Bom dia!! Alguém poderia me ajudar? Empaquei nessas quatro questões do livro de Análise II do Elon.
Desde já, agradeço. 1) Seja f: U -> R^n, onde U é um subconjunto de R^m, uma função diferenciável no aberto U. Se para algum B pertencente a R^n, a imagem inversa de B possui um ponto de acumulação A pertencente a pertencente a U então f' (A): R^m -> R^n não é injetiva. 2) Sejam f: U -> R^n lipschitiziana no aberto U de R^m, com A pertencente a U, e g: V -> R^p diferenciável no aberto V de R^n, com f(U) contido em V e B=f(A). Mostre que se g'(B) = 0 então (g(f(x)): U -> R^p é diferenciável no ponto A com (g(f(x))'(A) = 0. 3) Se f: U -> R^3 é de classe C^1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U de R^4 então |f(x)| não assume máximo em X pertencente a U. Na questão abaixo, D representa delta, |f - g|_1 é para ser considerado o "1" com indice e f|K representa f restrita a K. 4)Sejam f.g: U -> R^n diferenciáveis no aberto U de R^m, D um real positivo e X subconjunto de U. Dizemos que f e g são delta próximas na norma C^1 em X e escrevemos |f - g|_1 < D em X quando vale |f(x) - g(x)| < D e |f'(x) - g'(x)| < Dpara todo x pertencente a X. Seja K um subconjunto compacto de U e f:U -> R^n de classe C^1, tal que f|K é uma imersão. Prove que existe D > 0 tal que se a aplicação g: U -> R^n é de classe C^1 e |g - f|_1 < D em K, então g|K é uma imersão.
