Re: [obm-l] Questão - Paulo Santa Rita
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, E possivel que na pressa eu tenha escrito mal ... Eu queria dizer QUE SE NAO OCORRE que Si = (1 / Ai ) para todo i, ou, traduzindo de outra forma, SE PARA TODA Progressao Aritmetica de inteiros positivos A1A2A3... existe ao menos um i tal que Si (1/Ai ) entao a serie S=S1+S2+S3+ ... converge. Note que se An = ( 1 + sen(N^2) ) / raiz_qua(N) e o termo geral de uma serie entao para os N em que sen(N^2) = 0 teremos sucessivamente An 1/raiz_qua(N) 1/N ... Eu estou supondo aqui que se A1A2A3... e uma PA de inteiros positivos entao a serie dada por H=(1/A1)+(1/A2)+(1/A3)+... diverge. Gostaria de participar um pouco mais desta excelente lista mas as circunstancias me obrigam a passar apenas rapidamente por aqui, um dia ou outro. Entretanto, reitero meu incondicional apoio a esta excelente iniciativa do Carissimo Prof Nicolau e espero e acredito que num futuro proximo possa contribuir mais NAS QUESTOES DE CARATER OLIMPICO. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,0639,020A07 Em 02/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Paulo Santa Rita, Sn = S1 + S2 + ... + SN, entao: Sn = 1/A1 + 1/A2 + ... + 1/AN mas, pela desigualdade das medias, temos que: MA = MH .. (A1+A2+..+AN)/N = N/(1/A1 + 1/A2 + ... + 1/AN) logo: 1/A1 + 1/A2 + ... + 1/AN = (A1+A2+...+AN)/N^2 assim: Sn = (A1+A2+..+AN)/N^2 = (A1+AN)*N/2 * 1/N^2 = (A1+AN)/(2N) = (A1 + A1 + (n-1)r)/(2N) Sn = (2A1 + (n-1)r)/(2n) = (2A1 - r)/(2n) + 1/2 assim: lim Sn = 1/2 bom.. concluo que nada concluo! hehehe... a desigualdade esta correta? nao seria: Si = 1/Ai ? abraços, Salhab On 10/1/07, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Agora, mudando de assunto, considere a serie S = S1 + S2 + ... de termos positivos e suponhamos que PARA TODA Progressa Aritmetica de inteiros positivos A1 A2 ... nunca ocorra que Si = (1 / Ai ), para todo i = 1, 2, ... Eu afirmo que, neste caso, a serie S = S1 + S2 + ... converge. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,0A04,010A07 Em 30/09/07, Carlos Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, gente, Estou lendo um fascinante livro de Alain Bardiou (filósofo argelino mas ligadão a fundamentos da matemática e lógica) chamado Numbers and Numbers e adoraria manter conversa, mesmo fora da Lista, com alguéns igualmente interessados neste fascinante texto, para troca de idéias. Se alguém tiver interesse, por favor, manifeste-se - acredito que o Paulo Santa Rita, por exemplo, possa já conhecê-lo ou então ficará fascinado como eu... mas não sei como anda de tempo... :-). Ou então o Fernando A Candeias... (Fernando, é uma carinhosa provocação...- seria ótimo tê-lo como companheiro nesta leitura...). Abraços a todos, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROFESSOR ENTUSIASTA
PESSOAL ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA: Um professor entusiasta dos problemas de aplicação do raciocínio, disse a um aluno que o produto das idades de sua mulher e das suas duas filhas era 2450, enquanto que sua soma era igual a duas vezes a idade do aluno. Em seguida perguntou quais as idades delas. Depois de refletir por um momento, o aluno disse que não era possível determiná-las. O professor revelou, então, ser mais velho que qualquer uma delas. Como sabia a idade do professor, o aluno pôde deduzir imediatamente as outras. Em relação à situação proposta julgue os itens. (0) Considerando-se as idades das filhas e da esposa do professor citadas no problema, existem menos do que 10 valores possíveis para tais idades. (1) Todos os resultados possíveis para as idades citadas no item anterior apresentam somas distintas. (2) O aluno tem 32 anos de idade, por isso não lhe foi possível saber as idades das pessoas citadas. (3) O professor pode ter 50 ou 51 anos. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
