[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão. []'s Shine From: Artur Costa Steiner To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória Acho que podemos raciocinar assim: Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao desejado. Abraços Artur Costa Steiner Em 24/02/2013, às 19:27, "Anderson Weber" escreveu: >Boa noite, amigos. > >Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. >De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras consecutivas iguais? > > >Um abraço. > > >Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Lucas Prado Melo > 2013/2/24 Mauricio de Araujo > >> Obrigado a todos pelas orientações... acredito que a ideia do Ralph está >> mais adequada por usar invariância que é o recurso solicitado na resolução. >> >> A minha solução não? > A propósito, só pra esclarecer: eu achei a solução do Ralph ótima também hehehe Eu só queria chamar atenção que a minha solução também usava invariância, pq do jeito que Maurício falou ficou parecendo que não. :) -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Análise Combinatória
Acho que podemos raciocinar assim: Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao desejado. Abraços Artur Costa Steiner Em 24/02/2013, às 19:27, "Anderson Weber" escreveu: > Boa noite, amigos. > > Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. > De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras > consecutivas iguais? > > > Um abraço. > > > Anderson
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Mauricio de Araujo > Obrigado a todos pelas orientações... acredito que a ideia do Ralph está > mais adequada por usar invariância que é o recurso solicitado na resolução. > > A minha solução não? -- []'s Lucas
[obm-l] Análise Combinatória
Boa noite, amigos. Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras consecutivas iguais? Um abraço. Anderson
Re: [obm-l] Ajuda em um grande problema!
2013/2/24 Ralph Teixeira > Simplificacao 1: suponha que as velocidades de ambos sao 1 (se nao for, > voce muda a escala de tempo para que sejam) > > Simplificacao 2: vou colocar o referencial em A. > > Entao A estah agora no ponto (0,0) o tempo todo. Seja (x(t),y(t)) a > posicao de B com relacao a A. O que voce nos disse eh que a velocidade de B > eh na direcao de A com modulo 1, isto eh: > > dx/dt=-x/(sqrt(x^2+y^2)) > dy/dt=-y/sqrt(x^2+y^2)) > > Mas, pera ai, estah errado -- do lado esquerdo eu escrevi a velocidade de > B no referencial original (e, do lado direito, eu usei o x e y do > referencial novo)! Para consertar isto: > > dx/dt=-x/sqrt(x^2+y^2) > dy/dt=-y/sqrt(x^2+y^2) + 1 > > Isto eh um sistema de EDOs nao linear, e portanto meio chato de resolver > na mao... Mas estah perfeito para resolver numericamente pelo PPLANE: > http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html > > Vah aaquele site, coloque as EDOs na caixinha, faca o grafico na janela > (-10,10)x(-10,10). Clique no ponto (8,-6) para ver a trajetoria de B em > relacao a A (eu re-escalei tudo em 100 para os numeros ficarem menores, > isto nao altera o problema), ou entao clique no menu em > "Solution"/"Keyboard Input of Initial Value" e coloque x=8 e y=-6. A > trajetoria de B eh uma curva que parece uma parabola (nao eh), e se > aproxima seria de (0,2)? Por ali, nao sei. Mas note que a curva se > aproxima desse ponto aa medida que o tempo vai para INFINITO, entao B nunca > se "alinha" com A no sentido que eu entendi a sua pergunta. > > Eu estou meio enferrujado em EDOs, então posso estar completamente enganado, então eu pergunto: Daria pra fazer y em função de x dividindo (dy/dt) por (dx/dt)? Se der, o Wolfram Alpha resolveu a EDO resultante fazendo y = x v(x), cuja solução é y(x) = x sinh (c_1 + ln x)). Eu ainda não sei exatamente o que alinhado significa, mas se der pra fazer assim, tá aí. -- []'s Lucas
[obm-l] Integral interessante
Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a > 0. Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em um grande problema!
2013/2/24 > ** > > Considere um sistema de eixos cartesianos ortogonais, e dois pontos A e B , > > o ponto A localizado em (0,600) e o ponto B localizado em (800,0), assim > > ambos partem ao mesmo tempo e com mesmas velocidades , o ponto A > > Anda na direção NORTE-SUL( no sentido negativo de Y) e o ponto B na > direção de A > > (seguindo o A). Pergunta-se, para um tempo muito grande o ponto B deve > estar alinhado > > atrás de A, e quando isso acontecer , qual a distância entre eles? > O que significa estar alinhado? -- []'s Lucas
[obm-l] Fwd: Teoria dos números
Original Message SUBJECT: Teoria dos números DATE: Mon, 11 Feb 2013 18:17:24 -0200 FROM: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br TO: Olá amigos estou precisando de uma ajuda na seguinte questão Se 31^1995 divide aˆ2+b^2, o resto da divisõ de 31^1996 por ab é igual a: a)0 b)1 c)2 d)30 e)31 Um abraço do Douglas Oliveira
[obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Lucas Prado Melo
> 2013/2/23 Mauricio de Araujo
>
>> Os números 1, 2, ..., 20 são escritos em um quadro negro. Podemos apagar
>> dois deles a e b e escrever no lugar o numero a+b+ab. Após muitas
>> operações ficamos apenas com um numero.
>> Qual deve ser esse numero?
>>
>>
> O invariante vai ser a soma dos termos a_i1 * a_i2 * ... * a_ir, para cada
> combinação {i1, i2, ..., ir} do conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
>
> Na sequência sem o 'a' e 'b' mas com a+b+ab (a sequência transformada), o
> termo (a + b + ab) * x na forma acima está associado a 3 termos distintos
> da sequência original: a*x, b*x e ab*x.
> A volta também é verdadeira: dá pra agruparmos 3 termos da sequência
> original para formarmos este termo na sequência transformada. Ou seja, a
> invariante existe.
>
> Então precisamos obter justamente esta soma.
>
> Basta então lançarmos mão sobre a recorrência S_n = a_n*S_{n-1} + S_{n-1}
> = n*S_{n-1} + S_{n-1}. Ela soma os termos com o "n" e sem o "n".
>
> Assim S_n = (n+1) S_{n-1}
>
> Como S_1 = 1, S_n = (n+1)!/2.
>
Uma correção:
Na verdade a recorrência é S_n = n S_{n-1} + n + S_{n-1},
Isso dá S_n + 1 = (n+1)(S_{n-1} + 1). Que, como Douglas mostrou, dá S_n =
(n+1)! - 1.
--
[]'s
Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/23 Mauricio de Araujo
> Os números 1, 2, ..., 20 são escritos em um quadro negro. Podemos apagar
> dois deles a e b e escrever no lugar o numero a+b+ab. Após muitas
> operações ficamos apenas com um numero.
> Qual deve ser esse numero?
>
>
O invariante vai ser a soma dos termos a_i1 * a_i2 * ... * a_ir, para cada
combinação {i1, i2, ..., ir} do conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
Na sequência sem o 'a' e 'b' mas com a+b+ab (a sequência transformada), o
termo (a + b + ab) * x na forma acima está associado a 3 termos distintos
da sequência original: a*x, b*x e ab*x.
A volta também é verdadeira: dá pra agruparmos 3 termos da sequência
original para formarmos este termo na sequência transformada. Ou seja, a
invariante existe.
Então precisamos obter justamente esta soma.
Basta então lançarmos mão sobre a recorrência S_n = a_n*S_{n-1} + S_{n-1} =
n*S_{n-1} + S_{n-1}. Ela soma os termos com o "n" e sem o "n".
Assim S_n = (n+1) S_{n-1}
Como S_1 = 1, S_n = (n+1)!/2.
--
[]'s
Lucas
