n-1) (1+31).31/2 - k = 483 496 - k = 483 .:. k = 13 Resposta: n = 31 k = 13 Pedro Lazéra Cardoso _ Baixe agora o Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] permutacap caotica..
Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:Vinicius, veja o livro Analise Combinatoria e Probabilidade dos autores Augusto Cesar Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto de Carvalho, Pedro Fernandez. SBM. vlw cara, mas queria ver isso antes da prova do IME, e acho q nao terei tempo habil pra arranjar o livro antes da prova..se alguem souber de algum site a respeito (naum achei, achei soh uns em ingles com umas coisas mt + aprofundadas do q preciso) ficarei gratovlw! O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
RE: [obm-l] permutacap caotica..
Ola Vinicius e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
(escreverei sem acentos)
Vou aproveitar este feriado para responder esta solicitacao com
tranquilidade.
1) DEFINICAO
Uma permutacao de elementos e dita caotica se nenhum de seus elementos ocupa
a posicao
original, vale dizer, fixamos previamente uma particular permutacao que
imnplicitamente
especifica as posicoes originais originais dos elementos e procuramos
determinar de quantas
maneiras podemos permutar estes mesmos elementos de maneira que nenhum deles
permaneca em
sua posicao original. Exemplificando :
EXEMPLO 1
Vamos considerar a permutacao ABCD, tomada como o referencial ( inercial ?
). A permutacao ACDB nao e
caotica pois o elemento A mantem a posicao original. Ja a permutacao DABC
e caotica, pois
nenhum elemento mantem a posicao original.
2) ASPECTOS HISTORICOS
As PERMUTACOES CAOTICAS surgiram num problema proposto ao Euler numa carta
que o Nicolau
Bernoulli lhe remeteu. Em linhas gerais o problema era assim ...
( Nicolau propoe a Euler ) De quantas maneiras N cartas, duas a duas
distintas, podem ser
colocadas em N envelopes com destinatarios previamente preenchidos de
maneira que nenhuma
destinatario receba a carta que corretamente deveria lhe ter sido remetida
?
O Euler gastou algum tempo para resolver o problema, mas a solucao que ele
encontrou e
longa, grosseira e sem inteligencia. Mas ... a solucao do Nicolau ...
Belissima ! Faz jus
tanto a tradicao da familia Bernoulli quanto a tradicao dos Nicolau's que
conhecemos ...
Eis o TRUQUE DO NICOLAU :
3) EQUACAO FUNCIONAL
Para facilitar a esposicao, FIXE no lado esquerdo a permutacao ABCDEFG. Seja
C(7) o numero
total de permutacoes caoticas. Agora, com o lado direito IMAGINE dois casos
:
(1) Todas as permutacoes caoticas nas quais a letra A esta na posicao da
letra B e a
letra B esta na posicao da letra A. Quantas permutacoes caoticas sao
possiveis ?
Claramente : C(5), pois apenas iremos permutar caoticamente as 5 outras
letras restante
(2) Todas as permutacoes caoticas nas quais a letra A esta na posicao da
letra B e a
letra B NAO ESTA na posicao da letra A. Quantas permutacoes sao
possiveis ? Aqui comeca
o TRUQUE DO NICOLAU ... a letra B tera 5 posicoes para ocupar e as demais
letras tambem,
vale dizer, tudo sucede como se estivessemos permutando caoticamente 6
elementos. Logo, a
resposta e C(6).
Ora, os casos (1) e (2) encerram TODAS as permutacoes caoticas nas quais a
letra A esta na
posicao da letra B, isto e, o total de permutacoes em que a letra A esta
na posicao da
letra B e C(5) + C(6). Agora, colocando a letra A sucessivamente nas
posicoes das letra
C, ...,G e repetindo para cada caso os raciocinios (1) e (2) acima e
facil ver que :
C(7) = 6*( C(5) + C(6) )
Esta tecnica, obviamente, pode ser extendida para o caso de N elementos.
Assim :
C(N) = (N-1) * [ C(N-2) + C(N-1) ]
Que e a equacao funcional para as permutacoes caoticas.
4) FORMULA EXPLICITA
Em geral, o estudante iniciante busca uma formula explicita, fechada, com a
qual fica facil
fazer computacoes diretas. E facil obter uma tal expressao. Eis como :
C(N) = (N-1) * [ C(N-2) + C(N-1) ]
C(N) - N*C(N-1) = -[c(N-1) - (n-1)*C(N-2) ]
substituindo N sucessivamente por 3, 4, ... ate N, teremos :
C(3) - 3*C(2) = -[ C(2) - 2*C(1) ]
C(4) - 4*C(3) = -[ C(3) - 3*C(2) ]
...
