[obm-l] teoria dos numeros

[valdir soares]

Ola pessoal,

Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo :

Determine n entre 100 e 1000 , tal que   ( 2+ 2^n)/n  eh tambem inteiro .

Obrigado

[obm-l] off topic teste

[Hermann]

estou há muito tempo sem ver nada do forum e estou fazendo um teste perdoem-me.

Re: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel

[Claudio Gustavo]

  Boa noite.  Vou passar aqui as etapas mas ajuda se vc, ao ler, tentar refazer 
com lapis e papel.
  A principio,
seja o quadrilátero convexo completo BCED com retas suportes dos lados sendo as
retas que passam pelos pontos BDA, CEA, BCF e DEF (grupos de três pontos
colineares) e seja o ponto M de Miguel. Sendo assim, construímos as 
circunferências
que passam pelos pontos MADE (centro G), MABC (centro J), MECF (centro H) e
MDBF (centro I).

Observamos que
basta demonstrar que o pentágono MGJIH é inscritível que então teremos 
demonstrado
o que se pede. O argumento é demonstrar, separadamente, que os quadriláteros 
MGJH
e MGIH são inscritíveis, pois tendo ambos três pontos em comum necessariamente
estarão na mesma circunferência. 

Inicialmente
vemos que o quadrilátero MADE é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MDE)=Ang(MGH).
Da mesma forma MABC é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MAC)=Ang(MBC)=Ang(MJH). 
Sendo
Ang(MGH)=Ang(MJH), temos que o quadrilátero MGJH é inscritível! Procedendo
analogamente conclui-se que o quadrilátero MGIH também é inscritível e logo os
pontos M, G, J, I e H pertencem todos a mesma circunferência. CQD
  AbraçosClaudio Gustavo
--- Em qui, 9/5/13, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu:

De: Martins Rama martin...@pop.com.br
Assunto: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 9 de Maio de 2013, 4:56

Caros amigos da lista, o Carlos Yuzo Shine no seu artigo da Eureka 31
propôs a seguinte questão:

Considere um quadrilátero completo. Seja M o seu ponto de Miquel. Prove que:
(a) os circuncentros dos quatro triângulos determinados pelo quadrilátero
e M estão sobre uma mesma circunferência.

Alguma sugestão?

[]'s
Martins Rama.

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] teoria dos numeros

[terence thirteen]

Aprenda um pouco de inglês:

http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol972.html


Em 10 de maio de 2013 06:48, valdir soares valdir.soa...@oi.com.brescreveu:

 Ola pessoal,

 Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo :

 Determine n entre 100 e 1000 , tal que   ( 2+ 2^n)/n  eh tambem inteiro .

 Obrigado




-- 
/**/
神が祝福

Torres

Re: [obm-l] teoria dos numeros

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/5/10 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
 Aprenda um pouco de inglês:

 http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol972.html


 Em 10 de maio de 2013 06:48, valdir soares valdir.soa...@oi.com.br
 escreveu:

 Ola pessoal,

 Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo :

 Determine n entre 100 e 1000 , tal que   ( 2+ 2^n)/n  eh tambem inteiro .

Braço por braço (a solução contando os primos e verificando que 2 é
primitiva módulo p, e depois mais braço para p, 2p, pq, 2pq), dá pra
rodar todos esses números. E (ao contrário do kalva) eu usei a
calculadora do linux em linha de comando:

$ bc
define r(n) { n ; return (2 + 2^n) % n }
for (i = 100; i = 1000; i++) r(i)

Depois, com a resposta na mão, você apenas verifica que dá certo ;-)
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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