Re:[obm-l] Problema de algebra vetorial.
Oi, Ronaldo:
Chame de u o vetor de coordenadas (x1,y1,z1) e de v o segundo vetor.
Gire os seus eixos coordenados de modo que as coordenadas de u passem a ser
(0,0,L) e as de v (L*sen(theta),0,L*cos(theta)).
Ou seja, u gera o novo eixo z e {u,v} gera o novo plano xz.
Ao girar v de um angulo phi em torno do eixo de u, voce obterah um vetor w
cujas coordenadas na base nova serao:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*cos(theta)*cos(phi))
O ponto desejado eh P = u+w, de coordenadas:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*(1+cos(theta)*cos(phi))
Agora soh falta calcular a matriz A (Aij) de mudanca de coordenadas.
Como os novos eixos coordenados tambem sao mutuamente ortogonais e os modulos
dos vetores das coordenadas nao mudam, A
eh uma matriz ortogonal.
Dado um vetor x qualquer, cujas coordenadas numa dada base sao dadas por
[x]_base, teremos:
[x]_velha = A*[x]_nova
[u]_velha = (x1,y1,z1) e [u]_nova = (0,0,L) ==
x1 = A13*L; x2 = A23*L; x3 = A33*L ==
A13 = x1/L; A23 = x2/L; A33 = x3/L (cossenos diretores de (x1,x2,x3)).
O enunciado implica que:
[v]_velha = (k*x1,k*y1,z); |u| = |v| = L; u,v = L^2*cos(theta)
Com essas tres relacoes e conhecendo A13, A23 e A33, voce acha k e z e,
portanto, [v]_velha.
Isso permite que voce ache A11, A21 e A31 (a 2a. coordenada de [v]_nova eh
igual a zero)
Finalmente, usando o fato de que A eh ortogonal, voce acha A21, A22 a A23.
O que voce quer eh [P]_velha = A*[p]_nova.
Admito que eh bracal, mas nao achei outra forma.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 13 Mar 2007 15:10:02 -0300
Assunto: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
O problema abaixo parece simples mas está me consomindo um bocado
de tempo e não consigo enxergar uma forma rápida de resolver. Se alguém
puder me ajudar eu agradeço.
Problema: Um vetor, de módulo L, cujo ponto inicial está localizado na
origem
e cujo ponto final tem coordenadas em (x1,y1,z1) forma um ângulo theta
com outro
vetor de mesmo módulo partindo de sua extremidade. A projeção deste segundo
vetor no plano xy
tem a mesma diração do primeiro vetor.
Se fizermos uma rotação de ângulo phi em torno do eixo definido pelo
primeiro vetor,
quais serão as coordenadas (x2,y2,z2) do segundo vetor em função de
x1,x2,x3, L, theta e phi ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Somatoria
Ola, Sou novo na lista, e encontrei ela por meio do google procurando alguma solucao para um problema de soma de series que tenho. Nao sei se aqui seria o lugar adequado pra expor o meu problema, mas pelo que reparei pelo conteudo das mensagens, vi que se tem um grande interesse em resolucao de problemas matematicos bem como manipulacao de equacoes. Gostaria de saber se teria uma formula direta de resolver a seguinte serie: 1/N + 1/(N+0.01) + 1/(N+0.02) + ... + 1/(N+0.01(T-1)) Seria uma serie limitada, com T termos sendo q N seria um numero arbitrario, como 0.333 e nao nescessariamente multiplo de 0.01. Obrigado, Rodrigo
Re: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
Oi Cláudio:
Obrigado por sua resposta. Andei pesquisando na internet sobre esse
problema e
parece que não tem mesmo outro jeito de fazer a não ser aquele que você
apresentou abaixo.
Muito obrigado por sua contribuição!
[]s
Ronaldo.
On 3/14/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Ronaldo:
Chame de u o vetor de coordenadas (x1,y1,z1) e de v o segundo vetor.
Gire os seus eixos coordenados de modo que as coordenadas de u passem a
ser (0,0,L) e as de v (L*sen(theta),0,L*cos(theta)).