[obm-l] transformação
Algum pode me dizer se a transformação que to fazendo tem algum erro: Sen^2(2x)= (1- cos4x)/2 Marcus Aurélio
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de invariância
Carlos, Desculpe-me, eu conheço congruência entre inteiros, o problema ocorreu porque eu estou muito acostumado à notação de congruência com o igual de três barras e não percebi que você estava escrevendo = quando na realidade queria escrever aquele outro. Abraços - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 02, 2007 12:21 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de invariância Oi, Vitor, Acho que não fui cuidadoso na explicação de minha notação e/ou você não tem familiaridade com o conceito de conguência entre inteiros: Se a, b e p são inteiros, a notação a = b (mod p) significa que a e b são côngruos mod p, ou seja, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por p; ou, dito de outra forma, a - b é multiplo de p. Abraços, Nehab Victor escreveu: Carlos: há um pequeno erro na sua demonstração: d(n) não é necessariamente igual ao resto da divisão de n por 9 (Se n for igual a 450, o resto é 0 mas d(n) = 9) De resto, não vejo problema na conclusão pela divisibilidade por três. Bluhu - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 01, 2007 7:41 PM Subject: Re: [obm-l] questão de invariância Bonitinho ! Basta notar que n = d(n) (mod 9) e então d(n) = d(d(n)) (mod 9). (ou seja, o velho noves fora...) Logo a soma n + d(n) + d(d(n)) deverá ser divisível por 3, o que não ocorre com 1997 (que é até primo!). Logo, não há solução. Nehab. raylson raylson escreveu: Seja d(x) a soma dos dígitos de x pertencente aos naturais. Determine todas as soluções de d(d(n))+d(n)+n = 1997. essa questão foi proposta num artigo de invariância. Receba GRÁTIS as últimas novidades do esporte direto no seu Messenger! Assine já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria muito boa
Olá Paulo Obrigado por responder. Meu gabarito esta diferente (pode ser que esteja errado, evidentemente), mas vou manter um pouco o suspense para aguardar novas tentativas o comentarios, que sempre sao muito valiosos e enriquecedores. Um abraco, Palemerim Em 01/10/07, Paulo Cesar [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Palmerim Primeiramente, vamos ao problema de determinar quantos funcionários APENAS estão qualificados para informática, quantos estão qualificados para ambas as funções e quantos estão qualificados APENAS para telemarketing. Resolvendo pelo diagrama de Venn-Euler, temos 7 apenas em informática, 9 em ambas as funções e 4 apenas em telemarketing. (os funcionários da limpeza não serão selecionados) Vamos contar separadamente as seguintes situações: Vagas para informática com os qualificados apenas em informática e as vagas para telemarketing com os qualificados apenas em telemarketing. Existem C 7,4 x C 4,3 = 140 modos. Vagas para informática com os qualificados em ambas as funções e as demais vagas com os qualificados apenas em telemarketing. Existem C 9,4 x C 4,3 = 504 modos. Vagas para informática com os qualificados apenas em informática e vagas para telemarketing com os qualificados em ambas as funções. Existem C 7,4 x C 9,3 = 2940 modos. Temos então um total de 2940 + 504 + 140 = 3584 modos de preenchermos as vagas. O seu gabarito bate? Essas questões sempre são meio polêmicas, então já fico desconfiado com as minhas respostas. []'s PC
[obm-l] Distribuições - denovo
Oi pessoal. Eu mandei há algum tempo um email a respeito de distribuições,
mas eu nao o vi na minha caixa de entrada, então não sei se ele nao chegou
ou se ninguem respondeu mesmp. Em qualquer um dos casos, estou reenviando a
questao.
