Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
2008/9/21 Bouskela [EMAIL PROTECTED]: Saudações a todos! Salve Bouskela ! Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei de Benford (a lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, particularmente, não sei de nada a respeito... Eu nunca ouvi falar disso antes. Mas isso não quer dizer nada. Mas como você falou de 1° dígito, eu lembrei de um problema sobre primeiros dígitos que eu (re-)encontrei ontem. Fica aí um exercício diferente : Seja a seqüência a_n definida pelo primeiro dígito de 2^n em base 10. Portanto, ela começa assim : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, ... O 7 aparece mais vezes do que o 5 ? Porquê ? E do que o 8 ? E qual é a freqüência do 1 ? Sds., AB Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Ops, uma correção na minha solução, a permutação de 5 elementos com 3 repetições é igual a 20 e não 10. Assim, temos 129 . 3 . 20 = 7200. Descontando os 720 ficamos com 6480. Vanderlei Em 20/09/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hermann, você pode escolher os três algarismos diferentes de C10,3 = 120, onde Cn,p é o número de combinações de n elementos, tomados p a p. Depois, basta escolher qual deles aparecerá três vezes e permutar, ou seja, teremos 120 . 3 . P5, 3 = 360 . 10 = 3600 números, onde P5,3 é o número de permutações de 5 elementos com 3 repetições. Mas nestes estão incluídos aqueles que iniciam por zero e portanto, devemos descontá-los. Se o número inicia por zero, temos que escolher outros dois números de C9,2 = 36 maneiras diferentes. Se o zero for único, teremos 2 . P4,3 = 8 possibilidades e se o zero aparecer três vezes, teremos P4, 2 = 12 possibilidades. Assim, devemos desconsiderar 36 . (8 + 12) = 720 números de 3600, ou seja, restaram finalmente 3600 - 720 = 2880. Acho que é isso. Se não for, poste outra mensagem que pensamos melhor na solução. Vanderlei Em 19/09/08, Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Senhores estou apanhando, combinatória realmente..., gostaria de outro auxílio. Obrigado Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Abraços Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] obm
olá, Alguém pode me dar alguma dica de como provar que: sen (a) + sen (b) = 2 sen[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] sen (a) - sen (b) = 2 cos[(a + b)/2] . sen[(a - b)/2] cos (a) + cos (b) = 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] cos (a) - cos (b) = - 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] Agradeço qualquer dica. Valdoir Wathier
Re: [obm-l] obm
Partindo das fórmulas de soma e diferença de arcos, sai - Original Message - From: Valdoir Wathier To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 21, 2008 10:55 AM Subject: [obm-l] obm olá, Alguém pode me dar alguma dica de como provar que: sen (a) + sen (b) = 2 sen[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] sen (a) - sen (b) = 2 cos[(a + b)/2] . sen[(a - b)/2] cos (a) + cos (b) = 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] cos (a) - cos (b) = - 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] Agradeço qualquer dica. Valdoir Wathier
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
É muito estranha essa tal Lei de Benford. Quanto a potências de 2 já cai até numa das provas da Cone Sul e na resolução há comentários sobre o comportamento geral da ocorrência dos dígitos segundo sua posição na representação decimal. O estranho é que o dígito 1 aparece com probabilidade log2 ( logaritmo natural de 2 ) na primeira posição. Acho que há muita coisa interessante sobre isso na Internet. Um abraço Tarso Moura Leitão.
