Esta probabilidade depende da pergunta. Estou fazendo as hipóteses usuais
mas não óbivas de que, a priori, todos os prisioneiros têm a mesma chance de
serem libertados (e de que o carcereiro não mente, etc.). Eu sei que a minha
escrita é prolixa e complicada, mas procurei ser detalhado.
i) Carcereiro, você sabe o nome dos dois libertados. Jogue uma moeda e
diga-me um deles.
Liberados: AB, AC ou BC. Resposta: A, B, A, C, B ou C. Tudo equiprovavel.
Neste caso, há 2/6 de probabilidade de a resposta ser A, 2/6 de B e 2/6
de C. Então há 2/6 de chance de A ficar após a resposta com certeza de que
será liberado, e 4/6 de chance de ele ser apenas um dos 2 restantes, isto é,
da chance dele ser liberado cair para 1/2.
Em suma, no começo A tem p=2/3 de probabilidade de ser um dos libertados.
Por causa da pergunta, existe 1/3 de chance de p subir para 1, e existe 2/3
de chance de p descer para 1/2. Note que 1/3*100%+2/3*1/2=2/3=p, que era a
chance inicial de ele ser liberado e que não muda **antes** da pergunta.
ii) Qual o nome do outro a ser libertado.
Se eu fosse o carcereiro, tivesse que responder, não pudesse mentir, e A não
fosse um dos libertados, minha resposta seria Que outro?.
Então, há 1/3 de chance de responder Que outro?, e A saberia que se
ferrou; e há 2/3 de chance de responder o nome do outro (1/3 de chance da
resposta ser B e 1/3 de ser C), e A saberia que está livre (pois a resposta
não foi que outro?).
Note que 1/3*0+2/3*100%=2/3, de novo.
iii) Enfim, a pergunta mais rebuscada seria: Carcereiro, se eu for um dos
libertados, me diz o nome do outro como em (ii); mas, se eu não for um
deles, jogue uma moeda e me diga um dos dois nomes, como em (i).
Então temos 1/3 de chance de cair em (i), que se divide em 1/6 de chance de
resposta B e 1/6 de resposta C; e temos 2/3 de chance de cair em (ii),
que se divide em 1/3 de resposta B e 1/3 de resposta C.
Agora, se tudo o que A ouve é resposta C, ele não sabe se este C são os
1/6 de (i) ou os 1/3 de (ii). De fato, dada que a resposta é C, as situações
(i) e (ii) têm probabilidades na razão 1:2, isto é, temos 1/3 para (i) e 2/3
para (ii).
Se a resposta for B, o raciocínio é o mesmo: após a resposta, A tem 1/3 de
chance de ficar preso e 2/3 de ser um dos liberados.
Em suma, não interessa qual é a resposta: após ouvi-la, seja ela B ou
C, o prisioneiro A tem 1/3 de chance de ficar preso e 2/3 de ser
libertado, que é exatamente como tudo começou. Para as chances de A, a
resposta da pergunta (iii) é completamente inútil.
Abraço,
Ralph
P.S.: Quanto ao alienígena, cuidado, João -- seu raciocínio depende
tremendamente de COMO os 58 foram eliminados... Se o alienígena é
seu amigo, no sentido que não podia te escolher mas te prometeu que se
tivesse que te eliminar você seria o último, seu raciocínio está certo. Mas,
se você é só um sortudo que escapou até agora por nenhum motivo especial,
suas chances são 50% que nem as do outro fulano que sobrou, então trocar não
ajuda em nada. Se o alienígena for amigo do OUTRO cara no sentido acima,
não troque. :P
2010/4/25 Douglas Ribeiro Silva doug...@gmail.com
Olá pessoal!
Estou fazendo o curso de Sistemas Probabilísticos e gostaria de uma
ajuda com o seguinte problema:
De 3 prisioneiros, A, B e C, serão escolhidos 2 para ser libertados. O
prisioneiro A pensa em perguntar ao carcereiro se ele será libertado,
mas acha que não é ético da parte dele. Então ele pensa em perguntar o
nome do outro prisioneiro que será libertado. No entanto, ele desiste
de perguntar, pois após fazer a pergunta, A acha que a probabilidade
dele ser solto passa de 2/3 para 1/2. Mostre porque o raciocício de A
está errado.
Até mais!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