Seja f uma funcao localmente integravel. Podemos associar a f uma
distribuicao regular, Tf, dada por: Tf(phi) = integral (f*phi), sobre os
reais. Gostaria de demonstrar que supp f = supp Tf, onde supp f significa
suporte de f (menor fechado que contem o conjunto { x; f(x) != 0 }, e supp
Tf é o suporte de uma distribuicao, isto e, o menor fechado fora do qual a
distribuicao é nula (dizemos que uma distribuicao é nula num aberto U se
para toda funcao teste phi de suporte contido em U, Tf(phi) = 0).
Uma das inclusoes é facilmente demonstravel: supp Tf \in supp f (para
qualquer funcao teste phi com suporte fora de supp f, f*phi = 0, e assim
Tf(phi) = 0, assim Tf é nula fora de supp f, e portanto supp Tf \in supp f)
O problema que encontro esta na segunda parte. Se admitirmos teoria de
integracao de Riemann, ok, existe uma demonstracao simples: como ja
mostramos uma inclusao, se a outra nao valer é pq existe um ponto (e entorno
do qual um conjunto aberto U) que esta em supp f mas esta fora de supp Tf.
Estando fora de supp Tf, devemos ter que Tf(phi) = 0 para toda phi de
suporte em U. Pois bem, dentro de U existe um intervalo no qual f nao muda
de sinal. Escolha uma phi com o mesmo sinal de f no centro desse intervalo e
que torne-se zero ainda dentro do intervalo, e fora de U phi sempre zero.
Temos entao que Tf(phi) 0, o que e uma contradicao, visto que escolhemos
phi com suporte em U, sendo que U esta fora do suporte de Tf. Assim, nao
existe nenhum ponto em supp f que nao esteja tambem em supp Tf, o que mostra
a segunda inclusao, concluindo a prova.
Agora nao consigo deomnstrar o mesmo considerando integral de lebesgue, pois
nao posso admitir que se f é localmente integravel entao existe um intervalo
no qual ela é continua, o que torna necessario mudar todo o argumento ( a
nao ser que alguem de um jeito de dizer que por qualquer motivo f tera que
ter um intervalo no qual é continua ).
Se alguem tiver alguma ideia, sera muito bem vinda!
Obrigado,
Bruno
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
e^(pi*i)+1=0
RE: [obm-l] transforma�
E so voce lembrar que: cos(4x) = cos^(2x) - sin^2(2x) cos(4x) = 1-2sin^2(2x) sin^2(2x) = (1- cos(4x))/2 entao, sua transformacao esta correta. From: Marcus [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] transformação Date: Tue, 2 Oct 2007 13:53:16 -0300 Algum pode me dizer se a transformação que to fazendo tem algum erro: Sen^2(2x)= (1- cos4x)/2 Marcus Aurélio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] geometria
Boa tarde, gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com esses dois problemas, mas que fosse de uma forma simples a qual eu pudesse entender...Desde de já obrigada pela atenção Mostrar que: 1 - A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança. 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes. _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] Polinômio
Olá Nehab, muito interessante sua solução. Gostei! hehehe abracos, Salhab On 10/2/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Guilherme e Salhab, Gosto de uma outra solução marota para este tipo de problema... Note que como P(x) = P(1-x) o grafico da função P(x) é simétrico com relação a reta x = 1/2; Basta observar que P(1/2 - t ) = P (1/2 + t), para todo t real. Portanto se fizermos uma mudança de eixos coordenados colocando o eixo Y na abscissa x = 1/2, o que corresponde a fazer X = x-1/2, ou seja, x = X + 1/2, obteremos uma função par no novo sistema XOY, ou seja, não poderá haver termos em X^3 e X... P(X+1/2) = a(X+1/2) ^4 + b(X+1/2)^3 + c(X+1/2)^2 + d(X+1/2) + e = a[X^4 + 4X^3.(1/2)+ 6X^2.(1/2)^2+ 4X.(1/2)^3 + (1/2)^4] + b[ X^3 + 3X^2.(1/2) + 3X.(1/2)^2 + (1/2)^3 + c[ X^2 + 2.X.(1/2) + (1/2)^2 + d[ X + 1/2] + e Logo: O coeficiente de X^3 é 2a + b = 0 , ou seja, b = -2a. O coeficiente de X é a/2 + 3b/4 + c + d = 0, ou seja, c+d = a Estas são as duas condições, idênticas as do Salhab. Abraços Nehab Marcelo Salhab Brogliato escreveu: Olá Guilherme, se P(x) = P(1-x), temos que: P(0) = P(1) vejamos: P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e entao: e = a + b + c + d + e a + b + c + d = 0 (i) derivando P(x) = P(1-x), temos: P'(x) = -P'(1-x)... derivando novamente: P''(x) = P''(1-x) mas P''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2d novamente: P''(0) = P''(1) 12a + 6b + 2d = 2d ... 