Ou seja, u gera o novo eixo z e {u,v} gera o novo plano xz.
Ao girar v de um angulo phi em torno do eixo de u, voce obterah um vetor w
cujas coordenadas na base nova serao:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*cos(theta)*cos(phi))
O ponto desejado eh P = u+w, de coordenadas:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*(1+cos(theta)*cos(phi))
Agora soh falta calcular a matriz A (Aij) de mudanca de coordenadas.
Como os novos eixos coordenados tambem sao mutuamente ortogonais e os
modulos dos vetores das coordenadas nao mudam, A
eh uma matriz ortogonal.
Dado um vetor x qualquer, cujas coordenadas numa dada base sao dadas por
[x]_base, teremos:
[x]_velha = A*[x]_nova
[u]_velha = (x1,y1,z1) e [u]_nova = (0,0,L) ==
x1 = A13*L; x2 = A23*L; x3 = A33*L ==
A13 = x1/L; A23 = x2/L; A33 = x3/L (cossenos diretores de (x1,x2,x3)).
O enunciado implica que:
[v]_velha = (k*x1,k*y1,z); |u| = |v| = L; u,v = L^2*cos(theta)
Com essas tres relacoes e conhecendo A13, A23 e A33, voce acha k e z e,
portanto, [v]_velha.
Isso permite que voce ache A11, A21 e A31 (a 2a. coordenada de [v]_nova eh
igual a zero)
Finalmente, usando o fato de que A eh ortogonal, voce acha A21, A22 a A23.
O que voce quer eh [P]_velha = A*[p]_nova.
Admito que eh bracal, mas nao achei outra forma.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 13 Mar 2007 15:10:02 -0300
Assunto: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
O problema abaixo parece simples mas está me consomindo um bocado
de tempo e não consigo enxergar uma forma rápida de resolver. Se alguém
puder me ajudar eu agradeço.
Problema: Um vetor, de módulo L, cujo ponto inicial está localizado
na
origem
e cujo ponto final tem coordenadas em (x1,y1,z1) forma um ângulo
theta
com outro
vetor de mesmo módulo partindo de sua extremidade. A projeção deste
segundo
vetor no plano xy
tem a mesma diração do primeiro vetor.
Se fizermos uma rotação de ângulo phi em torno do eixo definido pelo
primeiro vetor,
quais serão as coordenadas (x2,y2,z2) do segundo vetor em função de
x1,x2,x3, L, theta e phi ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
[obm-l] SOMATORIOS
1) Mostre que sum(k=n+1, 2n) 1/k = sum(k=1,2n) (-1)^(k+1) / k. 2)lim(n-inf) sum(k=0, n) k/n^2 3)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/(n+k)^2 4)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n+k) 5)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n^2+k) Agradeço desde já. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] SOMATORIOS
Olá, 2) sum(k=0, n) k/n^2 = 1/n^2 * sum(k=0, n) k = (n + 0)*(n+1)/2 * 1/n^2 = (n^2 + n)/[2n^2] = (1 + 1/n)/2 - 1/2 qdo n- inf 3) sum(k=0, n) 1/(n+k)^2 = sum(k=n, 2n) 1/k^2 4) sum(k=0, n) 1/sqrt(n+k) = sum(k=n, 2n) 1/sqrt(k) 5) sum(k=0, n) 1/sqrt(n^2+k) = sum(k=n^2, n^2+n) 1/sqrt(k) a 3, 4, 5 nao consegui fazer.. mas fiz estas simplificacoes.. nem sei c ajudam! dps tento mais abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 14, 2007 5:33 PM Subject: [obm-l] SOMATORIOS 1) Mostre que sum(k=n+1, 2n) 1/k = sum(k=1,2n) (-1)^(k+1) / k. 2)lim(n-inf) sum(k=0, n) k/n^2 3)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/(n+k)^2 4)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n+k) 5)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n^2+k) Agradeço desde já. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] dúvidas
Olá pessoal , não conseguir resolver essas questões 1) Num tabuleiro 100x80, quantos quadrados existem? 2) Qual o menor inteiro positivo que é quadrado perfeito e termina com os algarimos 9009?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] analítica
Poderiamos resolver usando o produto escalar dos vetores (B - A) = (2 , 1) e
(C - A)=(x-4 , y) com módulos iguais, L = sqrt{2^2+1^2}=sqrt5, e o cosseno do
ângulo formado por eles (60° ou 300°) igual a meio.