RES: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Salve, Bernardo! Demonstra-se (eu disse demonstra-se!) que TODAS as potenciações de inteiros obedecem à Lei de Benford. I.e., a probabilidade de ocorrência (P) do 1º dígito (n) é a seguinte: P(n) = log10 (1 + 1/n) ; sendo log10 = logaritmo na base 10 . Sds., [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: domingo, 21 de setembro de 2008 04:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias 2008/9/21 Bouskela [EMAIL PROTECTED]: Saudações a todos! Salve Bouskela ! Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei de Benford (a lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, particularmente, não sei de nada a respeito... Eu nunca ouvi falar disso antes. Mas isso não quer dizer nada. Mas como você falou de 1° dígito, eu lembrei de um problema sobre primeiros dígitos que eu (re-)encontrei ontem. Fica aí um exercício diferente : Seja a seqüência a_n definida pelo primeiro dígito de 2^n em base 10. Portanto, ela começa assim : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, ... O 7 aparece mais vezes do que o 5 ? Porquê ? E do que o 8 ? E qual é a freqüência do 1 ? Sds., AB Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] obm
É assunto de sala de aula, mas muito importante! Escreva as fórmulas para sen(a+b) e sen(a - b ), some-as membro a membro e, em seguida, subtraia-as membro a membro. Faça o mesmo com cos( a + b ) e cos (a - b ). Isso resolve o problema. Um abraço Tarso de Moura Leitão
Re: [obm-l] obm
Temos: sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x) sen(x - y) = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x) Somando: sen(x + y) + sen(x - y) = 2.sen(x).cos(y) (*) Fazendo x + y = a e x - y = b, temos x = (a + b)/2 e y = (a - b)/2. Substituindo em (*), o resultado segue: sen(a) + sen(b) = 2.sen[(a + b)/2].cos[(a - b)/2] O resto é parecido, só brincar com o seno e cosseno de soma e diferença de dois arcos. Abraços, Sávio Ribas.
RES: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Pois é...
Fuçando na Internet, encontrei o seguinte:
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/benford/ejemplos.html
¿Todo conjunto de datos (naturales, económicos) es un conjunto de Benford?
¿Serán conjuntos de Benford ...:?
10 ¿... la lista de los premios del Sorteo de Navidad del 2005?
Solución javascript:hideShow('hint10');
Lamentablemente, la respuesta es negativa. Ni la Lotería Nacional, ni ningún
juego de azar cumple benford.
No te podría servir para predecir los números de la Lotería, el resultado de
la lotería es totalmente aleatorio, de forma que cada número tiene la misma
probabilidad de aparecer. A largo plazo, las frecuencias del primer dígito
deberían estar, por tanto, en proporción exacta con respecto a la cantidad
de números de la lotería que empezaran por ese dígito
En conclusión, la Ley de Benford necesita datos que no sean totalmente
aleatorios ni muy condicionados, sino que estén más o menos en medio. Los
datos pueden ser de una gran variedad y suelen ser el resultado típico de
diversos procesos, con muchas influencias, como ocurre con la mayoría de
datos extraidos de fenómenos naturales, sociales y económicos.
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
_
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Tarso Moura Leitão
Enviada em: domingo, 21 de setembro de 2008 12:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
É muito estranha essa tal Lei de Benford. Quanto a potências de 2 já cai até
numa das provas da Cone Sul e na resolução há comentários sobre o
comportamento geral da ocorrência dos dígitos segundo sua posição na
representação decimal. O estranho é que o dígito 1 aparece com probabilidade
log2 ( logaritmo natural de 2 ) na primeira posição. Acho que há muita coisa
interessante sobre isso na Internet.
Um abraço
Tarso Moura Leitão.
Re: [obm-l] obm
Ok. Obrigado a todos, já consegui fazer! On Sun, Sep 21, 2008 at 12:36 PM, Sávio Ribas [EMAIL PROTECTED] wrote: Temos: sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x) sen(x - y) = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x) Somando: sen(x + y) + sen(x - y) = 2.sen(x).cos(y) (*) Fazendo x + y = a e x - y = b, temos x = (a + b)/2 e y = (a - b)/2. Substituindo em (*), o resultado segue: sen(a) + sen(b) = 2.sen[(a + b)/2].cos[(a - b)/2] O resto é parecido, só brincar com o seno e cosseno de soma e diferença de dois arcos. Abraços, Sávio Ribas.
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. Um abraço Tarso Moura Leitão
Re: [obm-l] Probabilidade
Lucas, não consegui entender como tenho que escolher 6 dentre 55 - . se são 6+ e 54-. Você poderia dar mais essa dica? Em 20/09/08, Lucas Tiago Castro Jesus [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bem, creio que este exercício pode ser resolvido pelo primeiro Lema de Kaplansky, dado 60 números temos C(60,6) jeito de escolher os números. Vamos tentar calcular o número de combinações tais que não haja dois elementos consecutivos colocando sinal de + e - nos números, + quando for escolhido, - caso contrário, teremos a seguitne configuração ++--+-+-..- (Há 60 sinais 6 deles são + e 54 são -) Nenhum um mais pode ficar junto, portanto um jeito de contar é ficando os - deixando espaço entre eles: _-_-_-_-_-_-_-_-_ bem agora temos que escolher 6 dentre os 55 _ que é calculado como C(55,6) Logo a probabilidade é 1- C(55,6)/C(60,6)=1-(55!.54!)/(49!.60!) Alternativa e. Creio que seja isso.