12a + 6b = 0 2a + b = 0 hmm: P'(0) = -P'(1) ... 4a + 3b + 2c + d = -d ... 4a + 3b + 2c + 2d = 0 analisando as 3 equacoes obtidas, vemos que elas sao LD.. isto é: uma pode ser obtida atraves das demais.. entao, vamos usar apenas: a + b + c + d = 0 ... 2a + b = 0 assim: a = c+d, b = -2a = -2(c+d) nao sei c tem mais alguma condicao... foi isso que encontrei.. uma outra ideia seria abrir tudo: P(x) == P(1-x) ... e dps igualar os coeficientes de x^4, x^3, x^2, x e constante.. abracos, Salhab On 10/1/07, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote: 1-Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau de modo que P(x)=P(1-x). 2- Considere o polinômio P(x)=16x^4 - 32x^3 - 56x^2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz a condição do item 1. -- Torpedo Messenger- Envie torpedos do messenger para o celular da galera. Descubra como aqui! http://g.msn.com/8HMBBRBR/2752??PS=47575= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] geometria
Olá Aline, acho que depende do que vc chama de semelhanca... o que exatamente eh semelhanca entre solidos? qual sua definicao deste conceito? preservacao de angulos e proporcionalidade constante entre os lados dos solidos? abracos, Salhab On 10/2/07, Aline Marconcin [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com esses dois problemas, mas que fosse de uma forma simples a qual eu pudesse entender...Desde de já obrigada pela atenção Mostrar que: 1 - A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança. 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes. -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se já!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] circunferencia
sei que dSeja C a circunferência x²+y²-2x-6y+5=0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M(2;2). O comprimento de AB é igual a:. sei que d²=(xA-XB)²+(yA-yB)² e que C:(x-1)²+(y-3)²=5 tb achei que Xa+Xb=Ya+Yb=4... acabei fazendo uma salada essa me parece mais fácil: um triangulo de lados : AB=10 e AC=12. O baricentro e o incentro pertencem a base paralela a BC...logo BC =
[obm-l] circunferencia
-- Início da mensagem original --- De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l Cc: Data: Tue, 2 Oct 2007 17:14:40 -0300 Assunto: circunferencia Seja C a circunferência x²+y²-2x-6y+5=0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M(2;2). O comprimento de AB é igual a:. sei que d²=(xA-XB)²+(yA-yB)² e que C:(x-1)²+(y-3)²=5 tb achei que Xa+Xb=Ya+Yb=4... acabei fazendo uma salada essa me parece mais fácil: um triangulo de lados : AB=10 e AC=12. O baricentro e o incentro pertencem a base paralela a BC...logo BC = Vitório Gauss
RE: [obm-l] Equação diferencial
Daniel, Tente a substituicao: z=y/x y' = (xz)' = z'x + z Entao, sua EDO fica z'x + z = z + sqrt(x^2.z) x.z' = x.sqrt(z) (Coloque na forma separavel) (dz/sqrt(z)) = dx, Integre ambos os lados 2.sqrt(z) = x + A , sqrt(z) = x/2 + C, C=A/2 z = (x/2 + C)^2 , faca a substituicao z=y/x, y = x.[(x/2) + C)]^2 , onde C e uma constante de integracao. Se fiz algum erro nas contas, me perdoe. Nao tinha papel aqui e tentei fazer direto no computador. Leandro Los Angeles, CA. From: Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: OBM-L obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Equação diferencial Date: Sat, 22 Sep 2007 12:36:19 -0300 Senhores, Alguém pode, por favor, me dar uma dica nessa eq. diferencial? dy/dx = y/x + sqrt(xy) obrigado. Daniel. -- O modo mais provável do mundo ser destruÃdo, como concordam a maioriados especialistas, é através de um acidente. à aà que nós entramos.Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes - NathanielBorenstein = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergência /divergência de sére
On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
A série diverge.
