Re: [obm-l] Seqüência recursiva
Oi, Alonso,
O que eu argumentei (e talvez no tenha sido claro) sobre o "processo
mental" que levou soluo usando matrizes.
Ainda acho que a soluo apresentada foi conseqncia da percepo de
que polinmios caractersticos usados na soluo das recorrncias,
soluo tipica para elas, podem ser "olhados" em outro domnio de
conhecimento - e ai se deu a mudana de paradigma - o uso do polinmio
caracterstico no universo das transformaes linares...
Mas claro s mesmo o Nicolau para responder a isto: ou seja, como as
coisas rolaram em seus "neurnios"... (e me surprender se ele
responder como "rolaram" suas sinapses para bolar a referida
soluo...:-)
Quanto segunda parte de seu email, no h o que discutir:
naturalmente a questo relevante no calcular o limite (que quase
sempre faclimo). O problema mostrar que ele existe, como eu acho
que foi o que voc pontuou..
Abrao,
Nehab
ralonso escreveu:
Ol
Nehab:
Dei uma olhada no documento, mas o "pulo
do gato" mesmo o uso
de matrizes. Em relao a fraes
contnuas basta notar que
lim (n-- oo) x_{n+1} = lim (n--oo) x_n =
x.
Assim x = 4 - 3/x, == x^2
-4x + 3 = 0.
x = 1 ou x=3. Agora
precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos. Um deles
um atrator. Note que resolver a equao
tambm uma forma de resolver alguns limites de forma
mais simplificada.
[]s
Carlos Nehab wrote:
Oi, Alonso,
No sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me
corrigir)...
O Nicolau j nos brindou h algum tempo com uma soluo
muito bonita e seguindo esta mesma linha de racioccinio (usando
matrizes) para resolver recorrncias.
(veja no final de
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
Quanto a sua pergunta, as "equaes de diferenas"
podem ser usadas mas acho "bala de canho" para este particular
exerccio. Se voc tiver alguma familiaridade
com Fraes Contnuas... Veja:
A recorrncia dada indica que x_n = 4 -
3 / (4 - 3 / (4 - 3/ .)) ,
que uma frao contnua onde se voc
escrever x_n = p_n/q_n (que usual no estudo das fraes
contnuas e foi um dos truques usados pelo Nicolau), voc
obtm:
p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n (1) e
q_n+1 = p_n
(2)
Ai fica fcil (neste exerccio, especialmente) resolver
estas recorrncias, mas no a original, que feiosa.
"Olhando" para x_n como p_n/q_n se eliminou a "deconfortvel" parcela
1/x_n da recorrncia original. Ou seja, as recorrncias
para p_n e q_n so banais.
Se voc substituir (2) em (1) o problema acabou... Voc
obtm p_n+1 = 4.p_n - 3.p_n-1, cuja soluo
simples, e cujo polinmio caracterstico coincide
com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar" dele nas matrizes...
O legal mesmo da soluo do Nicolau (no meu entendimento
- se eu estiver equivocado ele me corrigir...) ter este
outro "olhar" do polinmio caracterstico para os zilhes
de exerccios que usam recorrncia.
Se quiser d uma olhada emwww.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc
voc ver dezenas de relaes de recorrncias
e seus truques... (mas sem o fecho do problema com matrizes).
Abraos,
Nehab
Ol
Nicolau.
"Se x_n = p/q ento x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
Bastante criativa sua soluo de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equaes de diferenas?
Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equao de diferenas
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equao diferencial
do tipo
y y' = 4 y - 3 .
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300,
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Achei esse problema em um livro de Anlise e estou tendo
dificuldades
em
resolv-lo. possvel achar o termo geral em
funo de a_1 e n?
Seja (x_n) uma seqncia definida indutivamente por x_1
3 e
x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
[Omitindo o resto do enunciado]
No necessrio achar o termo geral para resolver
o problema
mas como voc pediu o termo geral aqui vai.
Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q ento x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A so 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
[]s, N.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Re: [obm-l] Seqüência recursiva
Carlos Nehab wrote:
Oi, Alonso,
O que eu argumentei (e talvez não tenha sido claro) é sobre o
processo mental que levou à solução usando matrizes.
Ainda acho que a solução apresentada foi conseqüência da percepção de
que polinômios característicos usados na solução das recorrências,
solução tipica para elas, podem ser olhados em outro domínio de
conhecimento - e ai se deu a mudança de paradigma - o uso do polinômio
característico no universo das transformações linares...
