[obm-l] EN-86
(EN 86) Os vértices de um triângulo são: A(2, 1, 3), B(4, -1, 2) e C(6,2,5). As coordenadas do pé da altura relativa ao vértice A são:
[obm-l] EN-86
Olá pessoal da lista peço que alguém resolva, por favor, mais uma questão da EN. E FELIZ 2007. (EN 86) Os vértices de um triângulo são: A(2, 1, 3), B(4, -1, 2) e C(6,2,5). As coordenadas do pé da altura relativa ao vértice A são: (A) (5, 1, 3). (B) (26/5, 6/5, 21/5). (C) (45/11, 1/11, 34/11). (D) (5, 1/2, 7/2). (E) (49/11, - 7/22, 59/22). DESDE JÁ AGRADEÇO. ABRAÇOS.
[obm-l] IMO
(IMO-89) Mostre que, para cada natural n, existem n inteiros positivos consecutivos tais que nenhum deles é um primo ou potência de primo. (IMO) Mostre que existem n naturais consecutivos tais que nenhum deles possa ser escrito como a soma de dois quadrados. Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] IMO
Oi Klaus,
Esses dois problemas são bons exemplos de aplicações
do Teorema Chinês dos Restos: se k = 1 e m_1, m_2,
..., m_k são inteiros primos dois a dois (isto é, o
mdc entre quaisquer dois desses números é 1) então
existe x tal que x = a_1 (mód m_1), x = a_2 (mód m_2),
..., x = a_k (mód m_k), sendo a_1, a_2, ..., a_k
inteiros (assumo aqui que o leitor saiba o conceito de
congruência módulo m).
Para o problema da IMO 89, sendo x+1, x+2, ..., x+n os
n números, basta notar que, pelo Teorema Chinês dos
Restos, existe x tal que x = -1 (mód p_1p_2), x = -2
(mód p_3p_4), ..., x = -n (mód p_{2n-1}p_{2n}). Note
que cada um dos n números x+1, x+2, ..., x+n é
divisível por dois primos, então não pode ser primo ou
potência de primo.
Para o outro, vamos utilizar o fato de que se existe
um primo p da forma 4t+3 tal que p divide k e p^2 não
divide k então k não pode ser escrito como soma de
dois quadrados (utilize o Pequeno Teorema de Fermat
para provar isso). Sendo x+1, x+2, ..., x+n os
números, existe x tal que x+1 = p_1 (mód p_1^2), x+2 =
p_2 (mód p_2^2), ..., x+n = p_n (mód p_n^2), sendo
p_1, p_2, ..., p_n primos da forma 4t+3 (fica para o
leitor provar que existem infinitos desses primos).
Assim, cada um dos números é divisível por um primo da
forma 4t+3 mas não pelo sue quadrado, de modo que
nenhum dos n números é soma de dois quadrados.
[]'s
Shine
--- Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
(IMO-89)
Mostre que, para cada natural n, existem n inteiros
positivos consecutivos tais
que nenhum deles é um primo ou potência de primo.
(IMO)
Mostre que existem n naturais consecutivos tais que
nenhum deles possa ser
escrito como a soma de dois quadrados.
Grato.
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Re: [obm-l] IMO
Oi, Eu respondi esta primeiro questão no mathlinks: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=113953 . Tchau tchau Em 28/12/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: (IMO-89) Mostre que, para cada natural n, existem n inteiros positivos consecutivos tais que nenhum deles é um primo ou potência de primo. (IMO) Mostre que existem n naturais consecutivos tais que nenhum deles possa ser escrito como a soma de dois quadrados. Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Prova ITA 2007???
Olá colega, Veja o sítio: www.sistemapoliedro.com.br Abraço. mentebrilhante brilhante [EMAIL PROTECTED] escreveu:tem a prova resolvida do objetivo se quer me dá um toque . eu passo o endereço cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria de saber se alguém tem a prova de matemática do ITA - 2007 digitada ou scaneada. O pessoal do ITA são enrolados na publicação das provas. Agradeço!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