O fato difícil aqui é provar que sin(n^2) 0 para muitos valores de n.
De fato, sin(n^2) 0 para aproximadamente a metade dos valores de n,
i.e., se a_n = #{m n | sin(m^2) 0} então lim a_n/n = 1/2.
Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração
muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi.
Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se
para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
onde b_n = #{m n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.
O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.
Seja a_n uma seq.
Dado N, defina b_n = SOMA_{mn} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
(aqui i = sqrt(-1)).
Então a_n é unif distr módulo T se e somente se
lim b_n/n = 0 (para todo N).
É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq
cn é uniformemente distribuida módulo T
(isto segue facilmente do teorema acima).
Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com
coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n)
é unif distribuida módulo T.
O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema
(a demonstração não é difícil usando o primeiro teo).
Seja a_n uma seq e T 0.
Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n
seja unif distr módulo T.
Então a_n é unif distr módulo T.
Acho que é bem mais difícil decidir
se a série abaixo converge (condicionalmente):
Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n))
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] geometria
Ela está se referindo à homotetia - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 02, 2007 4:37 PM Subject: Re: [obm-l] geometria Olá Aline, acho que depende do que vc chama de semelhanca... o que exatamente eh semelhanca entre solidos? qual sua definicao deste conceito? preservacao de angulos e proporcionalidade constante entre os lados dos solidos? abracos, Salhab On 10/2/07, Aline Marconcin [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com esses dois problemas, mas que fosse de uma forma simples a qual eu pudesse entender...Desde de já obrigada pela atenção Mostrar que: 1 - A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança. 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes. Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se já!
RES: [obm-l] combinatoria muito boa
Em primeiro lugar, usamos um diagrama de Venn para separar as habilitações dos funcionários. Concluímos que há: (A) 9 habilitados para ambas as funções; (B) 7 habilitados apenas para informática; (C) 4 habilitados apenas para telemarketing; (D) 12 não têm habilitação. Suponho que modos distintos correspondem a subconjuntos distintos de funcionários escolhidos para cada vaga. Dos habilitados em ambas (conjunto A), escolhemos x para informática e y para telemarketing. Assim, temos que escolher 4-x do conjunto (B) e 3-y do conjunto (C) para preencher as vagas restantes. O número de maneiras de fazer isto para x e y fixos é: (9 C x)(9-x C y)(7 C 4-x)(4 C 3-y) = 9!7!4!/(x!y!(9-x-y)!(3+x)!(4-x)!(1+y)!(3-y)!) Agora, temos 0=x=4 e 0=y=3. Então faça os 20 cálculos para cada escolha de x e y e adicione tudo. Dá MUITO trabalho, com MUITA conta... pus os x nas colunas e os y nas linhas, e deu: x=0x=1 x=2 x=3 x=4 y=0 140 1260 3024 2352 504 y=1 1890 15120 31752 21168 3780 y=2 5040 35280 63504 35280 5040 y=3 2940 17640 26460 11760 1260 (os termos do Paulo Cesar são apenas 3 deles das pontas, faltam muitos outros!). Somando tudo, a resposta deu 285194. Será que há um jeito mais fácil??? P.S.: Note a minha interpretação da palavra modos... Não basta dizer quem são os escolhidos, não basta dizer de que grupo (A, B, C ou D) vieramtambém