[obm-l] Termo máximo de (a+b)^n (correção final no texto)
Caros Colegas, Gostaria de uma demonstração do fato abaixo. Sendo a e b números reais dados (não nulos) e n um número inteiro positivo, a ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do desenvolvimento da potência (a+b)^n, segundo as potências decrescentes de a é dada por: p = 1 + parte inteira de [|b|(n+1)/(|a| + |b|)],se n é ímpar. Quando n é par, há dois termos máximos: os de ordem p e p+1. ( |a| e |b| indicam os módulos de a e b, respectivamente.) Desde já, muito grato. Paulo = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Termo máximo de (a+b)^n (correção fin al no texto)
Oi, Paulo. Vou supor que a e b são positivos (no final, é só trocá-los por seus valores absolutos, já que a questão pede mesmo o termo de máximo valor absoluto). Em potências decrescentes de a, cada termo é da forma T_p=C(n,p).a^(n-p).b^p. Compare dois termos sucessivos: T_(p+1)/T_p = ... = (b/a).((n-p)/(p+1)) A sequencia T_p é crescente enquanto isso aí for maior do que 1, isto é, enquanto: b(n-p) a(p+1) == p (bn-a)/(a+b) == p+1 b(n+1)/(a+b) Em suma, z=[b(n+1)/(a+b)] ([.]=parte inteira) é o último inteiro onde ainda vale T_(z-1)T_z. Portanto, T_z é o termo máximo. Agora, cuidado, como o primeiro termo é T_0, a ORDEM do termo máximo é z+1, daí a resposta. O negócio de n par e ímpar está errado. O que eu posso dizer é o seguinte: pode acontecer de b(n+1)/(a+b) ser inteiro, digamos, k=b(n+1)/(a+b). Neste caso, as contas acima mostram que T_k/T_(k-1)=1, isto é, há dois termos máximos, que são T_(k-1) e T_k (os termos de ordem k e k+1). (Note que, se a=b, esta condição passa a ser (n+1)/2 é inteiro, o que significa que n é ímpar -- mas isso seria apenas no caso em que a=b). Abraço, Ralph 2010/11/5 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br Caros Colegas, Gostaria de uma demonstração do fato abaixo. Sendo a e b números reais dados (não nulos) e n um número inteiro positivo, a ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do desenvolvimento da potência (a+b)^n, segundo as potências decrescentes de a é dada por: p = 1 + parte inteira de [|b|(n+1)/(|a| + |b|)],se n é ímpar. Quando n é par, há dois termos máximos: os de ordem p e p+1. ( |a| e |b| indicam os módulos de a e b, respectivamente.) Desde já, muito grato. Paulo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Áreas da Matemática
Olá, pessoal!!! Tudo bem??? Estou pensando em me aprofundar em algum assunto específico da Matemática. Em primeiro lugar, eu preciso saber quais são os principais ramos dessa ciência. Na graduação, ouvi falar vagamente em Análise, Estatística, Teoria dos Números etc. Consultei alguns sites e não fiquei satisfeito. Também não me lembro de ter visto algo do tipo em algum livro. Alguém pode me ajudar? Abração para todos!!! Luiz
[obm-l] Re: [obm-l] Áreas da Matemática
Olha, separar a matemática em áreas é um tanto complicado. Mas basicamente a matemática pura está dividida em Análise, Álgebra, Topologia e Geometria Esta divisão está mais para os métodos utilizados do que os problemas resolvidos. Por exemplo, para resolver um problema de teoria dos números, você pode empregar diversas técnicas análiticas, algébricas ou até geométricas. Eu acho que antes de se aprofundar em alguma coisa, é bom ter uma visão do todo. Ou seja, estude um livro de análise, um de álgebra, etc. Matemática não pode ser compartimentada em áreas completamente separadas. O básico de tudo você terá que saber para se aprofundar em alguma coisa. Sem dúvida, você deveria pelo menos ler algum livro de Análise Real e algum de Álgebra Linear. 2010/11/5 Luiz Rodrigues rodrigue...@gmail.com Olá, pessoal!!! Tudo bem??? Estou pensando em me aprofundar em algum assunto específico da Matemática. Em primeiro lugar, eu preciso saber quais são os principais ramos dessa ciência. Na graduação, ouvi falar vagamente em Análise, Estatística, Teoria dos Números etc. Consultei alguns sites e não fiquei satisfeito. Também não me lembro de ter visto algo do tipo em algum livro. Alguém pode me ajudar? Abração para todos!!! Luiz -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Re: [obm-l] Áreas da Matemática
