Quero sair da lista obm-l
-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Johann Dirichlet
Enviada em: terça-feira, 28 de junho de 2011 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Este foi um problema da revista Kvant, na verdade um artigo.
Eis o site (pra quem encarar um russinho básico...)
http://kvant.mccme.ru/
Em 27/06/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu:
Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de
abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda
vale.
2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam
as 3 parcelas da sua soma?
Considere a famosa identidade
trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
(Desculpa, não pude resistir.)
Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá
raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre
parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio
P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7),
cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau,
então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas.
(O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos
cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7),
que
são aquelas raízes de novo)
Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de
P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3).
Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos
que
a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2
ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2
abc=1/8, isto é, ABC=1/2.
Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá.
Agora, talvez você já tenha visto a identidade
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))
Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos:
-1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC)
Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos:
-1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2)
Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na
segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S,
com
termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em
Z,
S é a raiz cúbica de Z.
Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo
no meio do caminho, mas saiu!
Abraço,
Ralph
2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão:
Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 +
(cos(8*pi/7))^1/3 ?
abs
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神が祝福
Torres
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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