tem que se dizer quem vai fazer o quê. Uma escolha onde Alice vai para informática e Antônio para telemarketing é, na minha interpretação, diferente de uma escolha onde Alice vai para telemarketing e Antônio para informática, apesar de ambos serem do conjunto (A). Por outro lado, suponho que as posições de telemarketing são todas idênticas, e também as de informática. [Ralph Teixeira] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Palmerim Soares Enviada em: segunda-feira, 1 de outubro de 2007 11:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] combinatoria muito boa Ola amigos da lista, ha algum tempo, venho preparando um livro eletronico sobre analise combinatoria com muitas questoes de bom nivel, todas solucionadas e comentadas, para deixar a disposicao de quem quiser baixar gratuitamente pela internet. Para isso tenho coletado questoes desta lista, de inumeros livros e tambem tenho elaborado algumas questoes ineditas. Acabei de compor a questao abaixo e achei que seria bom propo-la na lista para conhecer diferentes abordagens e comentarios dos mestres. abracos, Palmerim Uma empresa precisa preencher 4 vagas no setor de informática e 3 vagas no setor de telemarketing. Um dos gerentes desta empresa ficou incumbido da tarefa de suprir as vagas escolhendo profissionais entre os 32 funcionários sob sua responsabilidade, dos quais ele sabe que 16 podem trabalhar no setor de informática, 13 podem trabalhar no setor de telemarketing e 12 só podem trabalhar na limpeza. De quantos modos o gerente pode selecionar funcionários capazes de preencher as vagas? = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] circunferencia
Com relação à primeira pergunta... Seja O o centro da circunferência (x-1)^2+(y-3)^=5 , dada abaixo. Veja que é suficiente encontrar o comprimento BM, já que AB=2MB. Denote B=(x0, y0). Obs.: Seria bom ter uma figura ao lado. Pelo teo. de Pitágoras, OM^2=(3-2)^2+(2-1)^2=2. Também pelo Teo de Pit, OB^2=(x0-1)^2+(y0-3)^2=5, pois (x0, y0)=B que está na circunferência. E por último, pelo Teorema de Pitágoras, OB^2=OM^2+MB^2 = 5=2+MB^2 = MB=sqrt(3) e portanto, AB=2sqrt(3). []'s Citando vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]: sei que dSeja C a circunferência x²+y²-2x-6y+5=0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M(2;2). O comprimento de AB é igual a:. sei que d²=(xA-XB)²+(yA-yB)² e que C:(x-1)²+(y-3)²=5 tb achei que Xa+Xb=Ya+Yb=4... acabei fazendo uma salada essa me parece mais fácil: um triangulo de lados : AB=10 e AC=12. O baricentro e o incentro pertencem a base paralela a BC...logo BC = -- Arlane Manoel S Silva MAT-IME-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria muito boa
Ola Ralph, Obrigado pela resposta. Todas as suas suposicoes descritas no P.S. estao absolutamente corretas e repare que sao as mesmas suposicoes do Paulo. Com relacao a sua resposta, tambem nao bate com a minha, que acredito estar perfeitamente correta (embora posso estar redondamente enganado, sabe como sao essas questoes...). De qualquer forma, nao sao 285194 modos, sao bem menos. Aguardo novos comentarios de todos. Um abraco, Palmerim Em 02/10/07, Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em primeiro lugar, usamos um diagrama de Venn para separar as habilitações dos funcionários. Concluímos que há: (A) 9 habilitados para ambas as funções; (B) 7 habilitados apenas para informática; (C) 4 habilitados apenas para telemarketing; (D) 12 não têm habilitação. Suponho que modos distintos correspondem a subconjuntos distintos de funcionários escolhidos para cada vaga. Dos habilitados em ambas (conjunto A), escolhemos x para informática e y para telemarketing. Assim, temos que escolher 4-x do conjunto (B) e 3-y do conjunto (C) para preencher as vagas restantes. O número de maneiras de fazer isto para x e y fixos é: (9 C x)(9-x C y)(7 C 4-x)(4 C 3-y) = 9!7!4!