Re: [obm-l] Somatório interesante..
olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
saiu um artigo legal no rumo aoi ITA,tratando destes tipo de problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as soluções da OBM 2006. Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3. Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa questão. Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de arranjarmos tempo). Abraços, Marcio Cohen
Re: [obm-l] Somat�rio interesante..
desculpe mas ainda não entendi como usar a fórmula de euler nesse exercício, com ela só consegui ver como calcular somatórios de senos e cossenos e não produtórios. From: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Somatório interesante.. Date: Sun, 12 Nov 2006 10:32:16 -0200 saiu um artigo legal no rumo aoi ITA,tratando destes tipo de problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Injecao continua de R^3 em R^2
Proponho aqui mais um problema: Por que a ideia da demonstracao abaixo nao funciona para provar que nao existe uma funcao continua e injetiva de R^3 em R^2? (ou seja, tomar em R^3 um conjunto nao-enumeravel de quadrados bi-dimensionais disjuntos dois a dois) Isso quer dizer que existe uma tal funcao? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 10 Nov 2006 07:33:40 -0300 Assunto: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R Ha alguns dias o Artur mandou uma mensagem que pedia para provar que nao existe uma funcao injetiva continua de um produto cartesiano dois ou mais intervalos nao-degenerados em R. Um caso particular e provar nao existe uma funcao injetiva continua de R^2 em R. Suponha que exista f:R^2 - R continua e injetiva. Se PQ e um segmento de reta fechado e nao-degenerado em R^2, entao PQ e compacto e conexo. Como f e continua, f(PQ) sera compacta e conexa == f(PQ) = [a,b] = intervalo compacto de R Como f e injetiva, f(P) f(Q) == [a,b] e nao-degenerado. R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e nao-degenerados. Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel. Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos compactos disjuntos e nao-degenerados. No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos (tome um racional em cada um deles). Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 em R. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
multiplique e divida e expressao por cos(a) Irá aparecer senos do arco duplo...
[obm-l] Re: [obm-l] Não-Enumerável, M edida Nula, Denso e Magro
Um outro exemplo e o seguinte (do livro Counterexamples in Analysis)
Para cada n em N, seja K(n) o conjunto de Cantor de medida (n-1)/n.
Seja K = Uniao(n em N) K(n).
Como cada K(n) e magro, K eh magro.
No entanto, 1 = m(K) = sup(n em N) {m(K(n))} = 1 == m(K) = 1 ==
K e magro com medida total e [0,1]-K e denso em [0,1] com medida zero.
Construindo um tal K para cada intervalo [m,m+1] (m em Z) e unindo todos eles,
obtemos o exemplo desejado.
Problemas:
O conjunto de Cantor tradicional eh obtido iterativamente, a partir de [0,1],
pela retirada do terco medio aberto de cada intervalo
restante apos a iteracao anterior. Assim, a primeira iteracao retira (1/3,2/3),
a segunda, (1/9,2/9) e (7/9,8/9), etc...
1. Prove que se ao inves de retirar de cada intervalo I o seu terco medio,
retiramos um intervalo de medida k*m(I) (0k1), o
conjunto de Cantor resultante ainda tera medida zero.
2. Como entao obter um conjunto de Cantor com medida m (0 m 1)?
3. Prove que o conjunto de Cantor obtido em (2) ainda tera interior vazio.
***
Sobre o que esse assunto faz nessa lista, eu tenho algumas justificativas:
1. Como agora temos olimpiadas universitarias, analise e topologia passaram a
ser assuntos olimpicos;
2. Alguns resultados sobre aproximacoes diofantinas e, em particular, o teorema
de Liouville que prova que os numeros algebricos
sao diofantinos e, de quebra, ainda constroi um exemplo de numero
transcendente, sao suficientemente elementares para servir
de topico de discussao na lista;
3. Esses temas me parecem muito mais interessantes do que os probleminhas de
concursos que costumam aparecer. Ou voce
prefere uma boa discussao sobre o porque de 0,... , 0! e (-1)*(-1) serem
iguais a 1?
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 8 Nov 2006 10:41:50 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Não-Enumerável, Medida Nula, Denso e Magro
On Tue, Nov 07, 2006 at 06:15:19PM -0200, Manuel Garcia wrote:
Boa tarde,
Apesar de não entender muito bem o que este assunto faz nesta lista, como
parece que isto não incomoda muito, atrevo-me dar mais uma colherada no
tema
que talvez sirva de fonte para disperdício de tempo para os incautos
simpatizantes...
Dar um exemplo de subconjuntos de R, A e B tais que:
- A e B são disjuntos (intersecção vazia).
- A U B = R
- A é MAGRO.
- B tem medida de Lebesgue ZERO.
Não se trata de uma pergunta sobre a existência ou não de um par de
subconjuntos de R com essas propriedades, é verdade que EXISTEM essses
subconjuntos, trata-se de encontrar uma dessas aberrações!
Existe um exemplo tão importante que não pode ser chamado de aberração.
Tome A' o conjunto dos irracionais diofantinos e B' o conjunto dos
irracionais de Liouville: jogando os racionais arbitrariamente em A' ou B'
obtemos o exemplo que você pede.
Definição:
Um irracional x é de Liouville se para todo natural n existirem
inteiros p e q tais que |x - p/q| q^(-n). Caso contrário,
x é dito diofantino.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] demonstração antiga
--- Ramon Carvalho escreveu: 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre positivo para a E R 1.1) Achar o menor valor dessa função 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = (a^3 + b^3 + c^3)/3 . (a^2 + b^2 + c^2)/2 Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda seria bem vindaDesde já, gratoComo a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo meu, JP:(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2] =(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 =[(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ b^5
+ (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =5*(a^5 + b^5+ c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + b^5 +c^5) (i) =a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] (ii) =substituindo (ii) em (i):5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5)=6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =1 = 1 (ufa )
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa.Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga
Olá,
acho que tem uma saída mais simples:
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
a = - b - c
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 =
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 +
c^2 + bc)
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c)
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
agora, o lado esquerdo:
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4c + 10
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4c + 10 b^3 c^2
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4c +2 b^3 c^2 +2 b^2 c^3 + b
c^4)
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4c +2
b^3 c^2 +2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4c +2 b^3 c^2 +2 b^2
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2+ c^3)
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
logo, sao iguais.
abraços,
Salhab
- Original Message -
From:
GERALDO
FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS
To: Lista _OBM
Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41
PM
Subject: [obm-l] demonstração
antiga
--- Ramon Carvalho escreveu: 1) Provar que
(a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre positivo para a E R
1.1) Achar o menor valor dessa função 2 ) Se
a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = (a^3 + b^3 + c^3)/3
. (a^2 + b^2 + c^2)/2 Estou com
problemas nessas questões, qualquer ajuda seria bem vinda
Desde já, grato
Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo
meu, JP:
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
=
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6
=
[(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =
[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 +
(c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =
5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ b^5 + (b^3)*a^2 +
(b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5)
=
5*(a^5 + b^5+ c^5) + 5*[(a^3)*b^2 +
(a^3)*c^2+ (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 +
b^5 +c^5) (i) =
a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2+ (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 +
(c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] (ii) =
substituindo (ii) em (i):
5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5
+c^5)=
6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =
1 = 1 (ufa )
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
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