Luiz a matemática atual é muito grande e tem muitos ramos, mas tradicionalmente ela esta dividida em Análise, Álgebra e Geometria/Topologia. A Estatística assim como a Ciência da Computação já foi parte da matemática. A estatística estava na parte de análise, mas como cresceu muito, hoje em dia existem cursos de graduação específicos em Estatística e Probabilidade. Dentro da Análise encontramos Equações Diferenciais Ordinárias, hoje em dia estudada em sistemas dinâmicos e teoria da medida. Além de Equações Diferenciais Parciais, Análise Funcional, etc. Na resolução numérica das Equações Diferenciais, possível graças aos computadores, desenvolveu o que hoje é conhecido como métodos numéricos e, em algumas universidades é oferecido um curso de graduação voltados para estes métodos que é chamado de Matemática Aplicada. Além disso, dentro deste curso são abordados os métodos de matemática discreta, teoria de controle etc. Dentro da Álgebra encontramos estudo de anéis não associativos (álgebra de Lie), grupos infinitos (Grupos pró-finitos, grupos de Lie), geometria algébrica (teoria de Moduli, variedades algébricas), teoria de representação, etc Dentro da Geometria/Topologia encontramos o estudo de Geometria Riemanniana (superfícies mínimas, superfícies de Curvatura Cédia ou Gausiana constantes), Topologia Algébrica (homologia, índice de Morse, característica de Euler). Uma observação pertinente é que estes ramos não são desconectados, por exemplo um pesquisador de geometria algébrica usa diversos aspectos de Topologia álgebrica, ou um pesquisador de Geometria Riemaniana pode estar tentando resolver alguma equação diferencial. Espero que isto sirva para você se localizar. [] Jones 2010/11/5 Luiz Rodrigues rodrigue...@gmail.com Olá, pessoal!!! Tudo bem??? Estou pensando em me aprofundar em algum assunto específico da Matemática. Em primeiro lugar, eu preciso saber quais são os principais ramos dessa ciência. Na graduação, ouvi falar vagamente em Análise, Estatística, Teoria dos Números etc. Consultei alguns sites e não fiquei satisfeito. Também não me lembro de ter visto algo do tipo em algum livro. Alguém pode me ajudar? Abração para todos!!! Luiz
[obm-l] Ordem do termo máximo de (a+b)^(-m)
Caros Colegas, Gostaria, se possível for, de obter uma demonstração do teorema abaixo. Sendo a e b números reais dados, com |a||b|, e m um número inteiro positivo, a ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do desenvolvimento da potência (a+b)^(-m), segundo as potências decrescentes de a, é dada por: p = 1 + parte inteira de [|b|(m-1)/(|a|-|b|)] Quando a expressão |b|(m-1)/(|a|-|b|) representa um número inteiro, há dois termos máximos (em valor absoluto): são os de ordem p e p-1. Desde já, muitíssimo grato. Paulo = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Alguém conseguirá provar?
Prove isto: Em toda sucessão (c_1, c_2, ..., c_w) de números compostos limitada primorialmente, se c_i = z_i . x_i, i=1,2,..., w, onde z_i é um primo ou produto de primos tal que z_i=x_i e z_1z_2...z_w, então x_1x_2...x_w, onde x_i é um primo ou produto de primos. Obs.: Tomar apenas números primos positivos. -- Marco A. B. C. Jr.