/(x!y!(9-x-y)!(3+x)!(4-x)!(1+y)!(3-y)!) Agora, temos 0=x=4 e 0=y=3. Então faça os 20 cálculos para cada escolha de x e y e adicione tudo. Dá MUITO trabalho, com MUITA conta... pus os x nas colunas e os y nas linhas, e deu: x=0x=1 x=2 x=3 x=4 y=0 140 1260 3024 2352 504 y=1 1890 15120 31752 21168 3780 y=2 5040 35280 63504 35280 5040 y=3 2940 17640 26460 11760 1260 (os termos do Paulo Cesar são apenas 3 deles das pontas, faltam muitos outros!). Somando tudo, a resposta deu 285194. Será que há um jeito mais fácil??? P.S.: Note a minha interpretação da palavra modos... Não basta dizer quem são os escolhidos, não basta dizer de que grupo (A, B, C ou D) vieramtambém tem que se dizer quem vai fazer o quê. Uma escolha onde Alice vai para informática e Antônio para telemarketing é, na minha interpretação, diferente de uma escolha onde Alice vai para telemarketing e Antônio para informática, apesar de ambos serem do conjunto (A). Por outro lado, suponho que as posições de telemarketing são todas idênticas, e também as de informática. [Ralph Teixeira] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Palmerim Soares Enviada em: segunda-feira, 1 de outubro de 2007 11:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] combinatoria muito boa Ola amigos da lista, ha algum tempo, venho preparando um livro eletronico sobre analise combinatoria com muitas questoes de bom nivel, todas solucionadas e comentadas, para deixar a disposicao de quem quiser baixar gratuitamente pela internet. Para isso tenho coletado questoes desta lista, de inumeros livros e tambem tenho elaborado algumas questoes ineditas. Acabei de compor a questao abaixo e achei que seria bom propo-la na lista para conhecer diferentes abordagens e comentarios dos mestres. abracos, Palmerim Uma empresa precisa preencher 4 vagas no setor de informática e 3 vagas no setor de telemarketing. Um dos gerentes desta empresa ficou incumbido da tarefa de suprir as vagas escolhendo profissionais entre os 32 funcionários sob sua responsabilidade, dos quais ele sabe que 16 podem trabalhar no setor de informática, 13 podem trabalhar no setor de telemarketing e 12 só podem trabalhar na limpeza. De quantos modos o gerente pode selecionar funcionários capazes de preencher as vagas? = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE
Já trabalhei lá. Não achei que emitir minha opinião fosse causar tamanha confusão. De qualquer forma, peço desculpas. Em 27/09/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Por favor, calma, Tio Cabri, Como eu me manifestei contra este tipo de off topic, gostaria de esclarecer minha posição. Veja se você concorda: Indicar livros na Lista para alguém que solicita dicas sobre um determinado tema, me parece perfeitamente adequado; até dizer onde o livro pode ser encontrado, especialmente se é um clássico difícil de achar. Não vejo nada de mais. Mas acho diferente, por exemplo, como já aconteceu aqui mais de uma vez, mandarem um email para a lista, do nada, dizendo que um determinado livro foi publicado e está à venda em algum lugar. Você não concorda? Haveria, subliminarmente, uma ação de marketing através da Lista, que não é adequado. Assim, penso que da mesma maneira, indicar Colégios, Cursos, etc, por melhor que seja sua causa (ajudar um amigo, como você disse) gera uma situação desconfortável na lista, pois muitos e muitos participantes já cursaram tais instituições, ou