[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Brasil conquista medalhas de Prata e Bronze na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO)
Valeu o papinho ufanista, mas... Cadê a prova da IMO, meu povo? Nunca mais esta lista se divertiu resolvendo os problemas dela não? Em 22/07/11, Fernando A Candeiasfacande...@gmail.com escreveu: É um juso motivo de orgulho para esta sofrida nação. E sem nenhum apoio do papai governo. Temos ótimos matemáticos, o que certamente eleva nossa auto estima, e que deveria ser adequadamente valorizado. Fernando Candeias Em 22 de julho de 2011 10:11, Olimpiada Brasileira de Matematica o...@impa.br escreveu: ** *Brasil conquista medalhas de Prata e Bronze* *na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO)* O Brasil obteve um excelente resultado este ano na 52a. Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), que acontece até o dia 24 de julho na cidade de Amsterdã na Holanda,* *conquistando três medalhas de prata e três de bronze. Os estudantes: André Macieira Braga (Belo Horizonte – MG), João Lucas Camelo Sá (Fortaleza – CE) e Henrique Fiúza do Nascimento (Brasília – DF), conquistaram as medalhas de prata, enquanto Débora Barbosa Alves (São Paulo – SP), Maria Clara Mendes Silva (Pirajuba – MG) e Gustavo Lisbôa Empinotti (Florianópolis – SC) conquistaram medalhas de bronze. Com este resultado o Brasil classificou em vigésimo lugar entre os países participantes. Considerada pela Unesco como a competição mais importante da área, a IMO contou este ano com a participação de 101 países reunindo 564 estudantes, entre 14 e 19 anos, mais talentosos do mundo no assunto. O Brasil foi representado por uma equipe de seis estudantes liderados pelos professores Nicolau Corção Saldanha (Rio de Janeiro – RJ) e Eduardo Tengan (São Carlos – SP). Um comitê internacional elegeu os problemas que seriam resolvidos entre os propostos pelos países participantes. As provas foram realizadas em dois dias consecutivos abrangendo disciplinas como Álgebra, Teoria dos números, Geometria e Combinatória. Em cada dia, os participantes resolveram três problemas, com valor de sete pontos cada, aplicados em 4 horas e meia de prova. A resolução destes problemas requer mais criatividade, engenho e habilidade em matemática do que conhecimentos e fórmulas aplicadas. *Brasil e as medalhas na IMO* A Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) é realizada desde 1959. O Brasil participa da competição desde 1979 conquistando desde então um total de 96 medalhas, sendo oito de ouro, 26 de prata e 62 de bronze. A participação brasileira na competição é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), iniciativa que tem desempenhado um importante papel em relação à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em Matemática nas modalidades de ensino fundamental e médio nas escolas públicas e privadas de todo o Brasil. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCT– Mat). *Informações:* Nelly Carvajal – Assessoria de Imprensa Tel: 21-25295077 – Fax: 21-25295023 e-mail:o...@impa.br -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
Sobre a questao 1,acho que tenho uma ideia razoavel,mas pensando apenas em inteiros POSITIVOS. Na divisao de um inteiro positivo por 100 ha 100 restos possiveis(0,1,2...,98,99) Se vc subtrai dois numeros com restos iguais, o resultado tem resto zero e é divisivel por 100, e a questao esta resolvida Entao suponha 52 numeros que deixam restos diferentes quando divididos por 100 Acontece que se vc pega numeros que deixam restos com soma 100(43 e 57,por exemplo),a soma deses numeros dá um multiplo de 100,ai acaba.Caso contrario, veja que o o resto 1 exclui o resto 99,o resto 2 exclui o resto 98...e cada um dos restos possiveis exclui um unico resto e dois restos distintos excluem restos distintos Dai,para escolher 52 restos diferentes vc tem que eliminar outros 52,o que é impossivel,ja que so ha 100 restos possiveis. Se alguem puder esclarecer melhor,agradeço muito Abraços. From: mat.mo...@gmail.com Date: Thu, 21 Jul 2011 20:51:24 -0300 Subject: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja soma ou diferença é divisível por 100. 2) Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois dígitos cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos têm a mesma soma. 3) Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro é, no máximo, 1/n. 4) Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