C(N) - N*C(N-1) = -[c(N-1) - (n-1)*C(N-2) ]
Multiplicando membro a membro estas N-2 igualdades e eliminado os fatores
iguasi que estao nos dois lados do sinal de igualdade :
C(N) - N*C(N-1) = [(-1)^(N-2)]*[C(2) - 2*C(1) ]
Como obviamente C(1)=0, C(2)=1 e (-1)^(N-2) = (-1)^N :
C(N) - N*C(N-1) = (-1)^N
Dividindo tudo por N! teremos :
C(N)/N! + C(N-1)/(N-1)! = [(-1)^N]/N!
Substituindo N por 2, 3, ... ate N e somando as N-1 equacoes, vem :
C(N) = (N!)*{ 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + [(-1)^N]/N! }
Que e a formula explicita para permutacoes caoticas
5) ALEM DE EULER E NICOLAU
Alguem ja disse que Os matematicos nao nascem, eles surgem. Sem entrar no
merito ou interpretacao do aforismo, me parece que ele encerra uma grande
dose de verdade ... quantos de nos nao tem alguma historia singela de
(RE)descobertas e pesquisas cientificas quando ainda era uma crianca ?
Olhando para a historia, para a vida de alguns colegas matematicos e para
mim mesmo, parece-me que tal fenomeno e mais a regra que a excecao ...
Neste problema de Matematica Elementar e possivel exercitar esta ALMA ou
ESPIRITO que se admira e se maravilha diante do desconhecido e sem receios
ou frescuras se lanca em especulacoes e pesquisas solitarias. O confronto
com o desconhecido, com o misterio, e uma das mais empolgantes facetas da
investigacao ...
PROBLEMA : Sejam dadas DUAS permutacoes caoticas, digamos, ABCDEFG e
BCDEFGA. Quantas permutacoes SIMULTANEAMENTE caoticas em relacao as duas
podemos construir ?
Euler e Nicolau, pelo que sei, nao resolveram esta questao e
RE: [obm-l] permutacap caotica..
Paulo,
Parabens pelo email. Achei sensacional sua colocacao !
Leandro
Los Angeles, CA.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] permutacap caotica..
Date: Thu, 12 Oct 2006 18:17:44 +
Ola Vinicius e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
(escreverei sem acentos)
Vou aproveitar este feriado para responder esta solicitacao com
tranquilidade.
1) DEFINICAO
Uma permutacao de elementos e dita caotica se nenhum de seus elementos
ocupa a posicao
original, vale dizer, fixamos previamente uma particular permutacao que
imnplicitamente
especifica as posicoes originais originais dos elementos e procuramos
determinar de quantas
maneiras podemos permutar estes mesmos elementos de maneira que nenhum
deles permaneca em
sua posicao original. Exemplificando :
EXEMPLO 1
Vamos considerar a permutacao ABCD, tomada como o referencial ( inercial ?
). A permutacao ACDB nao e
caotica pois o elemento A mantem a posicao original. Ja a permutacao DABC
e caotica, pois
nenhum elemento mantem a posicao original.
2) ASPECTOS HISTORICOS
As PERMUTACOES CAOTICAS surgiram num problema proposto ao Euler numa carta
que o Nicolau
Bernoulli lhe remeteu. Em linhas gerais o problema era assim ...
( Nicolau propoe a Euler ) De quantas maneiras N cartas, duas a duas
distintas, podem ser
colocadas em N envelopes com destinatarios previamente preenchidos de
maneira que nenhuma
destinatario receba a carta que corretamente deveria lhe ter sido remetida
?
O Euler gastou algum tempo para resolver o problema, mas a solucao que ele
encontrou e
longa, grosseira e sem inteligencia. Mas ... a solucao do Nicolau ...
Belissima ! Faz jus
tanto a tradicao da familia Bernoulli quanto a tradicao dos Nicolau's que
conhecemos ...
Eis o TRUQUE DO NICOLAU :
3) EQUACAO FUNCIONAL
Para facilitar a esposicao, FIXE no lado esquerdo a permutacao ABCDEFG.
Seja C(7) o numero
total de permutacoes caoticas. Agora, com o lado direito IMAGINE dois casos
:
(1) Todas as permutacoes caoticas nas quais a letra A esta na posicao da
letra B e a
letra B esta na posicao da letra A. Quantas permutacoes caoticas sao
possiveis ?