as cursam, ou até trabalham nas mesmas. Assim, mesmo uma pergunta aparentemente banal como a sua, gera uma situação quase de enquete e não é adequada. Veja, você mesmo foi testemunha, recentemente, de um email enviado por mim, infelizmente inadequado, por ter deixado margem a interpretações igualmente inadequadas.Como diz meu filho, sempre atento a NetEtiqueta (acredite, existe isto!) pisei na bola. E pedi desculpas. Uma maneira de resolver questões como a que você propôs seria talvez escrever em off para pessoas da lista com quem você mais se identifica e fazer sua enquete fora da Lista. Eu já fiz isto dezenas de vezes e também já recebi dezenas de emails por fora... Finalizo apenas reafirmando que discordância não significa falta de respeito. Significa apenas, entre pessoas de bem, que somos diferentes e pensamos diferente. Um grande abraço, Nehab Tio Cabri st escreveu: Tem alguém nessa lista que está de saca... e esse não sou eu.itamentepertinente; O uso do off topic não pode ser direcionado a alguém como deseja o Sr Anselmo. O uso do off topic é algo fora da lista mas que muitos daqueles que usam a lista podem responder. E vou falar outra coisa: vocês estão com o testosterona a mil, perguntei uma coisa importante para mim e sei que muitos dessa lista podem ajudar. Mas tem gente que gosta de criticar, acha bonito saca... os outros, vou fazer o quê? Quando eu morava no rio em 1970 poderia dizer que o curso impacto era um bom curso preparatório para ime ita. Hoje eu desconheço, e por isso perguntei na lista. Ora qual o problema disso? Muitos às vezes perguntam um bom livro e cada um dá a sua opinião e não me lembro de alguém sair em defesa dos autores desses livros citados. Fala sério, chega desse assunto, vamos voltar para o trabalho e para os estudos que é o fim dessa lista e àqueles que detestam o off topic simplesmente é só não ler. Abraços Cabri - Original Message - *From:* Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Wednesday, September 26, 2007 10:26 PM *Subject:* RE: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE ACHO QUE ESSE NEGÓCIO DE OFF TOPIC CHEGOU A UM LIMITE... PODERÍAMOS PARAR, POR GENTILEZ, COM ESSA PRAGA... TODOS SABEMOS E-MAILS UNS DOS OUTROS... OFF TOPIC DEVE SER MESMO OFF TOPIC E, POR ISSO MESMO, NÃO DEVE APARECER AQUI... NÃO AO OF TOPIC!!! -- Date: Wed, 26 Sep 2007 21:39:14 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] OFF TOPIC absolutamente INCONVENIENTE Oi, gente, Com TODA franqueza, eu acho que por melhor que sejam as intenções de atender a algum amigo, este tipo de informação é mais do que OFF TOPIC: é absolutamente INCONVENIENTE e sem qualquer cabimento. Há nesta lista, naturalmente, inúmeros profissionais sérios que trabalham nestas instituições e, nestas condições, solicitações desta natreza sequer deveriam ser formuladas. Nehab fabio henrique teixeira de souza escreveu: Ponto de Ensino Em 20/09/07, *Tio Cabri st* [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia, preciso indicar a um amigo o melhor curso preparatório para o concurso do IME - ITA na cidade do Rio de Janeiro. Gostaria da opinião dos senhores dessa lista. Obrigado Cabri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= --
[obm-l]Para Nicolau e Ralph
Nicolau Corção Saldanha e Ralph Teixeira, É com prazer que vos informo que vocês foram alunos do meu tio (Professor Secco) no Impacto. Não sei se ainda se lembram dele, mas fico muito contente de ter aqui na lista para ajudar-nos professores de vossos níveis, medalhistas de ouro na IMO. Abraço e parabéns Nicolau pelo seu ótimo trabalho. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