Re: [obm-l] Probabilidade
Imagine se fosse 5 '-' e e 5 '+'. Fixando os '-' temos: _-_-_-_-_-_ Note que temos 6 lugares para podermos colocar o +. Espero ter ajudado
Re: [obm-l] Probabilidade
Ok. Ajudou muito. Em 21/09/08, Lucas Tiago Castro Jesus [EMAIL PROTECTED] escreveu: Imagine se fosse 5 '-' e e 5 '+'. Fixando os '-' temos: _-_-_-_-_-_ Note que temos 6 lugares para podermos colocar o +. Espero ter ajudado
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu celular: 2^0 = 1 2^4 = 16 2^7 = 128 2^10 = 1024 2^14 = 16384 2^17 = 131072 2^20 = 1048576 2^24 = 16777216 2^27 = 134217728 2^30 = 1073741824 2^34 = 17179869184 2^37 = 137438953472 2^40 = 1099511627776 2^44 = 17592186044416 2^47 = 140737488355328 2^50 = 1125899906842624 2^54 = 18014398509481984 . . . 2^100 = 1267650600228229401496703205376. Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4... começam com 1. ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. Um abraço Tarso Moura Leitão
Re: [obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Fiz tanta conta que errei a soma : de [0 , 100] temos 31 potências de 2 que começam com o algarismo 1. Em 21/09/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estranha mas verdadeira.Acabei de comprovar com a calculadora do meu celular: 2^0 = 1 2^4 = 16 2^7 = 128 2^10 = 1024 2^14 = 16384 2^17 = 131072 2^20 = 1048576 2^24 = 16777216 2^27 = 134217728 2^30 = 1073741824 2^34 = 17179869184 2^37 = 137438953472 2^40 = 1099511627776 2^44 = 17592186044416 2^47 = 140737488355328 2^50 = 1125899906842624 2^54 = 18014398509481984 . . . 2^100 = 1267650600228229401496703205376. Os expoentes sempre obedecendo a seqüência : 0 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4 - 3 - 3 - 4... começam com 1. ou seja ,de [0 , 100] temos 32 potências que começam com o algarismo 1 Em 21/09/08, Tarso Moura Leitão [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma pequena correção: o logaritmo que mencionei no e-mail anterior está errado, o correto é log2, logaritmo decimal de 2. Na questão da Cone Sul pedia-se para provar que dentre as potências de 2 com o expoente entre 1 e 1000 000 mais de 300 mil começam com o algarismo 1. Eta coisa estranha. Um abraço Tarso Moura Leitão
[obm-l] Análise combinatória: um problema difícil
Este não é um desses probleminhas fáceis de Análise Combinatória que proliferam em concursos públicos! Um prédio comercial tem n andares e um único elevador. O elevador tem capacidade para transportar p passageiros. Numa fatídica 2ª feira, no andar térreo (1º andar do prédio), entram no elevador p passageiros. O elevador sobe até o n-ésimo andar, parando em TODOS os andares. Em cada andar, pelo menos um passageiro sai do elevador e pelo um novo passageiro entra no elevador. I.e., é possível, p.ex., que, num andar genérico, saiam 5 passageiros e entrem apenas 2 (neste caso, é óbvio, o elevador deve chegar a este andar com, no mínimo, 5 passageiros). Desde que a capacidade do elevador não seja ultrapassada, é possível também que, num andar genérico, entre um número maior de passageiros em relação ao número dos que saem. É claro, portanto, que o elevador chegará ao n-ésimo andar com pelo menos 1 passageiro e, no máximo, com p passageiros. Pergunta-se: 1] Qual é a probabilidade do elevador chegar no n-ésimo andar com apenas 1 passageiro? 2] E com p passageiros? 3] E com k passageiros? ( 0 k p+1 ) Hint: Pra começar, recomendo botar uns números nas variáveis: Sugiro: n = 10 ; p = 8 . [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