Claramente : C(5), pois apenas iremos permutar caoticamente as 5 outras
letras restante
(2) Todas as permutacoes caoticas nas quais a letra A esta na posicao da
letra B e a
letra B NAO ESTA na posicao da letra A. Quantas permutacoes sao
possiveis ? Aqui comeca
o TRUQUE DO NICOLAU ... a letra B tera 5 posicoes para ocupar e as demais
letras tambem,
vale dizer, tudo sucede como se estivessemos permutando caoticamente 6
elementos. Logo, a
resposta e C(6).
Ora, os casos (1) e (2) encerram TODAS as permutacoes caoticas nas quais a
letra A esta na
posicao da letra B, isto e, o total de permutacoes em que a letra A
esta na posicao da
letra B e C(5) + C(6). Agora, colocando a letra A sucessivamente nas
posicoes das letra
C, ...,G e repetindo para cada caso os raciocinios (1) e (2) acima e
facil ver que :
C(7) = 6*( C(5) + C(6) )
Esta tecnica, obviamente, pode ser extendida para o caso de N elementos.
Assim :
C(N) = (N-1) * [ C(N-2) + C(N-1) ]
Que e a equacao funcional para as permutacoes caoticas.
4) FORMULA EXPLICITA
Em geral, o estudante iniciante busca uma formula explicita, fechada, com a
qual fica facil
fazer computacoes diretas. E facil obter uma tal expressao. Eis como :
C(N) = (N-1) * [ C(N-2) + C(N-1) ]
C(N) - N*C(N-1) = -[c(N-1) - (n-1)*C(N-2) ]
substituindo N sucessivamente por 3, 4, ... ate N, teremos :
C(3) - 3*C(2) = -[ C(2) - 2*C(1) ]
C(4) - 4*C(3) = -[ C(3) - 3*C(2) ]
...
C(N) - N*C(N-1) = -[c(N-1) - (n-1)*C(N-2) ]
Multiplicando membro a membro estas N-2 igualdades e eliminado os fatores
iguasi que estao nos dois lados do sinal de igualdade :
C(N) - N*C(N-1) = [(-1)^(N-2)]*[C(2) - 2*C(1) ]
Como obviamente C(1)=0, C(2)=1 e (-1)^(N-2) = (-1)^N :
C(N) - N*C(N-1) = (-1)^N
Dividindo tudo por N! teremos :
C(N)/N! + C(N-1)/(N-1)! = [(-1)^N]/N!
Substituindo N por 2, 3, ... ate N e somando as N-1 equacoes, vem :
C(N) = (N!)*{ 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + [(-1)^N]/N! }
Que e a formula explicita para permutacoes caoticas
5) ALEM DE EULER E NICOLAU
Alguem ja disse que Os matematicos nao nascem, eles surgem. Sem entrar no
merito ou interpretacao do aforismo, me parece que ele encerra uma grande
dose de verdade ... quantos de nos nao tem alguma historia singela de
(RE)descobertas e pesquisas cientificas quando ainda era uma crianca ?
Olhando para a historia, para a vida de alguns colegas matematicos e para
mim mesmo, parece-me que tal fenomeno e mais a regra que a excecao ...
Neste problema de Matematica Elementar e possivel exercitar esta ALMA ou
ESPIRITO que se admira e se maravilha diante do desconhecido e sem receios
ou frescuras se lanca em especulacoes e pesquisas solitarias. O confronto
com o desconhecido, com o misterio, e uma das mais
RE: [obm-l] permutacap caotica..