Assim (B-A)*(C-A) = 5/2 = 2(x-4)+y (*)
O quadrado do módulo de (C-A) nos fornece a segunda equação (x-4)^2 + y^2 =
5 (**)
A solução ( a rigor as duas soluções) do sistema resulta em
C( 5 - ou + sqrt3/2 , 1/2 + ou - sqrt3).
[ ]'s
Andrezinho [EMAIL PROTECTED] escreveu:
As soluções propostas são insuficientes para garantir que o triângulo
seja eqüilátero. Até garantem que ele seja isósceles. Há duas soluções
possíveis ambas obtidas por meio da aplicação da rotação - uma de 60º e, a
outra de de 300º - no vetor AB.
- Original Message -
From: saulo nilson
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, March 08, 2007 8:22 PM
Subject: Re: [obm-l] analítica
ou entao ache a equaçao das retas que contem o ponto e que passam por A e B, ai
vc acha a intercessao entre elas.
On 3/8/07, Mário Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá!!
Gostaria de uma dica para resolver o exercício seguinte:
Dois vértices de um triangulo eqüilátero são os pontos A(4,0) e B(6,1).
Determine as coordenadas do terceiro vértice.
O ponto C, no caso, seria (x,y) então, seria o caso de fazer dAC = dBC?
Obrigado,
Mário
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Re: [obm-l] Ajuda vetores
faz do mesmo jeito que eu fiz a outra On 3/14/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: Gente foi mal coloquei a questão com um erro Dada as retas r1: y=1, r2: x =3 z= -2xy =-2z+5 Determinar o plano pi tal que r1 esta contida em pi e r2 e paralela a pi -- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em nome de *saulo nilson *Enviada em:* segunda-feira, 12 de março de 2007 20:29 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* Re: [obm-l] Ajuda vetores esta faltando uma coisa, a equaçao do plano e dada por uma termo a mais fica ax+by+cz=d o resto fica o mesmo mas a reta r1 tem que esta contida no plano cx+(c/2)*y+cz=d 2x+y+2z=2d/c para y=1 z+x=2 d/c=5/2 de forma que a equaçao do plano fica 2x+y+2z=5 On 3/12/07, *saulo nilson* [EMAIL PROTECTED] wrote: vc tem que saber a equaçao geral do lplano a equaçao de um plano e dada por ax+by+cz=0 ou na forma de produto escalar a,b,c*x,y,z=0 entao vc vai ter, todo ponto da forma y=1 e z=2-x, tem que estar contido no plano ax+by+cz=0 x+0y+z=2 0x+y+0z=1 quando vc fizer a interção entre oplano e esta reta , o resultado vai ter que ter infinitas soluçoes, ou a reta. determinante principal tem que ser zero 0+c-a=0 c=a r2 e paralela ao plano, entao temos a*3+b*(-2z+5)+cz=0 3a+5b=z*(2b-c) nao tem que ter soluçao, logo c=2b sendo assim a e3quaçao do plano procurado e c*x+(c/2)*y+cz=0 2x+y+2z=0 tem um jeito mais facil de se fazer isso por vetores, produto vetorial, produto escalar, vetor normal, etc. Dada as retas r1: y=1, r2: x =3 z=2-x y =-2z+5 determinar o plano pi tal que r1 esta contida em pi e r2 e paralela a pi
[obm-l] Re: Sequencias
4) Calcule 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/[n(n+1)] On 3/14/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: 1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n -- Atenciosamente Júlio Sousa -- Atenciosamente Júlio Sousa
[obm-l] Questão de Complexos
Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa questão.
Obrigado!
{1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 +
i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n}
Espero que dê pra entender...
Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n)
--
Atenciosamente
Júlio Sousa
