Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94
Ola' pessoal, achei conveniente explicar melhor a solucao... Problema: Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum. Solucao: Seja Antonio um dos 20 alunos. Sejam Maria e Nair suas avos. Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e Nair simultaneamente. Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos da seguinte forma: - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: 1) os grupos B e C sao vazios: neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. 2) apenas o grupo C e' vazio: neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. 3) apenas o grupo B e' vazio: neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. 4) nenhum grupo e' vazio: neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra avo' ( aquela que nao e' Nair). Acontece que qualquer que seja o aluno c do grupo C, c e Bernardo possuem uma avo' em comum. Como uma avo' de c e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, tem que ser Odete. Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. Acontece que qualquer que seja o aluno b do grupo B, b e Camilo possuem uma avo' em comum. Como uma avo' de b e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, tem que ser Odete. Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos de todos os alunos. Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que ser avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 alunos (principio das casas de pombos). Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo menos 14 alunos possuem uma avo' em comum. []'s Rogerio Ponce
[obm-l] Problema de Geometria
O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF.
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Olá Raphael, Pense no seguinte : 1) Trace OC 2) Trace BD 3) Conclua que BD é o dobro de OC. 4) Denomine EF = x 5) Faça a semelhança de OCF com BFD e determine x , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2013 18:19, Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.comescreveu: O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF.
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Valeu! Mas estou com problemas em provar a semelhança Raphael Feijão Em 28/04/2013, às 18:42, Carlos Victor victorcar...@globo.com escreveu: Olá Raphael, Pense no seguinte : 1) Trace OC 2) Trace BD 3) Conclua que BD é o dobro de OC. 4) Denomine EF = x 5) Faça a semelhança de OCF com BFD e determine x , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2013 18:19, Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.com escreveu: O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF.
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Ola' Raphael, e' so' aplicar o Teorema de Menlaus ao triangulo AOD com a reta CB, obtendo: AC * FD * OB = DC * OF * AB ou seja FD = 2 * OF Como EF = OE - OF entao EF = (a/2) - (b/3) []'s Rogerio Ponce 2013/4/28 Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.com O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF.
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Eu vi essa parte da solução: 2013/4/28 Carlos Victor victorcar...@globo.com: 2) Trace BD Daí, eu vi que E = G é o baricentro de ABD. Logo OE = OD/3. Como FD = OD - a/2, porque OF = a/2 é o raio do círculo, acabou. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Olá senhores Desculpe a minha pergunta Há tempos sou assinante desta, e por vezes vejo termos, que para mim são desconhecidos, como por exemplo o teorema abaixo citado. Sou graduando em matemática 4º semestre ( licenciatura ) Daí pergunto: Haveria algum site , ou coleção de livros , ou DVD's , que abranje todos os tópicos de matemática Grato Wagner PY2RPD - Original Message - From: Rogerio Ponce To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 28, 2013 9:17 PM Subject: Re: [obm-l] Problema de Geometria Ola' Raphael, e' so' aplicar o Teorema de Menlaus ao triangulo AOD com a reta CB, obtendo: AC * FD * OB = DC * OF * AB ou seja FD = 2 * OF Como EF = OE - OF entao EF = (a/2) - (b/3) []'s Rogerio Ponce 2013/4/28 Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.com O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF. __ Informação do ESET Smart Security, versão da vacina 8276 (20130428) __ A mensagem foi verificada pelo ESET Smart Security. part000.txt - esta OK part001.htm - esta OK http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Geometria
F é baricentro do triángulo ADB, logo FO=b/3, então FE=a/2-b/3 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sun, 28 Apr 2013 18:42:50 -0300 Asunto : Re: [obm-l] Problema de Geometria Olá Raphael, Pense no seguinte : 1) Trace OC 2) Trace BD 3) Conclua que BD é o dobro de OC. 4) Denomine EF = x 5) Faça a semelhança de OCF com BFD e determine x , ok ? Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2013 18:19, Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.comescreveu: O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F. Se AB=a e OD=b. Calcule EF. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
