2011/2/18 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2011/2/17 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
A sequência $\frac{4}{1}, \frac{8}{3}, \frac{32}{9}, \frac{128}{45},
\frac{768}{225}, ...$ converge para pi muito lentamente. Sendo o
primeiro termo $a_1$, o segundo $a_2$ etc, a partir do segundo termo,
cada termo de índice par é igual ao termo anterior multiplicado por
$\frac{n}{n+1}$ e cada termo de índice ímpar é igual ao termo anterior
multiplicado por $\frac{n+1}{n}$, onde n é o índice. Como pode ser
demonstrada essa convergência?
Estou utilizando a notação do LaTeX. Caso usem o gmail, existe o
GmailTeX que pode ser instalado e ativado para visualizar os dados
acima.
Henrique, nada (mas absolutamente nada) contra o TeX. Mas um pouco
contra o uso forçado do Gmail: veja bem, se você dependesse de algo
que funcionasse no yahoo ? Puxando a analogia um pouco mais: pense no
futuro. Um mail em ASCII é como um livro, todos lêem. Um treco que
depende de montes de plugins e um webmail em particular, é como um
disquete de 5 1/2. Ninguém mais consegue ler hoje em dia. Eu tô
falando isso também porque acho meio exagerado você usar \frac etc e
tal em vez de simplesmente 4/1, 8/3, 32/9, 128/45, ... que me parece
muito melhor para todos. Inclusive os jovens da lista que nunca
ouviram falar de LaTeX, usam um e-mail no computador dos pais e
sabe-se lá se eles podem instalar um treco (ou se é que eles *sabem* o
que é isso).
Bom, isso dito, vamos à matemática.
Você tem duas seqüências, n_k e d_k (n = numerador, d = denominador).
n_1 = 4, d_1 = 1.
você tem duas recorrências, uma para os pares, outra para os ímpares. Veja:
n_{2k} = n_{2k-1} * 2k
d_{2k} = d_{2k-1} * (2k+1)
n_{2k+1} = n_{2k} * (2k+2)
d_{2k+1} = d_{2k} * (2k+1)
Assim,
n_{2k+2} = (2k+2) * n_{2k+1} = (2k+2)^2 n_{2k}
d_{2k+2} = (2k+3) * n_{2k+1} = (2k+3)*(2k+1) d_{2k}
n_{2k+1} = (2k+2) * n_{2k} = (2k+2)*2k * n_{2k-1}
d_{2k+1} = (2k+1) * d_{2k} = (2k+1)^2 * d_{2k-1}
Agora, lembre que (a+1)(a-1) = a^2 - 1, logo n/d é crescente nos k
pares, e decrescente nos k ímpares. Como a seqüência dos ímpares é
decrescente e limitada por 0, ela converge; seja L o seu limite. Como
o quociente dos pares pelos ímpares é (n+1)/n, que tende a 1, o limite
da seqüência dos pares existe também, e é o mesmo.
O quociente dos pares pelos ímpares seria n/(n+1), que tende a 1, com
n tendendo ao infinito. Não entendi por que sabendo que o quociente
dos pares pelos ímpares converge, conclui-se que o limite da sequência
dos pares é o mesmo que o da sequência dos ímpares.
Bom, agora eu suponho que você quer na verdade que eu mostre que L =
pi. Isso é mais complicado. Esse produto infinito é conhecido de antes
do cálculo, e se chama Produto de Wallis. Uma forma de mostrar isso
é o seguinte:
- sin(x) tem raízes 0, +- pi, +- 2pi, +- 3pi, etc, etc.
- sin(x)/x tem raízes simétricas, portanto é uma função de x^2
- sin(x)/x = 1 em x = 0
Assim, você pode tentar escrever o produto infinito
sin(x)/x = (1 - x^2 / pi^2)*(1 - x^2 / 4pi^2)*(1 - x^2 / 9pi^2)* ...
(veja que ambos os lados se anulam somente para x = +- pi, +- 2pi, ...
e que ambos valem 1 em x = 0. Essa belíssima idéia de comparar uma
função com infinitos zeros e um polinômio em (1 - x/raiz) é do Euler:
em vez de fazer (x - raiz) como a gente está acostumado, fazer (1 -
x/raiz) garante que o limite vai dar certo pelo menos para x = 0; isso
é o ponto crucial da demonstração de que ambos os lados são realmente
iguais).
Agora, substitua x = pi/2 nessa fórmula. Porquê ? Porque primeiro o
seno vai ser um número inteiro (a gente podia tentar pi/6 também, mas
o 6 não aparece tanto assim na sua fórmula para valer a pena, e os
outros ou são irracionais em pi, ou são de seno irracional). sin(pi/2)
= 1, e a fórmula fica
2/pi = (1 - 1/4) * (1 - 1/16) * (1 - 1/36) * ... = Produto(4n^2 - 1)/(4n^2).
Agora, é só expandir os n_k e d_k em ímpares / pares e ver que vai dar
certo.
Uma outra forma de demonstrar isso, que você deve ter visto num curso
de cálculo, é calcular as integrais de sin(x)^n, por indução, usando
sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2 para criar um fator integrante. Daí você faz
uma integração por partes com
u = sin(x)^{n-2}*cos(x) e
dv = cos(x)dx
e daí vai aparecer um cos(x)^2. Que você transforma (de novo...) em 1
- sin(x)^2. Se você integrar de 0 a pi, isso dá uma fórmula de
recorrência
I_n = (n-1)/n I_{n-2} onde I_n = integral de 0 a pi sin(x)^n dx.
Agora note que I_n - I_{n+1} é muito pequeno, e tende a zero. Mas por
um lado I_0 = pi, e I_1 = 1, logo fazendo o produto até a etapa n,
você vê que tem uma relação entre pi e 1 dada por um monte de produtos
de cada lado. Passe todo mundo pro lado do 1, e você terá as suas
recorrências.
De qualquer forma, as demonstrações demandam um pouco de trabalho
porque você tem que ver que os produtos para os quais você tem uma
fórmula dão o mesmo resultado que o n_k/d_k. O mais legal é que,