Na verdade vale para qualquer número E Z Um número pode ser da forma 100k, 100k+-1, 100k+-2, ...100k+-48, 100 k+-49, 100k+50podemos escolher somente 1 número de cada forma 100k +- n, senão a soma é divisível por 100. temos 51 maneiras de fazer isso, por isso tempos que com 52 números pelo menos 1 vai ter soma ou subtração divisível por 100. Já para a questão 4 A primeira urna não importa. Para p=2, temos 1.(1/n)Para p = 3, temos 1. (n-1)/n.2/nPara p = 4, temos 1.(n-1)/n.(n-2)/n.3/nPara p = p, temos 1.(n-1)/n(n-2)/n...(n-p+2)/n.p/n = [(n-1)!/ (n-p+1)!] (p-1)/n^ (p-1) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade Date: Sat, 23 Jul 2011 18:21:06 + Sobre a questao 1,acho que tenho uma ideia razoavel,mas pensando apenas em inteiros POSITIVOS. Na divisao de um inteiro positivo por 100 ha 100 restos possiveis(0,1,2...,98,99) Se vc subtrai dois numeros com restos iguais, o resultado tem resto zero e é divisivel por 100, e a questao esta resolvida Entao suponha 52 numeros que deixam restos diferentes quando divididos por 100 Acontece que se vc pega numeros que deixam restos com soma 100(43 e 57,por exemplo),a soma deses numeros dá um multiplo de 100,ai acaba.Caso contrario, veja que o o resto 1 exclui o resto 99,o resto 2 exclui o resto 98...e cada um dos restos possiveis exclui um unico resto e dois restos distintos excluem restos distintos Dai,para escolher 52 restos diferentes vc tem que eliminar outros 52,o que é impossivel,ja que so ha 100 restos possiveis. Se alguem puder esclarecer melhor,agradeço muito Abraços. From: mat.mo...@gmail.com Date: Thu, 21 Jul 2011 20:51:24 -0300 Subject: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja soma ou diferença é divisível por 100. 2) Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois dígitos cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos têm a mesma soma. 3) Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro é, no máximo, 1/n. 4) Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?
[obm-l] Fatorial
Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina 1500!
Re: [obm-l] Fatorial
Para descobrir o número de zeros de 1500! você tem de achar a maior potência de 10 que divide 1500! pois se 10^d divide 1500!, então 1500! termina em d zeros Para saber isso é o seguinte, se 2^a e 5^b são as maiores potências de 2 e 5 que dividem 1500!, então d = min ( a, b ) 1500! tem muito mais fatores de 2 do que 5, então no caso d = b. Vamos contar então o número de fatores 5 que existem em 1500! Para cada múltiplo 5 entre 1 e 1500, adiciona-se pelo menos 1 fator a mais, e há 1500/5 = 300 múltiplos de 5. Mas para cada múltiplo de 25, vai acabar adicionando mais um fator, e há 1500/25 = 60 múltiplos de 25. Seguindo o raciocínio, a resposta será dada por: piso(1500/5)+piso(1500/25)+piso(1500/125)+... = 300+60+12+2 = 374 zeros Foi meio rápido as passagens mas espero ter ajudado, abraço, Gabriel Dalalio Em 23 de julho de 2011 19:35, Marcus Aurelio marcusaureli...@globo.comescreveu: Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina 1500!
Re: [obm-l] Fatorial
conta-se quantos pares 2x5 são compreendidos em 1500!, ou seja, pode-se contar apenas os 5 Em 23 de julho de 2011 19:35, Marcus Aurelio marcusaureli...@globo.comescreveu: Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina 1500!