Mas é claro só mesmo o Nicolau para responder a isto: ou seja, como as
coisas rolaram em seus neurônios... (e me surprenderá se ele
responder como rolaram suas sinapses para bolar a referida
solução...:-)
Exatamente! Nicolau deve ter observado alguma relação de
correspondência, ou seja,
algum morfismo entre essas duas áreas. Esse tipo de visão é típica de
pessoas com
pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente
como ele faz
essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses
morfismos... É surpreendente
e interessante, de qualquer forma.
[]s/
Quanto à segunda parte de seu email, não há o que discutir:
naturalmente a questão relevante não é calcular o limite (que quase
sempre é facílimo). O problema é mostrar que ele existe, como eu acho
que foi o que você pontuou..
Abração,
Nehab
ralonso escreveu:
Olá Nehab:
Dei uma olhada no documento, mas o pulo do gato é mesmo o
uso
de matrizes. Em relação a frações contínuas basta notar que
lim (n-- oo) x_{n+1} = lim (n--oo) x_n = x.
Assim x = 4 - 3/x, == x^2 -4x + 3 = 0.
x = 1 ou x=3. Agora
precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos. Um deles
é um atrator. Note que resolver a equação
é também uma forma de resolver alguns limites de forma
mais simplificada.
[]s
Carlos Nehab wrote:
Oi, Alonso,
Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução muito
bonita e seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando
matrizes) para resolver recorrências.
(veja no final de
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
Quanto a sua pergunta, as equações de diferenças podem ser usadas
mas acho bala de canhão para este particular exercício.Se
você tiver alguma familiaridade com Frações Contínuas... Veja:
A recorrência dada indica que x_n = 4 - 3 / (4 - 3 / (4 -
3/ .)) ,
que é uma fração contínua onde se você escrever x_n = p_n/q_n
(que é usual no estudo das frações contínuas e foi um dos truques
usados pelo Nicolau), você obtém:
p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n (1) e
q_n+1 = p_n(2)
Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver estas
recorrências, mas não a original, que é feiosa. Olhando para x_n
como p_n/q_n se eliminou a deconfortável parcela 1/x_n da
recorrência original. Ou seja, as recorrências para p_n e q_n
são banais.
Se você substituir (2) em (1) o problema acabou... Você obtém
p_n+1 = 4.p_n - 3.p_n-1, cuja solução é simples, e cujo polinômio
característico coincide com o usado pelo Nicolau, embora com o
olhar dele nas matrizes...
O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento - se eu
estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este outro olhar do
polinômio característico para os zilhões de exercícios que usam
recorrência.
Se quiser dê uma olhada
em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc você verá dezenas
de relações de recorrências e seus truques... (mas sem o fecho do
problema com matrizes).
Abraços,
Nehab
Olá Nicolau.
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças? Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo
y y' = 4 y - 3 .
Nicolau C. Saldanha wrote:
On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo
dificuldades em
resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e
n?
Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 3 e
x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
[Omitindo o resto do enunciado]
Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.
Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2)
Re: [obm-l] Seqüência recursiva
Obrigado a todos pelos comentários elogiosos feitos a minha solução. Quanto a de onde saíram estas matrizes, o que eu posso dizer é que a esta altura para mim isto é uma idéia velha, que eu já vi ser aplicada um monte de vezes. Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes. []s, N. Exatamente! Nicolau deve ter observado alguma relação de correspondência, ou seja, algum morfismo entre essas duas áreas. Esse tipo de visão é típica de pessoas com pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente como ele faz essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses morfismos... É surpreendente e interessante, de qualquer forma. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] ANGULOS RETOS
Alguém pode, por favor, resolver esta: (EMMRJ-71) Os ponteiros de um relógio (das horas e dos minutos) em 24 horas formam: a) 48 ângulos retos. b) 4 ângulos retos. c) 24 ângulos retos. d) 22 ângulos retos. e) 23 ângulos retos. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] ANGULOS RETOS
Um angulo reto é obtido a partir de quando os ponteiros coincidem ou de quando estão em oposição. Situações que acontecem a cada volta completa do ponteiro grande. Como ele deverá dar 24 voltas os ponteiros farão 48 angulos retos. Parece então que a opção é a). Em 17/10/07, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu: *Alguém pode, por favor, resolver esta:* * * *(EMMRJ-71) Os ponteiros de um relógio (das horas e dos minutos) em 24 horas formam:* * * *a) 48 ângulos retos.* *b) 4 ângulos retos.* *c) 24 ângulos retos.* *d) 22 ângulos retos.* *e) 23 ângulos retos.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* -- Fernando A Candeias
Re: [obm-l] Seqüência recursiva
Me lembro de ter aprendido isso em um curso de análise complexa, onde estudavamos funções de Möbius e tinha me esquecido deste detalhe: Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes. Fica como exercício a demonstração deste fato mencionado pelo Nicolau.Desculpe minha ignorância no tema, mas existe alguma relação das funções de Möbius usadas em análise complexa com a função de Möbius clássica usada em teoria dos números? http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_function Vi algo sobre álgebras de incidência mas ainda não tive tempo para estudar melhor o assunto. Sou apenas um analista de sistemas que gosta de matemática ... Mas o assunto é extremamente interessante, vale a pena ler a respeito. []s Nicolau C. Saldanha wrote: Obrigado a todos pelos comentários elogiosos feitos a minha solução. Quanto a de onde saíram estas matrizes, o que eu posso dizer é que a esta altura para mim isto é uma idéia velha, que eu já vi ser aplicada um monte de vezes. Uma função da forma f(z) = (az+b)/(cz+d) é conhecida como função de Möbius e a composição de funções de Möbius é feita por multiplicação de matrizes. []s, N. Exatamente! Nicolau deve ter observado alguma relação de correspondência, ou seja, algum morfismo entre essas duas áreas. Esse tipo de visão é típica de pessoas com pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi exatamente como ele faz essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói esses morfismos... É surpreendente e interessante, de qualquer forma. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] UMA DA AMAN
Alguém pode, por favor, resolver esta: (AMAN) A área do triângulo que tem dois vértices nos pontos de intersecção da curva x2 6x + y = 0 com os eixos dos X e o 3º vértice em coincidência com o ponto máximo da curva é igual a: a) 9.b) 18. c) 24. d) 27.e) 54. DESDE JÁ AGRADEÇO
Re: [obm-l] UMA DA AMAN
Ola, Então primeiro você tem que calcular os pontos de intersecção e o ponto de máximo da curva. Para calcular os pontos de intersecção basta igualar o valor de y igual a zero: x² - 6x =0 = x=0 e x=6 Logo as coordenadas dos pontos são: (0,0) e (0,6) Para calcular o ponto de máximo, você pode usar a relação: y = ax² + bx + c x= - b/2a ey= c -b²/4a Para a função ter máximo o valor de deve ser inferior a zero, no caso positivo e ela terá ponto de mínimo. Para o caso de y= -x² + 6x as coordenadas do ponto são (3,9). Você tem um triangulo de base 6 e altura 9: A=6*9/2= 27 Resposta D Abraços, -- Gustavo Simões Araújo
Re: [obm-l] Ajuda!
*Obrigado!* Em 17/10/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Cristovao, faca f(d) = d^2 - sqrt(d) - 2,477, entao: f(2) = 4 - sqrt(2) - 2,477 4 - 1,42 - 2,477 = 0,103 0 alias.. parece que nossa raiz esta bem proxima de 2.. :) e como a funcao eh crescente para x1, temos que esta é nossa única raiz.. [para ver que eh crescente, apenas derive e analise o sinal! :)] nao consegui encontrar uma saida analitica.. abracos, Salhab On 10/16/07, Cristóvão Arruda [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, alguém acharia a resolução deste simples problema? 2,477 = D^2 - D^1/2 Abraços.
[obm-l] [obm-l] Horário das Provas
Olá, queria esclarecer uma dúvida a respeito do horário de realização da terceira fase da obm. Segundo o site da OBM, quem for do nível 3 (não importa os outros níveis para este caso) realizará a prova no Sábado 27 e Domingo 28 de outubro às 14 horas (horário de Brasília). Acontece que quem for prestar vestibular para a PUC, inclusive querendo fazer matemática ou engenharia, terá provas dia 28, das 15H às 19H. Alguma pode ser feita ou o estudante, nesse caso, terá de optar por uma das provas? Grato, Pedro Lazéra Cardoso. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