Ola Leandro e demais colegas desta lista ... OBM-L, Obrigado. O pressuposto basico e fundamental da experiencia religiosa sincera e a crenca na existencia de um Deus independente que podemos alcancar e com o qual podemos manter uma relacao. E a existencia implicita e verdadeira do maravilhoso que so se nos revela diante de uma busca verdadeira e dedicada. Ora, estes ingredientes estao presentes na investigacao cientifica ... Basta olhar a historia de qualquer ciencia consolidada e, em particular, a historia da Matematica. Nao e surpreendente, notavel, mesmo espetacular que nos longinquos tempos gregos Apolonio tenha se dedicado ao estudo desinteressado das conicas e que quase dois milenios depois Kepler descobre que a abstrata e em tese inutil elipse e justamente a curva descrita por um planeta qualquer quando atraido pelo sol, o sol ocupando precisamente um dos focos ? Suponha que Apolonio nao tivesse feito o seus trabalho em Matematica Pura. Conseguiria Kepler descrever ou ao menos perceber tamanha regularidade no mundo concreto ? Assim, sem exageros, podemos dizer que a Matematica Pura do Apolonio descerrou um dos segredos de Deus ... E aqui estou citando um exemplo antigo. Todos sabemos que este acontecimento nao foi eventual. A evolucao da Fisica tornou indiscutivel o fato de que a Matematica e A UNICA LINGUAGEM absolutamente necessaria para compreendermos a Natureza. Ora, a compreensao dos fenomenos e a base para que posteriormente tecnicos e engenheiros venham aplicar tais conhecimentos na producao de objetos e processos que em tese beneficiam o ser humano. Por este angulo, o nosso trabalho, puro,desinteressado, movido pela admiracao e empolgacao que a antevisao das belezas proporcionam, e o mister mais importante da civilizacao... Isso nao e exagero : apenas a constatacao de um fato ! Talvez seja devido a esta peculiaridade da Matematica a crenca ou intuicao de que um Matematico nao nasce, ele surge. Alias, esta suspeita de que e necessaria uma disposicao especial do intelecto para determinados afazeres ( Ortega ) e antiga. Aristoteles ja dizia que somente as pessoas dotadas de alma noetica eram capazes de fazer ciencia teorica e filosofia. Para finalizar, vou traduzir ( do alemao ) um excerto de um livro que li algum tempo atras e que esta aqui na minha jogado entre os papeis da minha mesa de estudo : ... num feriado prolongado de fim-de-semana a familia viajou com seus filhos e sobrinhos e ficaram hospedados em uma casa proxima a um balneario bastante conhecido. Todos se divertiam muito mas ELE, nesta epoca com cerca de 14 anos, ficou caladao, pensativo, e nao participou como de habito das brincadeiras das outras criancas. Na volta do passeio ele ja havia sido mordido definitivamente pela mosca dos numeros e se tornara um Matematico. O ELE a que se refero este fragmento e o KURT GODEL ... Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1707,121006 From: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] permutacap caotica.. Date: Thu, 12 Oct 2006 11:58:58 -0700 Paulo, Parabens pelo email. Achei sensacional sua colocacao ! Leandro Los Angeles, CA. _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 4444..88..9
O valor de n que dá como média 16 sem suprimir nenhum termo é 31.
Como a seqüência dada tem como média 16,1 significa que foi suprimido um
termo na seqüência acima com valor inferior a 16.
Considerando k o termo suprimido tem-se:
( ( 1 + n ) n / 2 - k ) / ( n - 1 ) = 16,1
fazendo n=31 tem-se k=13
Ojesed.
- Original Message -
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, October 11, 2006 9:32 AM
Subject: Re: [obm-l] Problema ..88..9
Sauda,c~oes,
Oi Nehab,
Foi esta (PG) a solução que dei para o problema 84 do
meu livro sobre progressões. Concordo que a sua é
mais elegante.
Qual a solução do Lindski? E a do Sergio?
Segue o problema 46 do meu livro: suprimindo-se um
dos elementos do conjunto {1,2,.,n}, a média
aritmética dos elementos restantes é igual a 16,1.
Determine:
a) o valor de n;
b) o elemento suprimido.
[]'s
L.
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Problema ..88..9
Date: Tue, 10 Oct 2006 15:05:07 -0300
Oi, Bruno,
Esqueci de dizer que a solução usual é por PG (ag).Chata, mas sai.
Se o número de algarismos de N é 2n, escreva o tal N assim (costumo errar
contas, mas a idéia é a que segue):
N = 4*10^n*[10(n-1) + + 1] + 8*[ 10^(n-1) + ...+ 1] + 9
N = 4*10^n[10^n -1] /9 + 8 *[10^n - 1]/9 + 9
Opere e obtenha
N = 4*10^(2n) + 2.4.10^n + 1 ] /9 = (2*10^n + 1)^2 /9
Logo raiz(N) = (2*10^n + 1) /3
Abraços,
Nehab
At 13:33 10/10/2006, you wrote:
Oi Bruno,
O primeiro é do Lindski e já caiu no IME. Acho minha solução
bonitinha... :-)
Multiplique o tal cara N por 9 e perceba que 9N = 4...4.1 , ou
seja, 9N = (200 + 1)^2...
Logo, o N é quadrado e a resposta , 2001/3 = 667
Abraços,
Nehab
At 11:45 10/10/2006, you wrote:
Amigos peço ajuda para os seguintes problemas:
1)Demonstrar que os números 49 , 4489, 444889 obtidos colocando o número
48 no meio do número anterior,são quadrados de números inteiros.
2) n retas paralelas de um plano se cruzam por uma série de m retas
paralelas. Quantos paralelogramos podem ser separados na rede obtida ?
mais uma vez, obrigado.
Bruno
O Yahoo! está de cara nova. Venha
http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/spirit/*http://br.yahoo.comconferir!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
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Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.3/473 - Release Date: 12/10/2006
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