Re: [obm-l] Fatorial
Existe uma fórmula geral para isso:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}space;Nspace;=space;\sum_{k=1}^{\inftyspace;}space;\leftspace;\lfloorspace;\frac{n}{5^{k}}space;\rightspace;\rfloorhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}space;Nspace;=space;\sum_{k}^{\inftyspace;}space;\leftspace;\lfloorspace;\frac{n}{5^{k}}space;\rightspace;\rfloor
N = quantidade de zeros em n!
N = somatório de k=1 até infinito de (aproxima para baixo (n/5^k))
Ou seja, para 1500 fatorial seria:
1500/5 = 300
1500/25 = 60
1500/125 = 12
1500/625 = 2.4 = 2
1500/3125 = 0.4 = 0
N = 300 + 60 + 12 + 2 + 0 + 0 + 0 + ... = 374
Agora vou tentar explicar porque essa forma funciona.
A chave para entender a fórmula é perceber que os multiplos de 2 são mais
comuns do que os de 5.
Em um produto de inteiros, a única forma de aparecer 0 na terminação é
multiplicar por 10 = 5x2, explicita ou implicitamente.
Mas,
2x5 = 10
4x25 = 100
8x125 = 1000
16x625 = 1
...
2^n x 5^n = 10^n
Como em o fatorial é um produtório, você teria de contar quantos pares 2ˆn x
5ˆn você acha.
Os 2 são desnecessários no caso do fatorial, pois sempre existirão e
sobrarão multiplos de 2 em relação aos de 5.
O Fato de que você vai somando as divisões por 5^n é que os produtos de 4x25
produz 2 zeros, 8x125 produz 3 zeros, logo você precisa contar estes mais de
uma vez, no caso, n vezes.
Isso contudo não é uma prova, apenas um feeling e uma explicação que espero
que esteja clara.
Victor Seixas Souza
[obm-l] Re: [obm-l] Fatorial [último dígito não nulo]
É bem mais divertido saber qual é o último dígito diferente de zero de
um fatorial.
Tente!
Em 23/07/11, Victor Seixas Souzasouza@gmail.com escreveu:
Existe uma fórmula geral para isso:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}space;Nspace;=space;\sum_{k=1}^{\inftyspace;}space;\leftspace;\lfloorspace;\frac{n}{5^{k}}space;\rightspace;\rfloorhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}space;Nspace;=space;\sum_{k}^{\inftyspace;}space;\leftspace;\lfloorspace;\frac{n}{5^{k}}space;\rightspace;\rfloor
N = quantidade de zeros em n!
N = somatório de k=1 até infinito de (aproxima para baixo (n/5^k))
Ou seja, para 1500 fatorial seria:
1500/5 = 300
1500/25 = 60
1500/125 = 12
1500/625 = 2.4 = 2
1500/3125 = 0.4 = 0
N = 300 + 60 + 12 + 2 + 0 + 0 + 0 + ... = 374
Agora vou tentar explicar porque essa forma funciona.
A chave para entender a fórmula é perceber que os multiplos de 2 são mais
comuns do que os de 5.
Em um produto de inteiros, a única forma de aparecer 0 na terminação é
multiplicar por 10 = 5x2, explicita ou implicitamente.
Mas,
2x5 = 10
4x25 = 100
8x125 = 1000
16x625 = 1
...
2^n x 5^n = 10^n
Como em o fatorial é um produtório, você teria de contar quantos pares 2ˆn x
5ˆn você acha.
Os 2 são desnecessários no caso do fatorial, pois sempre existirão e
sobrarão multiplos de 2 em relação aos de 5.
O Fato de que você vai somando as divisões por 5^n é que os produtos de 4x25
produz 2 zeros, 8x125 produz 3 zeros, logo você precisa contar estes mais de
uma vez, no caso, n vezes.
Isso contudo não é uma prova, apenas um feeling e uma explicação que espero
que esteja clara.
Victor Seixas Souza
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神が祝福
Torres
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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